随机信号课件：3数字特征.ppt

1、主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论第三讲 随机变量的数字随机变量的数字特征特征以统计的眼光看问题以统计的眼光看问题主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论概率论概率空间高斯分布随机变量的数字特征随机变量函数的分布多维随机变量（随机矢量）随机变量概率论概率论主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论数字特征的引入 以前我们都是用概率分布来描述随机变量的，这种描述虽然详尽，但却不能“集中”地反映出随机变量的变化情况和某些特征。例如有两个射手甲和乙：击中环数 8 9 10

2、甲的概率 0.3 0.1 0.6乙的概率 0.2 0.5 0.3 谁的成绩好呢？ 这恐怕难以一眼看出来，因此我们需要有更清楚直观地描述随机变量特征的方法。这些用来描述随机变量的概率分布特征的数字称为随机变量的数字特征，主要包括数学期望，方差等。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论数字特征的引入 象上面的例题，实际是要求谁平均起来打中的环数高，设他们各打N枪，则甲乙的平均环数分别为：甲：80.3N+90.1N+100.6N=9.3N乙：80.2N+90.5N+100.3N=9.1N 因此甲的成绩好一些。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国

3、民航大学第一章第一章 概率论概率论1随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数一维随机变量一维随机变量二维随机变量二维随机变量n n维随机变量维随机变量随机矢量的函数随机矢量的函数条件数学期望条件数学期望随机变量关于某随机变量关于某个个给定值给定值的条件的条件数学期望数学期望随机变量关于另随机变量关于另一个一个随机变量随机变量的的条件数学期望条件数学期望离散型离散型连续型连续型数学期望的性质数学期望的性质23新新主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论11( ),()XXkkXkkkXE Xx fx dxmE XxpmpP Xx、定义（随机变量 的统

4、计平均、或集平均）连续型：离散型：数学期望（一维）E XX是 的概率质量分布的“重心”位置。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论( )Xfx( )YE Yyfy dy( )( )( )( ( )()XYXyg xfx dxfy dyyf y dyg x fx dE YE g xx由和可得已知随机变量X的分布 ，求其函数Yg(X) 的数学期望。由于12111222()()()()( )( ()xxXXDDXg xfx dxg xfxdxg x fE YE gxxdxg()是单值变换g()是多值变换函数的数学期望（一维）1122( )()()YXXfy

5、 dyfx dxfxdx ()( )( )E g Xg xf x dx主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论5114( 4 1234)55kkkEXxp ()( )( )1(1614916)5465XE g Xg x fx dx 例：已知随机变量X的可能取值是4，1，2，3，4，而且每个值出现的概率相同均为1/5。求随机变量X和函数g(X)X2的数学期望?解：举例（数学期望）241234()16149161111155555Xg XXP主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论12112211122111112

6、212122222()()()()X XXX XXE Xxfx xdx dxx fx dxmE Xxfx xdx dxx fxdxm 220 xm)(2, 1xxf11xm)(2,1mm数学期望（二维）12E XE X（，）1212(,)X Xfx x设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度 已知，其二维概率质量分布的“重心坐标”应该为12E XE XXM主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论 (,)( ,)( ,)XYE g X Yg x y fx y dxdy (,)(,),ijijijijijE g X Yg xyPPP Xx Yy函数的数学

7、期望（二维）02,03( , )90XYxyxyfx y,其它求函数 的数学期望？2(, )g X YX Y已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度30220 (,)49xyxdydxYyE g X 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论数学期望（n维）11(,)1,2,iiXnnnE Xx fxxdxdxin 重积分12111 (,)(,)(,)nnXnnnE g XXXg xxfxx dxdx 重积分111()()XnnnXE XmXEXMXE Xm 随机矢量的数学期望：常数矢量设(X1, X2, , Xn)是n维随机变量，其联合概率密度为：fx

8、(x1,x2, ,xn)，则：主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论(1) 若a Xb, (a,b为常数),则 a EX b11nniiiiEXE X数学期望的性质(3) 变量加权求和的均值等于各变量的均值加权和(2) 常数C的期望 EC=C(4) 相互独立变量积的期望等于变量期望的积11()nniiiiiiEa Xa E X期望运算与求和运算可交换次序期望运算与求和运算可交换次序 X1,X2,Xn相互独立相互独立相互独立时，期望运算与求积运算可交换次序相互独立时，期望运算与求积运算可交换次序主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第

9、一章第一章 概率论概率论条件数学期望（关于给定值） ( )( , )( | )( )( | )( )XYYXYXE Yyf y dyyfx y dxdyyfy x fx dxdyyfy x dyfx dx ( )( | )Yg xyfy x dy( )( | )YE Y Xxg xyfy x dyYXx用符号称之为 在给定条条件数件下的学期望。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件数学期望（关于给定值）iYXx离散型随机变量 在给定条件下的条件数学期望函数的条件数学期望 |ijjijE Y Xxy P YyXx ( )|( )( | )YE g

10、YXxg y fy x dy (, )( , )()YE g X YXxg x y fy x dy主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件数学期望（关于随机变量）( )( | )Yg xyfy x dy定义随机变量Y关于另一随机变量X 的条件期望为 ()E Y Xg X(y|X)Yy fdy主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（条件数学期望）1110Yxyfy Xxx其它均匀分布（X,1）之间主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（条件数学期望）条件数

11、学期望11( | )12YxyxE Y Xxyfy x dydyx12XXxE Y XX用随机变量 替换给定值 ，则数学期望是变量 的函数，也是一个随机变量。11(0,1)(1) (1,2)( ,1)22XXUXUU11()22,1XE Y X即条件数学的均期望服从匀分布。主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论条件数学期望的性质1. | XEE Y XE Y2. (, )| (, )E E g X YXE g X Y3. ()|()|E g XY Xg XE Y X4. (,)E Y XE YX Y独立5. E C XE C| E X CE C思考：

12、？条件期望的期望等于非条件期望条件期望的期望等于非条件期望主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数数学期望数学期望方差方差互相关互相关协方差协方差主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论矩原点矩中心矩E X2E X7.E X2() .XE XmE XY25.E X Y()()XYE XmYmkE X一维nkE X Y二维nklE X YZn维() kXE Xm一维()() nkXYE XmYm二维() () .() nklXYZE XmYmZmn维数学期望均方值互相关

13、方差协方差主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机矢量的方差阵12()() TnXXDEEXu ru ru ru r u ru rMXXXX XX随机矢量的方差：展开可得随机矢量的方差阵 112211221121111221122211222211() ()().()()()()() .()().()()(nnnnnnnnnnnnXmXmDEXmXmXmXmE XmE XmXmE XmXmE XmXmE XmE XmXmE XmXmE Xu rLMX222)().() nnnnmXmE Xm主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第

14、一章第一章 概率论概率论随机矢量的方差阵1121212211nnnnnDXCCCDXCDCCCDXu rLu rLMMMMLXX可得()(),1,2,.,ijiijjCE XmXmi jn其中协方差称为n维随机变量的协方差矩阵（随机矢量的方差阵）ijjiCCCu rX由可知是对称矩阵。02,03( , )90XYxyxyfx y,其它求 协方差矩阵？(, )X Y已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度209102C主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数相关系数的引入相关系数的引入不相关、正交不相关、正交不

15、相关、正交、独不相关、正交、独立之间的关系立之间的关系主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论相关系数的引入在实际中，描述X 和Y 的相互关系最简单的方法散布散布图图相关线性相关非线性相关找到逼近其散布点密集分布的一条回归线（某种曲线） 直线曲线主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论线性回归法主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论a，b参数的确定 2XYXCb2XYYXXCamm极小点 2()XYpYXXCYabXmXmXYpXYXYYXXC &XXpYYXmXYm

16、Y&主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论相关系数 定义：表征两个随机变量之间线性相关程度的量。XYXYXYC 相关系数的性质：0XYC XYRE X E Y D XYD XD Y主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（相关系数）解：协方差3443XYXYXCRE XYE X XE X相关系数4442683330.775115XXXXYXYXE XE X 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论正交、不相关、独立不相关、独立和正交的关系：0XYRE XY正交定义

17、：随机变量X 和Y 满足 独立互不相关一定一定不能得出不能得出正交不存在必然关系不存在必然关系由计算推出关系由计算推出关系主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（三者关系）解：201cos( )cos02E Xfdd 0E Y 1cossin sin2 02E XYEE正交正交()()0XYXYCE XmYmE XY互不相关互不相关主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数定义定义性质性质一维一维n n维维新新主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大

18、学第一章第一章 概率论概率论1.5.5 随机变量的特征函数随机变量的特征函数,1,( )( )( )( )()juxXXjuxiXXiXijuXQjuXQuefx dxXQueP XxuE e 连的特征函数：续型：离散型：( ) ( ) ( ) ( )( )XnnnXXXXfxE XE XD XfxE XD XE XD XfxfxQ u 概率密度反映随机变量统计特征全面，但分析、计算不方便。、分析计算虽方便，但反映随机变量统计特征不全面即：由可得、，但由、不可得。特征函数即反映随机变量统计特征全面，又分析计算方便。且一、特征函数定义（一维）一、特征函数定义（一维）主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏

19、敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论特征函数的定义（一维） 11222juXjuxjuxXQuE ef x edxf x edxFf x 12XFQuf x变换是唯一的变换是唯一的存在存在2 系数，系数，不是傅立叶变换不是傅立叶变换)(21uQX傅里叶正变换)(xf傅里叶反变换主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（一元特征函数） (0,1)XXUQu例：求随机变量均匀分布的特征函数？ (0,1)1,010,elseXUxf x解：均匀分布的概率密度为 110022222111112 sin(2)( )2juXjuxXjuxjux

20、jujujujujujuQuE ef x edxedxeejujujueeeejujuueSa主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论一元特征函数的性质1( )(0)1XXQuQ、 *juxjuxXXQuf x eduf x eduQu ju bYXQueQau()( )()juYju aXbjuaXjubYjubjuaXjubXQuE eE eE eeeE eeQua主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论一元特征函数的性质5、相互独立变量和的特征函数等于特征函数之积。11,nniiXXYX相互独立，则 1i

21、nYXiQuQu 12()111niiinnnju XXXjuXj XjuYYXiiiQuE eE eEeE eQ6、若随机变量X的n阶绝对矩存在，0( )()kkkXkud QuE Xjdu 0( )()XudQuE Xjdu 2220( )Xud QuE Xdu 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论例例1.30 求高斯变量的特征函数求高斯变量的特征函数ABACeA)(2=2121112112221112112122,012222211(0,1)().21( )21212exp()22xXxjXjxXxjxjABCXNfxeQE eeedxedx

22、ee、标准正态分布先介绍一个积分公式先介绍一个积分公式 (复变函数积分的应用公式复变函数积分的应用公式)22AxBx Cedx主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论z2222222()2222221212122222(,)1()2(0,1),4()()()exp2xmXjmXXjmXXN mfxeXmXXNXXmQeQQeejm 、一般正态分布将归一化：利用（性质 ）可得：主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论例例1.31 求二项分布的数学期望、方差和特征函数？ 解： 方法一：二项分布的分布律为0,1,2,

23、kkn knP YkC p qkn 111n kkknkkE YkP YkkC pp 2211()()1n kkkkYnkkD YkEYPkmC pp 11nnj kj kkkn kYnkkQeP YkeC p q计算很难计算很难主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（一元特征函数的性质） 10iijuXjukjuXikQuE eeP Xkqpe 1injYXniuQuQuqpe性质性质5主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（一元特征函数的性质） 0njuuE Yndjpeqpdu 2222220

24、njuudE Yjpeqnpqn pdu 22E YE YD Ynpq性质性质67、特征函数可由随机变量的各阶矩唯一地确定。 0!nnXnjQE Xn常用在理论推导中常用在理论推导中主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论特征函数的定义（n维）11nnXuXuu ru rMMXU随机矢量，参变量矢量11,.,nTkkkju XTjXnXQuuQE eE eu r u ru rU XUu rX定义随机矢量 的特征函数为主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论特征函数的性质（n维） 11(,.,)(0,.,0)1X

25、nXQuuQ、*11(,.,)(,.,)XnXnQuuQuu1,.,0,.,0TTjYrXQuueQu r u u ru rU BU A10nB u ru u rL LrB()r nn rnn n AAO主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论两种特殊情况 111nnna XbYAXBa Xb 11100nnn nnabABab ，1rn、已知，1121 1(,),nkkkju bYnXnnQu uueQa ua u可得：一元一元21r 、已知，11,nnAaaBb （常数）11nnYAXBa Xa Xb 12,jubYXnQueQa u a ua u

26、可得：多元多元n维随机变量维随机变量一维随机变量一维随机变量1,0,0TTjU BYrXQuueQUA 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论特征函数的性质（n维）11(,.,)()knXnXkkQuuQu1121,.,.XnXnXnXXfxxfxfxfxfx对比1：互推互推11,.,nniiXXYX相互独立，则有对比2： 1inYXiQuQu一元特征函数性质一元特征函数性质5形式相似，内容不同形式相似，内容不同主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论特征函数的性质（n维）111(,.,)XnnkXXQuuX

27、Xu ru rMMXY随机矢量的子矢量，且已知特征函数。6、边缘特征函数 11(,.,)(,.,0,.,0)YkXkQuuQuuu rY的特征函数为：121212120,0,7n kn kXnknkuuQu uE X Xjuu 、12121200()()8(,)!nknkXnkjujuQu uE XXnk、20,0,XYuvQu vE XYu v 主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（多维）解：边缘特征函数22( )( ,0)exp2( )(0, )exp2XXYYXYQuQujuuQvQvv主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航

28、大学第一章第一章 概率论概率论举例（多维）相关系数24exp( )2XQujujuuu222224ex(p24e)xp2XjuujujuQuuu 0( )1XuQujE Xu 22202)5(XuQujuE X 224XDXXEm对对X主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（多维）对对Y 24 exp2( )YvQvvv 222224exp24exp2( )YvvvvQv 0( )0YvQvjE Yv 22202)4(YvQvjvE Y 224YDYYEm主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论举例（多维

29、）对对X和和Y 24exp2( , )XYjuvjuuvQu vu2224exp244e(xp, )2XYjuuvjuvuvQujuuvu vv22,0( , )4 404XYu vXXYXYYQu vE XYju vRE X E YRC 441XYXYXXYYXYCCD D主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论习题 必做题 1-19 1-21 改为：随机变量随机变量X 服从（服从（0,XH）的均匀分布）的均匀分布 1-22 选做题 1-20 1-25XH表示学号的最后两位例：040420524同学 XH24主主讲讲教教师：师：贾贾桂桂敏敏中国民航大学中国民航大学第一章第一章 概率论概率论学而不思则罔，思而不学则殆。