概率论与统计课件:概率论与统计课件:第一节(第三章).ppt
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- 概率论 统计 课件 第一节 第三
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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机变量的引入,使我们有了一个描述随机试验的有力工随机变量的引入,使我们有了一个描述随机试验的有力工具在生产实际与理论研究中,常常遇到这种情况:需要同时具在生产实际与理论研究中,常常遇到这种情况:需要同时用几个随机变量才能较好地描述某一试验例如打靶,弹着点用几个随机变量才能较好地描述某一试验例如打靶,弹着点位置需由横坐标位置需由横坐标X、纵坐标、纵坐标Y 两个随机变量来描述又如考察人两个随机变量来描述又如考察人的体质,要同时考虑身高、的体质,要同时考虑身高、 体重、血压、肺活量等,这些指标体重、血压、肺活量等,这些指标都是随机变量值得强调
2、的是这些随机变量之间一般说来又有都是随机变量值得强调的是这些随机变量之间一般说来又有某种联系,因而需把这些随机变量作为一个整体(即向量)来某种联系,因而需把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究研究 定义定义 若若X1,X2,Xn 是样本空间是样本空间上的上的n个随机变量,个随机变量,则由它们构成的向量则由它们构成的向量X=(X1,X2,Xn)叫叫n维随机变量维随机变量 对任意实数对任意实数x1、x1、xn,n元函数元函数 由于二维与由于二维与n 维类似,故着重讨论二维随机变量维类似,故着重讨论二维随机变量,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 称为称为n维随机变量维随机变量X=(
3、X1,X2,Xn)的的分布函数分布函数,或随机变量,或随机变量X1,X2,Xn的的联合分布函数联合分布函数。 实际上,它是实际上,它是n个事件个事件、11xX 、 22xX nnxX 同时发生的概率。同时发生的概率。3.1 二维随机变量二维随机变量 一、二维随机变量概念一、二维随机变量概念 定义定义 设设E 是一个随机试验,是一个随机试验,X和和Y 是定义在其样本空间是定义在其样本空间上的两个随机变量,则称上的两个随机变量,则称(X,Y)为为二维随机变量二维随机变量. 对任意实数对任意实数x、y,二元函数,二元函数 F(x,y)=PX x,Y y称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布
4、函数的分布函数,或称为,或称为随机变量随机变量X 和和Y的联合分布函数的联合分布函数 F(x,y)可以看作随机点可以看作随机点(X,Y)落在如图所示的以落在如图所示的以(x,y)为为顶点的无限矩形域上的概率顶点的无限矩形域上的概率 依这种直观解释,依这种直观解释,容易看出容易看出F(x,y)具有如下具有如下性质:性质: (1) F(x, y) 是关于是关于x 或或y 的非减函数。即对于固定的的非减函数。即对于固定的y ,若,若x1x2,则,则F(x1, y) F(x2, y);对于固定的对于固定的 x,若,若y1y2,则,则F(x, y1)F(x, y2) (2) 0F(x, y) 1且且1)
5、,(lim),( yxFFyx0),(lim),( yxFyFx0),(lim),( yxFxFy0),(lim),( yxFFyx(3) F(x, y) 对每个变量右连续,即对每个变量右连续,即 F(x, y) = F(x0, y),F(x, y) = F(x, y0) 由概率的可加性,借助右图,由概率的可加性,借助右图,可用分布函数来表示随机变量可用分布函数来表示随机变量(X, Y) 落在长方形区域的概率落在长方形区域的概率:P x1X x2, y1Y y2 = PX x2, Y y2P X x1, Y y2 PX x2, Y y1 PX x1, Y y1 =F(x2, y2) F(x1,
6、y2) F(x2, y1) F(x1, y1) 下面对两种类型的二维随机变量分别进行讨论下面对两种类型的二维随机变量分别进行讨论:二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布 如果二维随机变量如果二维随机变量(X, Y) 的所有可能取值是有限对,或的所有可能取值是有限对,或可列无穷多对,则称可列无穷多对,则称 (X, Y) 为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量 设二维离散型随机变量(设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为)所有可能取的值为(xi, yj) (i、j=1,2,),并记,并记PX=xi, Y=yj= pij,(i、j=1,2,),称为称为二维离散型随机变
7、量二维离散型随机变量(X, Y) 的概率分布或分布律的概率分布或分布律,或称为,或称为随机变量随机变量X 和和Y 的联合分布律的联合分布律 由概率的定义有由概率的定义有 pij 0,111 ijijp xxyyjiijyYxXP, 由定义可看到离散型随机变量由定义可看到离散型随机变量(X, Y) 的分布函数:的分布函数: F(x, y) = P X x, Y y = 例例1 设有设有5件产品,其中件产品,其中2件次品件次品3件正品从中依次任取件正品从中依次任取2 件件(不放回不放回),X、Y 分别表示每次取得次品数,求分别表示每次取得次品数,求(X, Y)的分布的分布 解解 X、Y只可能取只可
8、能取0,1两个值,故两个值,故(X, Y) 可能取值为可能取值为(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1),由古典概率计算公式可得,由古典概率计算公式可得3 . 00, 02523 AAYXP3 . 01, 0251213 ACCYXP3 . 00, 1251312 ACCYXP1 . 01, 12522 AAYXP上述分布律可以用下表表示上述分布律可以用下表表示 X Y 0 1 0 0.3 0.3 1 0.3 0.1 例例2:将一枚硬币连掷:将一枚硬币连掷3次,次,X 表示正面出现的次数,表示正面出现的次数,Y 表示表示 正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值,求正面出现的次
9、数与反面出现的次数之差的绝对值,求X 和和Y 的联的联 合分布律。合分布律。0)1, 0 PYXP81)21(3, 03 YXP83)21(1, 1313 CYXP03, 1 PYXP83)21(1, 2323 CYXP03, 2 PYXP01, 3 PYXP81)21(3, 33 YXP解:解:X 的可能取值为的可能取值为0,1,2,3; Y 的可能取值为的可能取值为1,3. X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 三、二维连续型随机变量的概率分布三、二维连续型随机变量的概率分布 与一维随机变量相似,对于二维随机变量与一维随机变量相似,对于二维随机变量
10、(X, Y) 的分布函数的分布函数F(x, y),如果有非负可积函数,如果有非负可积函数 f(x, y),对于任意实数,对于任意实数x、y,有,有 则称则称(X, Y) 为二维连续型的随机变量,函数为二维连续型的随机变量,函数 f(x, y) 称为称为二维随机二维随机 变量变量(X, Y) 的概率密度的概率密度,或称为,或称为X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度 按定义概率密度按定义概率密度f(x, y) 有以下性质:有以下性质: (1) f(x, y) 0; xydudvvufyxF),(),( 1),()2(dxdyyxf 反之,若一个二元函数具有以上两条性质,则此二元函数必反之,若一
11、个二元函数具有以上两条性质,则此二元函数必为某二维随机变量的密度函数此外,二维密度函数还具有下面为某二维随机变量的密度函数此外,二维密度函数还具有下面的性质:的性质: (3) 若若f(x, y) 在点在点(x, y) 连续连续, 则则),(),(2yxfyxyxF DdxdyyxfDYXP),(),( (4) 设设D为为xoy平面一个区域,点平面一个区域,点(X, Y) 落在落在D内的概率为内的概率为 上式表明上式表明(X, Y) 落在落在D内的概率等于以内的概率等于以D为底、以为底、以z = f(x, y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积 例例3 设设D为平面上面积为为平面上面积为A
12、的有界区域,若的有界区域,若(X, Y)具有密度具有密度 函数函数 其其它它0),(1),(DyxAyxf则称则称(X, Y) 在在D上服从上服从均匀分布均匀分布又如又如D为矩形域:为矩形域:a x b,c y d,则密度函数为,则密度函数为 其其它它)(0,)(1),(dycbxacdabyxf 其其它它0)()(1),(2222RbyaxRyxf 例如,例如,D为圆域:为圆域:(xa)2(yb)2 R2,则密度函数为,则密度函数为 解解 (1)由密度函数性质有由密度函数性质有 00)(),(1dxdyeKdxdyyxfyxKeeKyx 001 K 例例4 设二维随机变量设二维随机变量(X,
13、 Y) 的密度函数的密度函数 其其它它00, 0),()(yxKeyxfyx(1)确定常数确定常数K; (2)求分布函数求分布函数F(x, y);(3)求求(X, Y) 落在如图所示的三角形域落在如图所示的三角形域D内的概率内的概率(3) P(X, Y)D = dyedxdxdyyxfyxxD)(22010),( 3996. 02121 eedudvvufyxFxy ),(),()2(当当x0,y0时时, 有有yvxuxyvueedudveyxF0000)(),( 其其它它故故00, 0)1)(1 (),(yxeeyxFyx3.2 边缘分布边缘分布 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)
14、,分量,分量X 的分布函数称为的分布函数称为(X, Y)关于关于 X 的边缘分布函数的边缘分布函数,记为,记为FX(x);分量;分量Y 的分布函数称为的分布函数称为(X, Y) 的的 关于关于Y 的边缘分布函数的边缘分布函数,记为,记为FY(y) 由于由于(X, Y) 的联合分布函数全面反映了的联合分布函数全面反映了(X, Y) 的取值情况,因的取值情况,因 此此(X, Y) 的边缘分布函数可以由的边缘分布函数可以由(X, Y) 的分布函数的分布函数F(x, y)来确定来确定 FX(x) =PX x = PX x, y = F(x, ) 同理同理 FY(y) =F(, y)一、二维离散型随机变
15、量的边缘分布一、二维离散型随机变量的边缘分布 设设PX= xi Y= yj= pij(i、j =1, 2, ),于是,于是 FX(x)= F(x, ) = xxjijip1 xxiixXP), 2 , 1(1 ippijij), 2 , 1(1 jppyYPjiijj同理同理对比一维随机变量分布函数的式子有对比一维随机变量分布函数的式子有 F(x)=PX x = 故有故有 PX xi = 二维离散型随机变量的联合分布的边缘分布常被列二维离散型随机变量的联合分布的边缘分布常被列成表格的形式(见下表)成表格的形式(见下表) 显然显然(X, Y) 关于关于X 的边缘分布可由表的边缘分布可由表依列累加
16、依列累加求得,求得, 而而(X, Y) 关于关于Y 的边缘分布可由表的边缘分布可由表依行累加依行累加求得分别称求得分别称 p i.、p.j(i、j =1,2,)为为(X, Y) 关于关于X 和和Y 的的边缘分布律边缘分布律 1 p1. p2. pi. pi.p.1p.2p.j p11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij y1 y2 yjp.j x1 x2 xi X Y 例例1 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率分布为的概率分布为0123010/506/504/501/5019/5010/50 3/50025/502/5000XY求求1| YXP及及X 和
17、和Y 的边缘分布律的边缘分布律解解1| YXP表中红色部分相加表中红色部分相加0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50 p.j 24/5018/507/501/501XY 二、二维连续型随机变量的边缘分布二、二维连续型随机变量的边缘分布 设连续型随机变量设连续型随机变量(X, Y) 的概率密度为的概率密度为f(x, y),由,由 FX(x)=F(x, )dxdyyxfx),( 对比一维连续型随机变量的分布函数式子:对比一维连续型随机变量的分布函数式子: 分别称分别称 fX(x)、fY(y)为为(X, Y)
18、 关于关于X 和和Y 的的边缘概率密度边缘概率密度 xXdttfxF)()( dyyxfxfX),()(得:得:同理有:同理有: dxyxfyfY),()(fX(x)为为X、Y 的联合密度的联合密度f(x, y) 在整个在整个y 轴上对轴上对y积分积分fY(y) 为为X、Y 的联合密度的联合密度f(x, y) 在整个在整个x 轴上对轴上对x积分积分 例例2 设二维随机变量在区域设二维随机变量在区域D:0 x1,0y22x上服上服 从均匀分布,试求从均匀分布,试求X 和和Y 的边缘分布密度的边缘分布密度 解解 由定义知联合密度为由定义知联合密度为 DyxDyxyxf),(0),(1),( dyy
19、xfxfX),()( 其其它它01022xx 其其它它0101220 xdyx 其其它它0201210ydxy dxyxfyfY),()( 其他其他02021yy 例例3 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y) 的概率密度为的概率密度为)()(2)()1(212212222212121212121),( yyxxeyxf(x, y)其中其中1,2,1,2 ,都是都是常数,且常数,且1 0,2 0,11,称,称(X, Y)为服从参数为服从参数1,2,1,2 ,的的二维正态分布二维正态分布试求试求(X, Y) 的边缘分布的边缘分布 解解211221122 xxy dyyxfxfX),()( 22
20、112222 yxy由由于于dyeexfxyxX 2112222121)()()1(212)(221121)( )()(1111222 xyt令令dteexftxX22)(12212121)( )(21)(22222)(2 yeyfyY 同理同理)(21)(21212)(1 xexfxX 即即可见:可见:二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态分布二维正态分布的概率密度随着的概率密度随着值不同而变化,但其边缘概率密度却与值不同而变化,但其边缘概率密度却与无关无关3.3 条件分布条件分布 一般情况下,一般情况下,X、Y 联合分布可以唯一确定边缘分布,然
21、联合分布可以唯一确定边缘分布,然而若已知两个边缘分布,则不一定能确定它们的联合分布这而若已知两个边缘分布,则不一定能确定它们的联合分布这就象由就象由P(A)、P(B)不能确定不能确定P(AB)一样,但是,由一样,但是,由P(A)和和P(B|A)可以确定可以确定P(AB),于是引进了与条件概率对应的条件分布。,于是引进了与条件概率对应的条件分布。 有时须考虑二维离散型随机变量有时须考虑二维离散型随机变量(X, Y) 中某分量取某定值中某分量取某定值的条件下的条件下,另一分量的概率分布借助条件概率定义,我们有另一分量的概率分布借助条件概率定义,我们有 若若PX xi0,则称,则称|iji jxXy
22、YPp 为在为在X xi的条件下的条件下Y 的条件分布律的条件分布律,简称,简称条件分布条件分布,ijixXPyYxXP )3 , 2 , 1( jppiij|jijiyYxXPp 同样,若同样,若P Y = yj 0,则称,则称为在为在Y yi条件下条件下X 的条件分布律的条件分布律 显然,条件分布亦满足一般概率分布(亦称显然,条件分布亦满足一般概率分布(亦称无条件概率分无条件概率分布布)的基本性质:)的基本性质:(1) P Y = yj X xi 0 (j =1,2,) 1)2(jPY = yj X xi =1 条件分布的定义表明,条件分布的定义表明,二维离散随机变量二维离散随机变量(X,
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