概率论与数理统计课件：xiech1-1.4.ppt

1、例例1 1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取 1 球.事件的独立性事件的独立性 设第 i 次求取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) ., )(12AAP, )(12AAP, )(, )(21APAP解解,8/3)(12AAP,8/3)(12AAP, )(8/3)(21APAP)()()(12212AAPAPAAP1.8 事件的独立性事件的独立性事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立)()() 8/ 3 ()(121221AAPAPAAP定义定义 设 A , B 为两事件，若)()()(BPAPABP则称事件A 与事件B

2、 相互独立 )()(21APAP两事件相互独立的性质两事件相互独立的性质q 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的q 若)()(, 0)(ABPBPAP则若)()(, 0)(BAPAPBP则q 若, 0)(, 0)(BPAP则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥”不能同时成立 (自行证明)q 四对事件BABABABA,;,;,;,任何试证其一独立独立BABA,事实上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP一对相互独立,则其它三对也相互独立三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互独立相互独

3、立是指下面的关系式同时成立：注 1) 关系式(1) (2)不能互相推出)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 定义定义2) 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 例例2 2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。设事件R 红色W 白色Y 黄色 1 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y 2184)()()(YPWPRP则则81)()(,83)(RYPWYPRWP81)(R

4、WYP)()()(WPRPRWP)()()(YPWPRP但但)()()()()()(YPRPRYPYPWPWYP本例说明本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)例例3 3 随机投掷编号为随机投掷编号为 1 1 与与 2 2 的两个骰子的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则2/ 1)()()(CPBPAP4/ 1)()()(CAPBCPABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP本例说明本例说明 不能由 A, B, C 两两独立A, B, C 相互独立

5、n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定义定义常由实际问题的意义常由实际问题的意义 判断事件的独立性判断事件的独立性例例4 4 已知事件 A, B, C 相互独立, 证明A与CB也相互独立证证)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP事件q 若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这 n 个事件任

6、意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.命题命题利用独立事件的性质利用独立事件的性质计算其并事件的概率计算其并事件的概率若若 A A1 1, , A A2 2, , , , A An n 相互独立相互独立, , 则则)()(211nniiAAAPAPniiAP1)(1 (1)(121nAAAPniiAP1)(1)(121nAAAP)(1niiAPniiAP1)(1 (1pAPi)(当当 ，则则nniipAP)1 (1)(1特别，特别，例例5 5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同

7、地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率解解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,100 则1001iiAA)(11)(1001iiAPAP33. 0)004. 01 (1100若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则 , 2 , 110,)1 (1)(nBPnn1)(limnnBP 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题 例例6 6设 两系统都是由 4 个元

8、件组成,每个元件正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP22)2(pp. )()2(122SPpp222pp0)2 ()2 ()(22pppf注 利用导数可证, 当 时, 恒有) 1, 0(p公公Bayes 式式应用举例应用举例 肠癌普查肠癌普查设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件BiA表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：005. 0)(,95. 0)()(BPBAP

9、BAPii且 某患者首次检查反应为阳性, 试判断该患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为阳性呢？05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0)()()()()()()(1111BAPBPBAPBPBAPBPABP由Bayes 公式得.087.0首次检查反应为阳性首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大患肠癌的概率并不大)()()()()()(212121BAAPBPBAAPBPBAAPBP)()()()()()()()()(212121BAPBAPBPBAPBAPBPBAPBAPBP6446. 005. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0222)(21

10、AABP接连两次检查为阳性接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半患肠癌的可能性过半两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌.33332105. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0)(AAABP9718.0连续三次检查为阳性连续三次检查为阳性 几乎可断定已患肠癌几乎可断定已患肠癌 n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为)(kPnAA,10,)(ppAP且1.9伯努利试验概型伯努利试验概型 每次试验的结果与其他次试验无关 称为这 n 次试验是相互独立的 试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果： n 重伯努利伯努利 (Bernoulli) 试验

11、概型：例例7 7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解解 古典概型45n设 B 表示4个球中恰有2个白球222423CnB42224523)(CBP.3456. 052532224C解二解二 每取一个球看作是做了一次试验. 5/ 3)(AP记取得白球为事件 A ，有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA.3456. 05253)(2224 CBP一般地，若

12、若10,)(ppAP则则nkppCkPknkknn, 2 , 1 , 0,)1 ()(解解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=28, 标被击毁为事件B, 8282)()()(iiiiAPAPBP10884 . 06 . 01iiiiC9914. 0各炮命中概率 p = 0.6, 则108)(1iiP828)(iiP设目 例例8 8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率. 定理1.5(泊松定理), 设) 0(nnp为常数,则对任一确定的正整数k,有.!)1 (limekppCkknnknk

13、nn证:令又且则,),(,npnnpnnnnneknnnknnknnkknnnppCkknnnnkknnknknnknkn!)1/()1 ()11 ()21)(11 (1 !)1 ()(!)1()1()1 (在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011

14、0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 例9 设有一架主机、两架僚机飞往某目的地进行轰炸，由于只有主机有导航设备，故僚机不能单独飞到目的地，且在飞行途中要经过敌方炮阵，每机被击落的概率为0.2,到达目的地后,个机独立轰炸,每机炸中目标的概率为0.3。试求目标被击中的概率。解. 设A=目标被击中. 3210BBBB=三架飞机都未到达目的地=只有长机到达目的地=一架长机,一架僚机到达目的地=三架都到达目的地则有512.08 .08 .08 .0)(2

15、56.08 .02 .08 .02 .08 .08 .0)(2 .02 .08 .0)(2 .0)(3210BpBpBpBp=p长机被击落|且易知 3210,BBBB是完备事件组。657. 03 . 03 . 03 . 03 . 03 . 03 . 0)|(51. 03 . 03 . 03 . 0)|(3 . 0)|(0)|(32232210BApBApBApBAp故48. 0657. 0512. 051. 0256. 03 . 0032. 002 . 0)|()()(30iiiBApBpAp 某市进行艺术体操赛某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁需设立两个裁判组判组, 甲组甲组3名名,乙组乙组

16、1名名. 但组委会只召集但组委会只召集到到3名裁判名裁判, 由于临近比赛由于临近比赛, 便决定调一名便决定调一名不懂行的人参加甲组工作不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独其中两裁判独立地以概率立地以概率 p 作出正确裁定作出正确裁定,而第三人以而第三人以掷硬币决定掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定最后根据多数人的意见决定.乙组由乙组由 1 个人组成个人组成, 他以概率他以概率 p 做出正确做出正确裁定裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大问哪一组做出正确裁定的概率大 ? 问问 题题 伯努利伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士数学家瑞士数学家概率论的奠基人概率论的

17、奠基人伯努利 (Jacob Bernoulli )简介 伯努利家属祖孙三代出过十多位数学家. 这在世界数学史上绝无仅有. 伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读了 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数学. . 1694年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文,使伯努利双纽线应此得名. 此外对对数螺线深有研究, 发现对数螺线经过各种变换后, 结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词:纵使变化,依然故我nyxqyxpdydx)()(/1695年提出著名的伯努利方程 1713年出版的巨著推测术,是组合数学及概率史的一件大事.书

18、中给出的伯努利数、伯努利方程、伯努利分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.解解 设取出的5个数按由小到大排列为54321xxxxx令)4(3x表示所求的事件) 3() 4() 4(333xxx杂例杂例 从 1,2, ,10 十个数字中有放回地任取 5个数字, 求取出的5个数字按由小到大 排列, 中间的那个数等于 4 的概率.附附 录录令 Ak 表示所取5个数字中恰有k 个不大于4则kkkkCAP55106104)(533) 4(kkAxmkAAmk ,: ) 4(3x1,1,2,3,3;1,1,2,3,4; 所取5个数字中至少有3个数字不大于41,1,4,4,5; 1,1,4,5,8;) 3() 4() 4(333xPxPxP53535555107103106104kkkkkkkkCC.1544. 0)4()3(33xx由于533)() 4(kkAPxP5355106104kkkkC