概率论与统计课件：概率论与统计课件：习题课（第三章）.ppt

1、1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数.,),(yYxXPyxF 2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数,ijjipyYxXP ;, 2 , 1, ji yyxxijjipyxF),( 3. 二维连续型随机变量的概率函数二维连续型随机变量的概率函数vuvupyxFyxdd),(),( 一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布解解,dd),()(11 yxyxp因因为为1dd)6(2042 xyyxk所所以以;81 k.4)4(;5 . 1)3(;3, 1)2(;) 1 (., 0, 42, 20),6(),(),( YXPXPYXPk

2、yxyxkyxpYX求求求求确确定定常常数数其其它它具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量例例3, 1)2( YXP;83dd)6(811032 xyyx5 . 1)3( XP;3227dd)6(815 . 1042 xyyx4)4( YXP.32dd)6(814240 yxyxy4YXP oxyyx 4二、边缘分布二、边缘分布 xXxyyxfxFxFdd),(),()( yyxfxfXd),()(联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 xyxfyfYd),()( yYyxyxfyFyFdd),(),()(解解yyxfxfXd),()( yexyd yyxfxfXd),()( .xe

3、 ,0时时当当 x. 0 .,)(其其它它故故00 xexpxX例例,0时时当当 x ., 0,0,),(),(其它其它yxeyxfYXy.1)2();()1( YXPxfX求求1)2( YXP xxyyedx1210dxeexxd)1(210 .21211 eeyxyxpyxdd),( 1xy Oxyxy 1 21;, 2 , 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF例例 已知下列分布律求其边缘分布律已知下

4、列分布律求其边缘分布律.XY1042124212421242610XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 解解 747317473 三、条件分布三、条件分布|iji jxXyYPp )3 , 2 , 1( jppiij|jijiyYxXPp )3 , 2 , 1( ippjij xxjijiyYxXPyxF)|()|( xxjiip| yyijijxXyYPxyF)|()|( yyi jjp| )|(yxf)(),(yfyxfY )|(xyf)(),(xfyxfX )|(yxF xYduyfyuf)(),( )|(xyF yXdvxfvxf)(),(四、随机变量的

5、独立性四、随机变量的独立性 1、设、设F(x, y) 是是(X, Y) 的分布函数，的分布函数，FX(x)、FY(y)是是(X, Y)关于关于X和和Y 的边缘分布函数，若对一切的边缘分布函数，若对一切x，y 有有 F(x, y) = FX(x)FY(y).则称随机变量则称随机变量X 和和Y 相互独立相互独立 2、若、若(X, Y)是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则X与与Y 相互独立的充要条相互独立的充要条件是件是 f(x, y) = fX(x) fY(y)。 3、若若(X, Y)是离散型随机变量是离散型随机变量，则，则X与与Y 相互独立的充要条相互独立的充要条件是件是 PX=xi, Y=

6、yj = PX=xiPY=yj.也就是也就是 pij=pi.p.j解解, 1dd),() 1 ( yxyxp因为xyxCyxdd)1(100 yxyxpdd),( 可得.,)(;,)(;)(.,.,),(),(),(的的独独立立性性判判断断的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于求求关关于于的的值值求求其其它它设设YXYXCxyxxCyyxpYX32100101 例例 ., 0.0 , 10),1 (24),(其它故xyxxyyxp124d2)1(210 CxxxC.24 Cxy oxy1 xyxyyyxpxpxXd)1(24d),()(0 ).1(122xx ,10)2(时时当当 x,1, 0时

7、时或或当当 xx.0d),()( yyxpxpX ., 0, 10),1 (12)(2其它xxxxpX于是于是 (X, Y)关于关于X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为xyxpypYd),()( .)1(122yy xxyyd)1(241 ,10时时当当 yxy oxy1 x ., 0, 10,)1 (12)(2其它因而得yyyypY),()(),()3(ypxpyxpYX 由于.,不不相相互互独独立立所所以以YX.0d),()( xyxpypY,1, 0时时或或当当 yy五、两个随机变量函数的分布五、两个随机变量函数的分布1. 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布ijjipyYx

8、XP , ),(),(jikyxfzijkpzYXgZP2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布（1）Z=XY 的分布的分布 dxxzxfzfZ),()( dyyyzfzfZ),()(特别特别X 和和Y 相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式dxxzfxfffYXYX)()( dyyfyzfYX)()( （2）Z=X 2Y 2的分布的分布（3）M=maxX, Y及及N=minX, Y的分布的分布X 和和Y 相互独立时相互独立时FM(Z)= FX(z)FY(z)FN(Z) =11 FX(z)1 FY(z)解解),max(54321XXXXXD 设设例例1.4),max(:.,

9、 0, 0,1)(:,55432182543212的的概概率率试试求求其其它它且且都都服服从从同同一一分分布布机机变变量量设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随察察值值为为得得到到的的观观次次测测量量了了对对某某种种电电子子装装置置的的输输出出 XXXXXzezFXXXXXze,)()(5maxzFzF 因因为为41 DP.)1(152ee )4(1maxF 5)4(1F 4 DP所所以以例例2 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律, 且且 X 的分布律为的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互独独立立与与因因为为YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221