高等数学(同济大学)课件下第11-6一致收敛.ppt
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- 关 键 词:
- 高等数学 同济大学 课件 下第 11 _6 一致 收敛
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1、函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性* *第六节第六节一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为,)(nnxxS和函数)(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1该和函数在 x1 间断.机动 目录
2、上页 下页 返回 结束 因为对任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为 (, +) ,但逐项求导后的级数 xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .又如又如, 函数项级数问题问题: 对什么样的函数项级数才有:逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设 S(x) 为 )(1xunn若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有)()()(xSxSxrnn则
3、称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然, 在区间 I 上 )(1xunn一致收敛于和函数S(x)部分和序列)(xSn一致收敛于S(x) 余项 )(xrn一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释 : (如图) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN当n N 时,表示)()(xSxSn曲线 )()(xSyxSy与总位于曲线)(xSyn)(xSyn之间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 研究级数 ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间 0, +) 上的收敛性.解解: 11
4、1) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余项的绝对值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任给 0, 取自然数 ,11N则当n N 时有)0()(xxrn这说明级数在 0, +) 上一致收敛于 .11)(xxS机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明级数 )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收敛 . 证证: nnnnxxxxxxxS)()()(12)(x
5、S10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正数 ,21对无论多么大的正数 N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101xrN而因此级数在 0, 1 上不一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox说明说明:11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xS对任意正数 r 0, 欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn ,)(nnrxr必有即级数在 0, r 上一致收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法判
6、别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 ),()(xSxSn及这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数)(1xunn在区间 I 上满足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 .简介 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由条件2), 根据柯西审敛原理, ,0N当 n N 时, 对任意正整数 p , 都有 221pnnnaaa由条件1), 对 x I , 有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数
7、 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 . 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxRRab推论推论.若幂级数nnnxa0的收敛半径 R 0 , 则此级 数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 .证证: ,maxbar 设则对 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 nnnra0绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明级数22222sin22sin1s
8、innxnxx在(, +) 上 一致收敛 .证证: ),(x因对任意),2, 1 ,0(1sin222nnnxn而级数021nn收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在 (, +) 上 一致收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式时,nnaxu)(可利用导数求)(maxxuanIxn例如例如, 级数,1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求导法可得已知2311nn收敛, 因此原级数在0, +) 上一致收敛 . ,1)(25xnxnxun
9、机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质定理定理1. 若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间.,)(上连续在则baxS证证: 只需证明, ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于)()(0 xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上连续在区间各项baxun机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为级数)(1xunn一致收敛于S (x) , N, 0故),(N使当 n N 时, 有3)(,3)(0 xrxrnn对这样选定的
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