概率论与数理统计课件：xiech3-3.2.ppt

1、3.2 二维二维 r.v.的条件分布的条件分布, 2 , 1,),(jipyYxXPijji设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布若0)(1jijiipxXPp则称iijijippxXPyYxXP)(),(为为在在 X = xi 的条件下的条件下, Y 的条件分布律的条件分布律, 2 , 1j)(ijxXyYP记作二维离散 r.v.的条件分布律 若, 0)(1iijjjpyYPp则称jijjjippyYPyYxXP)(),(为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律, 2 , 1i)(jiyYxXP记作类似乘法公式)()(),(ijijixXyYPxXPyYxXP)()(jijyYx

2、XPyYP或, 2 , 1,ji类似于全概率公式),()(11jjijijiyYxXPpxXP)()(1jjjiyYPyYxXP, 2 , 1i),()(11ijiiijjyYxXPpyYP)()(1iiijxXPxXyYP, 2 , 1j例例1 1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求(1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律；(2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律.解解 先求联合分布，)()(),(iXjYPiXPjYiXPjijjiiiiCC333321213231; 3

3、 , 2 , 1 , 0;3 , 0iij其联合分布与边缘分布如下表所示XY pij0 1 2 3012327127127127191912710009191009191920pi278278929294941p j X ) 0( YiXP0 1 2 38 / 18/ 38 / 18/ 3将表中第一行数据代入得条件分布) 0() 0,() 0(YPYiXPYiXP27/ 8) 0,(YiXP3 , 2, 1 , 0i(1) Y ) 2(XjYP 0 12/ 12/ 1(2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1.将表中第三列数据代入下式) 2(XjYP,9/2), 2(jYXP1 ,

4、0j得Y 的条件分布解解例例2 2 已知一射手每次击中目标概率为 p ( 0 p 0, 则称dyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYxxYduyfyuf)(),(为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作()XYFx y定义定义xYduyfyuf)(),(类似地, 称yXdvxfvxf)(),(为X = x 的条件下Y 的条件分布函数; ()Y XFy x( , )( )Xf x yfx为 X = x 的条件下Y 的条件 p.d.f.)( xyfXY( ,)( )Yf x yfy称为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f.)( yxfYX称注意注意y是常数, 对每一

5、fY (y) 0 的 y 处, 只要),( xyFXY)( xyfXY相仿论述.0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXY),( yxFYX)( yxfYX仅是 x 的函数, 类似于乘法公式：符合定义的条件, 都能定义相应的函数.类似于全概率公式dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()(类似于Bayes公式)(),(yfyxfY)( yxfYX)()()(yfxfxyfYXXY)(),(xfyxfX)( xyfXY)()()(xfyfyxfXYYX例例3 已知(X,Y )服从圆域 x2

6、+ y2 r2 上的均匀分布,求),( yxfYX).( xyfXYr解解其他, 0,1),(2222ryxryxfdyyxfxfX),()(rxrdyrxrxr,12222222xr 22xr x其他, 0,2222rxrrxr-r其他, 0=同理，dxyxfyfY),()(其他, 0,2222ryrryr边缘分布不是均匀分布！)(),(yfyxfY)( yxfYX当 r y r 时，其他, 0,21222222yrxyryr22yr 22yr y 这里 y 是常数，当Y = y 时，2222,yryrUX)(),(xfyxfX)( xyfXY当 r x r 时，其他, 0,21222222

7、xryxrxr 这里 x 是常数，当X = x 时，2222,xrxrUY22xr 22xr x;,;,),(222211NYX事实上事实上)( yxfYX)(),(yfyxfY222222222121212122)(2)()(2)()1 (2122121121yyyxxee正态分布的条件分布仍为正态分布正态分布的条件分布仍为正态分布正态分布性质正态分布性质3 3)()()1 (21212211221121yxe同理，)( xyfXY)1 (),(2221122xN)1 (),(2212211yN)( yxfYX例例5 设其他, 010 ,0,8),(yyxxyyxf求)( yxfYX)(,x

8、yfXY解解y = x11其他, 010,8)(1xxydyxfxX其他, 010),1 (42xxxy = x11其他, 010,8)(0yxydxyfyY其他, 010,43yy当0 y 1 时，)( yxfYX)(),(yfyxfYy其他, 00,22yxyx当0 x 0 时，即 0 x 1 时，其他, 01,8yxxy当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0故其他, 010 ,0,8),(yyxxyyxfx + y =1) 1(YXP)5 . 0(YP1y = x10.5yyxydxdy115 . 0865y = x110.521008yxydxdy1612132XYPy =

9、 x110.5323221dyyfXY322125 . 012dyy322138dyy277设(X,Y )为二维 r.v. 若对任何)()(),(yYPxXPyYxXP则称 r.v. X 和Y 相互独立 两个两个 r.v. 的相互独立性的相互独立性 将事件独立性推广到 r.v.实数 x, y 都有定义由定义知二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立)()(),(yFxFyxFYX)()(),(,dYcPbXaPdYcbXaPdcba)()(),(,cYPaXPcYaXPRcaX与Y 独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即jiijppp连续型)()(),(yfxfyxfYX二维随机

10、变量二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立相互独立, ,则边缘分布完全确定联合分布则边缘分布完全确定联合分布对一切 i , j 有离散型X与Y 独立对任何 x ,y 有.).( ea二维连续二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立相互独立) 0)()()(yfyxfxfYYXX) 0)()()(xfxyfyfXXYY设离散 r.v. X ,Y 相互独立, 且服XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5问题问题从同一分布, 是否有 X = Y ？为简单计不妨假设-1 1 -1 10.25 0.250.25 0.250.5 0.5 ipjp0.5 0.5XY 由X ,Y 独立性故

11、不能说 X = Y .由上表易得:) 1, 1(YXP)(YXP) 1,1(YXP5 . 025. 025. 0（即使概率为1的事件未必是必然事件）02222212121212)()(2)()1 ( 21221121yyxxe证对任何 x, y 有21,yx取);,;,(),(222211NYXX与Y 相互独立正态分布性质4(必要性必要性)222221212)(22)(12121yxee212212121121故0充分性充分性 将0代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfYX例例1 1 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为其他, 010 , 10,4),(1yxxyyxf(1)

12、其他, 010 ,0,8),(2yyxxyyxf(2)讨论X ,Y 是否独立？解解(1) 由图知边缘 d.f. 为11其他, 0, 10,2)(xxxfX其他, 0, 10,2)(yyyfY显然，)()(),(1yfxfyxfYX故 X ,Y 相互独立(2) 由图知边缘 d. f. 为其他0, 10, )1 (4)(2xxxxfX其他, 0, 10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX故 X ,Y 不独立11判独立的一个重要命题个重要命题 设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y)为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也相互独立. 即独

13、立 r.v.的连续函数仍独立.若 X ,Y 为相互独立的 r.v.则a X + b, cY + d 也相互独立；X 2, Y 2 也相互独立；随机变量相互独立的概念随机变量相互独立的概念可以推广到可以推广到 n n 维随机变量维随机变量)()()(2211nnxXPxXPxXP),(2211nnxXxXxXP若则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立由命由命题知题知876. 6脚印长度身高算出罪犯的身高. 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印，通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的?显然，两者之间是有统计关系的，故X设一个人身高为 ,脚印长度为 .Y 由于影响人类身

14、高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故),(YX应作为二维随机变量 来研究. 由中心极限定理知 可以近似看),(YX. );,(222211uuN成服从二维正态分布;,;,222211uu其中参数 因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.密度为现已知罪犯的脚印长度为 , 要y估计其身高就需计算条件期望 , 条件)(),()|(|yfyxfyxfYYX 的密度函数, 因此 )1 (),(2212211uyuN 这正是正态分布 )()|(2211uyuyYXE2)(exp)()(2)()1 ( 21exp.12222222222212122122212uyuyuyuxux 如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式. 设随机变量 Z 服从参数为 1 的指数分布，引入随机变量：21201110ZZYZZX求 ( X , Y ) 的联合分布律和联合 问问 题题分布函数.