高等数学(同济大学)课件下第12-10欧拉方程.ppt

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ln xt 则,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddk

2、tDkkkyDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY221机

3、动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt换回原变量, 得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数, 得4121212tty机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程化为xyyxyx22 (欧拉方程) ,ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD2)1) 1(即teyDD2) 12(2特征根:, 121 rr设特解:,2 tetAy 代入 解得 A = 1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、 例例3.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtD 记则化为teyDDD54) 1(teyD5)4(2特征根: ,2ir设特解: ,teAy代入得 A1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21, 121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax作业作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tDdd记)() 1(21aefypDpDDttDdd记