概率论与统计课件：第三节（第一章）.ppt

1、1.3古典概型和几何概型古典概型和几何概型一、古典概型（一、古典概型（等可能概型等可能概型）有很多试验都具有两个共同的特点：有很多试验都具有两个共同的特点：(1)试验的可能结果试验的可能结果(样本空间的样本点样本空间的样本点)有限；有限；(有限性有限性)(2)每次试验中各样本点出现的可能性相等。每次试验中各样本点出现的可能性相等。(等可能性等可能性)具有以上两个特点的试验称为具有以上两个特点的试验称为等可能概型等可能概型它在概率论发展它在概率论发展初期是主要的研究对象，故也称为初期是主要的研究对象，故也称为古典概型古典概型古典概型在概率论中占有重要地位一方面它有助于简古典概型在概率论中占有重要

2、地位一方面它有助于简单直观地理解概率论的一些基本概念；另一方面古典概型的单直观地理解概率论的一些基本概念；另一方面古典概型的概率计算在产品质量的抽样检查等实际问题以及理论物理的概率计算在产品质量的抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要的应用研究中都有重要的应用nmAP )(若试验结果由若试验结果由n个基本事件组成，并且基本事件的发生具个基本事件组成，并且基本事件的发生具有相同的可能性，而事件有相同的可能性，而事件A由其中的由其中的m个基本事件组成，则个基本事件组成，则（事件（事件A含的基本事件数除以含的基本事件数除以试验的基本事件总数）试验的基本事件总数）此定义通常称为概率的此定义通常

3、称为概率的古典定义古典定义。显然古典概率满足：显然古典概率满足：(1)0P(A)1(2) P()=0P()=1;(3)若若A 、B为互不相容的两个事件，则为互不相容的两个事件，则P(AB)P(A)P(B)例例1袋内有外形一样的袋内有外形一样的5个白球，个白球，3个黑球，从中任取个黑球，从中任取两个。求取出的两个球两个。求取出的两个球都是白球的概率；都是黑球的都是白球的概率；都是黑球的概率；概率；一个白球一个黑球的概率。一个白球一个黑球的概率。解：设解：设A表示表示“取到两白取到两白”、B表示表示“取到两黑取到两黑”、C表表示示“取到一白一黑取到一白一黑”试验的基本事件总数试验的基本事件总数28

4、235 CnA含的基本事件数含的基本事件数1025 CmAB含的基本事件数含的基本事件数323 CmB C含的基本事件数含的基本事件数151315 CCmC1452810)( AP283)( BP2815)( CP例例2：一批产品共：一批产品共200个，其中有个，其中有6个废品。求（个废品。求（1）这批）这批产品的废品率（任取一件产品是废品的概率）；（产品的废品率（任取一件产品是废品的概率）；（2）任取）任取3个恰有一个废品的概率；（个恰有一个废品的概率；（3）任取）任取3个全非废品的概率。个全非废品的概率。解：设解：设A、B、C分别表示分别表示(1)、(2)、(3)中三事件，则中三事件，则0

5、3. 02006)( AP0855. 0)(3200219416 CCCBP9122. 0)(32003194 CCCP例例3：两封信随机投入：两封信随机投入、四个邮筒，四个邮筒，A 表表示恰有一封信投入第二个邮筒，示恰有一封信投入第二个邮筒，B 表示各有一封信投入前两表示各有一封信投入前两个邮筒。求个邮筒。求P(A)、P(B)。解：基本事件总数为解：基本事件总数为44=16 A含的基本事件数含的基本事件数61312 CCmA12C表示两封信中任一封投入第二个邮筒表示两封信中任一封投入第二个邮筒13C表示另一封可投入余下三个邮筒中的一个邮筒表示另一封可投入余下三个邮筒中的一个邮筒B含的基本事件

6、数含的基本事件数2 Bm8316616)( AmAP于是于是8116216)( BmBP例例410件产品中件产品中7件正品，件正品，3件次品，任取两件件次品，任取两件(不放回抽样不放回抽样)，求求“取到一件正品一件次品取到一件正品一件次品”的概率的概率解：令解：令A表示表示“取到两件正品取到两件正品”，B表示表示“取到两件次取到两件次品品”，C表示表示“取到一正一次取到一正一次”。法法1直接用古典概型的概率计算公式计算直接用古典概型的概率计算公式计算样样本本空空间间中中的的样样本本点点数数中中的的样样本本点点数数事事件件 CCP )(15745212101317 CCCBABAC ：法法2(既

7、非两件正品又非两件次品即一正一次既非两件正品又非两件次品即一正一次)157)(21027 CCAP151)(21023 CCBPA、B互不相容，互不相容，P(AB)= P(A) P(B)=8/15)()(BAPCP =1-P(AB)=7/15例例5在在1100中任取一数，求取到的数既不能被中任取一数，求取到的数既不能被6整除，整除，又不能被又不能被8整除的概率整除的概率解解令令A表示表示“取到的数能被取到的数能被6整除整除”，B表示表示“取到的取到的数数能被能被8整除整除”那么那么“取到的数既不能被取到的数既不能被6整除，又不能被整除，又不能被8整整除除”可表示为可表示为BABA 100内内6

8、的倍数有的倍数有16个，个，8的倍数有的倍数有12个，个，6和和8的公倍的公倍数有数有4个，故有个，故有 P(A)=16/100，P(B)=12/100，P(AB)=4/100由由P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=0.2476. 024. 01)(1)( BAPBAP二、几何概型二、几何概型古典概型所研究的随机试验是有限等概率样本空间，对古典概型所研究的随机试验是有限等概率样本空间，对于有无穷多可能结果的试验，古典概率的定义就不适用了于有无穷多可能结果的试验，古典概率的定义就不适用了向某一可度量的区域向某一可度量的区域G 内投一点，如果所投点落在内投一点，如果所投点落在G 中中任一区域任

9、一区域g内的可能性的大小与内的可能性的大小与g 的度量成正比，而与的度量成正比，而与g 的位的位置和形状无关置和形状无关把具有这种特征的随机试验称为把具有这种特征的随机试验称为几何概型几何概型这里所说的度量，可以是线段的长度；可求积的平面区这里所说的度量，可以是线段的长度；可求积的平面区域的面积；可求积的空间区域的体积等等域的面积；可求积的空间区域的体积等等几何概型中样本点可以用几何概型中样本点可以用G 中的点表示，因而样本空间中的点表示，因而样本空间=G事件事件A 的概率的计算公式为的概率的计算公式为的度量的度量的度量的度量 AAP)(显然几何概率具有如下性质：显然几何概率具有如下性质：(1

10、)0P(A)1(2)P()=1，P()=0(3)若若A1,A2,An,为可列个两两互不相容的事件，则为可列个两两互不相容的事件，则 11)()(iiiiAPAP例例6甲乙两人约定在甲乙两人约定在0时到时到T 时在某地会面，先到者等候时在某地会面，先到者等候t（T）时，过时即可离去，试求两人能会面的概率时，过时即可离去，试求两人能会面的概率解解令令x 和和y 分别表甲和乙到达某地的时刻，那么分别表甲和乙到达某地的时刻，那么x 和和y 均均可能取可能取0，T内任一值即内任一值即0 x T，0y T 如图如图1-3，建立直角坐标系，问题可视为向平面区域，建立直角坐标系，问题可视为向平面区域=(x,y

11、)|0 xT,0yT内投点内投点令令A表示表示“两人能会面两人能会面”，则，则A=(x,y)|x-y|t为图中为图中阴影部分阴影部分22)()(TTTAAP面面积积的的的的面面积积 例例7 平面上画着一些平行线，相邻两条平行线间的平面上画着一些平行线，相邻两条平行线间的距离均为距离均为a，向该平面上任意投一枚长度为向该平面上任意投一枚长度为l (l a)的针，的针，试求针与平行线中任意一条相交的概率试求针与平行线中任意一条相交的概率解解令令x 表示针的中点到最近的表示针的中点到最近的一条平行线的距离，一条平行线的距离， 20 ,0,axx 表示针与此表示针与此线的交角，线的交角，如图如图14于

12、是投针于是投针问题相当于向平面区域问题相当于向平面区域内投点令内投点令A表示表示“针与平行线相交针与平行线相交”，则，则A发生相当于发生相当于2sin0lxx sin20 ,0| ),(lxxA 即即在平面上建立直角坐标系，如图在平面上建立直角坐标系，如图15ldlSA sin20 alSSAPA2)( aS 21 此问题是是法国科学家蒲丰在此问题是是法国科学家蒲丰在1777年提出的年提出的“投针问投针问题题”令令p=P(A)，那么那么apl2 此事件的概率此事件的概率p与与有关，因此可用它计算有关，因此可用它计算的近似值的近似值.“投投针问题针问题”还是找矿中的一个重要概型还是找矿中的一个重要概型设在给定区域内的设在给定区域内的某某处有一矿脉（相当于针）长为处有一矿脉（相当于针）长为l，用间隔为用间隔为a的一组平行线的一组平行线进行探测，假定进行探测，假定l a ，那么那么“找到矿脉找到矿脉”的概率也就相当的概率也就相当于针与平行线相交的概率于针与平行线相交的概率求求的方法是：投针的方法是：投针N次，记录针与平行线相交的次数次，记录针与平行线相交的次数n，用频率作为概率用频率作为概率p的值，得到近似计算公式：的值，得到近似计算公式：anlNNnal22