高等数学课件：第六次课－极限存在准则与重要极限（第一章）.ppt

1、三、两个重要极限三、两个重要极限 二、极限存在准则二、极限存在准则第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及两个重要极限 第一章 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系一、一、 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx 有)(nxfxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且设,)(lim0Axfxx即,0,0当,00时xx有.)(

2、Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义 , 且, )(0nxxn对上述 ,Nn 时, 有,00 xxn于是当Nn 时.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反证法证明. (略).)(limAxfnn有证：证：当 xyA,N“ ”“ ”0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(limAxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(li

3、mnnxf)(x)(nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、极限存在准则二、极限存在准则夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调有界准则柯西审敛准则 （略）azynnnnlimlim)2(1. 数列极限的夹逼准则数列极限的夹逼准则 (准则1) (P49),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证

4、证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim

5、)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . (P52P54)证证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(

6、nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e

7、为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n此式即为重要极限故极限存在，例例3.3.设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习已知),2, 1(21

8、,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim机动 目录 上页 下页 返回 结束 1sincosxxx圆扇形AOB的面积三、三、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 当20 x时xxcos1cos102sin22x

9、222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnRcossinlim2Rn例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcos

10、sin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故

11、exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1 (limexxxlimx例例7. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2sin1的

12、不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 11limsin或思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第七节 目录 上页 下页 返回 结束