概率论与统计课件：概率论与统计课件：第四节（第三章）.ppt

1、3.4 随机变量的随机变量的 独立性独立性 第一章定义了两个事件相互独立，而随机事件对应着随机第一章定义了两个事件相互独立，而随机事件对应着随机变量在某个实数集上取值，若对两个随机变量变量在某个实数集上取值，若对两个随机变量X、Y 而言，事而言，事件件X=xi, Y=yj就相当于事件就相当于事件X=xi和和Y=yj同时发生，因此，这同时发生，因此，这两个随机事件的独立性可表示为两个随机事件的独立性可表示为 P X=xi, Y=yj=PX=xi PY=yj ，或，或pij=pi.p.j 为更具一般性，下面用分布函数给独立性下定义为更具一般性，下面用分布函数给独立性下定义 设设F(x, y) 是是

2、(X, Y) 的分布函数，的分布函数，FX(x)、FY(y)是是(X, Y)关于关于X和和Y 的边缘分布函数，若对一切的边缘分布函数，若对一切x，y 有有 F(x, y) = FX(x)FY(y).即即 PX x, Y y=PX xP Y y 则称随机变量则称随机变量X 和和Y 相互独立相互独立 若若(X, Y)是连续型随机变量，是连续型随机变量，f(x, y)是是(X, Y)的概率密度，的概率密度，fX(x)和和fY(y)分别是分别是(X, Y)关于关于X、Y 的边缘概率密度，则的边缘概率密度，则X与与Y 相互独相互独立的充要条件是立的充要条件是 f(x, y) = fX(x) fY(y)。

3、 同样，当同样，当(X, Y)是离散型随机变量时是离散型随机变量时X与与Y 相互独立的充要条相互独立的充要条件是件是 PX=xi, Y=yj = PX=xiPY=yj.(也就是也就是pij=pi.p.j) 例例1 证明中的二维正态随机变量证明中的二维正态随机变量(X, Y)中中X、Y相互相互独立的充独立的充要条件为要条件为 = 0 证证 因为二维正态随机变量因为二维正态随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为)()(2)()1(212212222212121212121),( yyxxeyxf由由3.2例例3其关于其关于X 和和Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为),(21)(21212)

4、(1 xXexf),(21)(22222)(2 yYeyf 22222121)()(212121),(, 0 yxeyxf则则若若= fX(x) fY(y) 故故X与与Y 相互独立相互独立 反之，若反之，若X 和和Y 相互独立，则对所有相互独立，则对所有x、y 有有f(x, y) = fX(x) fY(y)。 特别令特别令x=1，y=2，由上面几个关系式应得到，由上面几个关系式应得到2122121121 从而从而= 0 例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率密度的概率密度 , 0,3),(xyxf.,0 , 10其其他他xyx 问问X、Y是否独立是否独立 解解 dyyxf),(

5、由由10 ,3302 xxxdyx , 0,3)(2xxfX得得., 10其他其他 x dxyxf),(由由 12)1(233yyxdx)10( y ., 010),1(23)(2其其他他得得yyyfY因因f(x, y) fX(x)fY(y)，所以所以X、Y不独立不独立 例例3 (会面问题会面问题)甲乙两人约定甲乙两人约定0时到时到1时在某处会面，他们到时在某处会面，他们到达会面地点的时间均匀分布在达会面地点的时间均匀分布在01时设他们两人到达的时间时设他们两人到达的时间是相互独立的，二人约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时是相互独立的，二人约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人

6、能会面的概率即可离去，求两人能会面的概率 解解 设设X、Y 分别表示甲、乙两人到达的时间分别表示甲、乙两人到达的时间(单位：小时单位：小时)，由已知条件，由已知条件，X 和和Y 的概率密度分别为的概率密度分别为 , 0, 1)(xfX., 10其他其他 x.,10其其他他 y , 0, 1)(yfY因因X 和和Y 相互独立，故相互独立，故(X, Y) 的概率密度的概率密度 f(x, y) = fX(x) fY(y), 即即 其他其他010 , 101),(yxyxf两人能会面等价于两人能会面等价于|XY|1/4 P|XY|1/4 41|41|),(yxyxdxdydxdyyxf16743431 O 1/4 1 x y 11/4能会面的概率等于阴影部分面积能会面的概率等于阴影部分面积 上述关于二维随机变量的上述关于二维随机变量的独立性独立性概念，容易推广到概念，容易推广到 n 维随维随机变量的情况，见机变量的情况，见68面面