材料研究方法课件：倒易格子及电子衍射（2）（第一章）.pptx

1、中国地质大学中国地质大学( (武汉武汉) )材化材化学院学院The Faculty of Material Science & Chemistry ,China University of Geosciences2第2章 电子束与物质作用产生的信号第3章 扫描电子显微镜的结构及工作原理 第4章 扫描电子显微镜的操作与应用主要内容第1章 电子光学基础3第第3 3章章 倒易格子及电子衍射倒易格子及电子衍射3.13.1 倒易格子的概念及性质倒易格子的概念及性质3.23.2 倒易倒易球与衍射方向球与衍射方向3.3 3.3 倒易球与倒易球与X X射线衍射射线衍射3.43.4 倒倒易球与电子衍射易球与电子

2、衍射43.1.1 倒易点阵的概念倒易点阵的概念 1921 1921年，厄瓦尔德在数学上另辟蹊径，反传统方法采用正年，厄瓦尔德在数学上另辟蹊径，反传统方法采用正空间对衍射的习语和处理方式，他尝试从几何学的角度进行图空间对衍射的习语和处理方式，他尝试从几何学的角度进行图解并提出了倒易空间的概念。在以下方面取得了极大成功：解并提出了倒易空间的概念。在以下方面取得了极大成功： 第一：建立了第一：建立了BraggBragg公式的几何图解法，后称为厄瓦尔德公式的几何图解法，后称为厄瓦尔德图解法；图解法； 第二：提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易第二：提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易点

3、阵全新概念，而且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点阵点阵全新概念，而且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点阵也是可见的，也是可见的，如在电子衍射实验时，在物镜后胶面处记录到的如在电子衍射实验时，在物镜后胶面处记录到的衍射谱，就是倒空间倒易点阵的一个截面。衍射谱，就是倒空间倒易点阵的一个截面。5正点阵：正点阵： 晶体的空间点阵。反映了晶体中的质晶体的空间点阵。反映了晶体中的质点在三维空间中的周期性排列，正点阵可分为七点在三维空间中的周期性排列，正点阵可分为七大晶系、大晶系、4种种格子格子类型，类型，14种晶胞种晶胞类型（布拉维类型（布拉维格子）。格子）。正正点阵的基本参数：点阵的基本参数：a,b,

4、c,倒点阵（倒易点阵）：倒点阵（倒易点阵）：倒易点阵与实际晶体点倒易点阵与实际晶体点阵互为倒易关系，阵互为倒易关系，6 倒易点阵构建：倒易点阵构建： 从正点阵的原点从正点阵的原点O出发，做任一晶面（出发，做任一晶面（hkl)的法的法线线ON，在该法线上取一点，在该法线上取一点Phkl，使，使O Phkl长度正比例长度正比例于该晶面间距的倒数，则于该晶面间距的倒数，则Phkl点称为该晶面的倒易点，点称为该晶面的倒易点，用用hkl表示，所有表示，所有晶面的倒易点便构成了倒易点阵晶面的倒易点便构成了倒易点阵。因此，因此，倒易格子就是倒易矢量端点在倒空间做周期排倒易格子就是倒易矢量端点在倒空间做周期排

5、列而成的格子。列而成的格子。正正空间中晶面与倒空间中的阵点之间的关系空间中晶面与倒空间中的阵点之间的关系7正空间正空间倒空间倒空间8 设正空间与倒空间的原点重合于O，则正空间任一晶面的法线方向就是倒易空间同指数的倒易矢量O Phkl，用，用g表示，则表示，则|g|=1/dhkl。 若正空间单胞的初基矢量用（若正空间单胞的初基矢量用（a,b,c）描述，记为）描述，记为S=S(a,b,c)；倒空间的三个初基矢量用（；倒空间的三个初基矢量用（a*,b*,c*）描）描述，记为述，记为S*=S(a*,b*,c*)二者之间的关系：二者之间的关系： a*a=1 a*b=0 a*c=0 b*a=0 b*b=1

6、 b*c=0 c*a=0 c*b=0 c*c=1则则S*称作称作S的倒易点阵的倒易点阵(Reciprocal lattice)。93.1.2 正倒格子的关系：正倒格子的关系： 从前面的公式可以看出：从前面的公式可以看出： a* bc平面平面，b* ca平面平面，c* ab平面平面 a*a=1的几何意义：表示的几何意义：表示a在矢量在矢量a*上的投影，上的投影，它是以它是以bc为底，体积为为底，体积为a(bc)的单位正点阵格子的单位正点阵格子的高，所以可以写成更简便的形式：的高，所以可以写成更简便的形式：a*=(bc)/V b*=(ca)/V,c*=(ab)/VV= a(bc)=b (ac) =

7、c(bc)10 事实上，从公式也可以看出，矢量a*、b* 、c*与矢量与矢量a、b、c之间是互为倒易的，因此，上述关之间是互为倒易的，因此，上述关系逆转亦成立：系逆转亦成立： a=(b*c*)/V* b=(c*a*)/V* c=(a*b*)/V*V*= a*(b*c*)=b* (a*c*) =c*(b*c*)由此可见，正点阵由此可见，正点阵S S的倒易点阵为的倒易点阵为S*，而倒易点阵，而倒易点阵S*的倒易的倒易点阵为正点阵点阵为正点阵S S，正倒点阵之间的关系互为倒易。，正倒点阵之间的关系互为倒易。11正倒点阵夹角及倒易向量长度的关系：正倒点阵夹角及倒易向量长度的关系：若正点阵若正点阵a、b

8、、c之间的夹角为之间的夹角为 ab=， bc=，ac= 则有则有|b| |c|=bc sin |c| |a|=ca sin |a| |b|=ab sin倒易点阵倒易点阵S*中的矢量中的矢量a*、b*、c*间的夹角为间的夹角为 a*b*=* ，b*c*=*，a*c*=*则：则：|a*|=(|b|c|)sin/V |b*|=(|c|a|)sin/V |c*|=(|a|b|)sin/V 同理： |a|=(|b*|c*|)sin*/V* |b|=(|c*|a*|)sin*/V* |c|=(|a*|b*|)sin*/V*可以推出：cos*=(coscos-cos)/sin sincos*=(coscos

9、-cos)/sin sincos*=(coscos-cos)/sin sin同理：cos=(cos*cos*-cos*)/sin* sin*cos=(cos*cos*-cos*)/sin *sin*cos=(cos*cos*-cos*)/sin *sin*12 例如： 当晶体的=90时 |a*| = 1/a |b*| = 1/b |c*| = 1/c 当晶体的、为任意角度时|a*| = bcsin/V |b*| = casin/V |c*| = absin/V1314abca=b=c=90a*b*c*|a*| = |b*| = |c*| =1/a*=*=*=90立方晶系立方晶系15abca=b

10、c=90a*b*c*|a*|=|b*|=1/a; |c*|=1/c*=*=*=90四方晶系四方晶系16a*，b*，c*分别与a，b，c重合，但长度互为倒数关系。|a*|=1/a; |b*|=1/b; |c*|=1/c *=*=*=90 斜方晶系：17183.1.3 倒倒易易矢量矢量的的性质：性质： 倒易点阵中任意一个向量Phkl (倒易点阵的原点指向倒易点的向量)： ghkl =ha*+kb*+lc*有： (1) ghkl (hkl) (2) | ghkl | = 1/dhkl 即倒易向量向量Phkl垂直垂直于正点阵中的面网于正点阵中的面网(hkl)，且倒，且倒易向量的长度为面网间距的倒数。易

11、向量的长度为面网间距的倒数。 正点阵中的每一组面网相当于倒易点阵中的一个正点阵中的每一组面网相当于倒易点阵中的一个倒易点倒易点，该点的位置在面网的法线方向，该点距离倒易原点的距离为面网间距的倒数。证明：证明： ghkl (hkl)如右图：设如右图：设ABC平面是在正点阵中晶平面是在正点阵中晶面族面族hkl中距原点最近的平面。图中中距原点最近的平面。图中矢量矢量: AB=b/k-a/h 则：则：ghkl AB=(ha*+kb*+lc*)(b/k-a/h)=0所以：所以： ghkl AB, 同理：同理： ： ghkl BC故：故： ghkl ABC平面。平面。即：即：ghkl （hkl)晶面晶面

12、19设设n0为沿着为沿着 ghkl 方向的单位矢量，则：方向的单位矢量，则：n0= ghkl /| ghkl |同时，同时，dhkl等于等于a/h在在n0方向上的投影，方向上的投影，即：即：dhkl=(a/h)n0=(a/h)(ha*+kb*+lc*)/| ghkl |=1/| ghkl |也就是：也就是：| ghkl |=1/ dhkl20倒易格子中倒易格子中用向量描述用向量描述点的坐标点的坐标g110=a*+b* |g110|=1/d110g110 (110)g11-1=a*+b*-c* |g11-1|=1/d11-1g11-1 (11-1)g111=a*+b*+c* |g111|=1/d

13、111g111 (111)11011111-121某斜方晶系的空间格子 (正空间)每个结点是晶体结构中的一个相当点。22倒易格子倒易格子 ( (倒空间倒空间) )每个结点对应晶体结构中的一组面网每个结点对应晶体结构中的一组面网。倒易格子中，原点到每个结点的距离对应正格子倒易格子中，原点到每个结点的距离对应正格子中的中的一组面一组面网，倒易向量的长度等于面网间距的倒数，网，倒易向量的长度等于面网间距的倒数，倒易向量与正格子中的面网垂直。倒易向量与正格子中的面网垂直。233.1.4 倒易点阵在晶体几何学中的应用倒易点阵在晶体几何学中的应用（1）晶面晶面间距间距dhkl计算计算根据 ghkl=1/d

14、hkl=ha*+kb*+lc*将所有倒易点阵参数都用正点阵参数表示：1/dhkl2=(1/V2p)(S11h2+S22k2+S33l2+2S12hk+2S23kl+2S31hl)式中，Vp为单位晶胞体积：S11=b2c2sin2 S22=a2c2sin2 S33=a2b2sin2S12=abc2(coscos-cos) S23=a2bc(coscos-cos)S13=ab2c(coscos-cos)*cos*2*cos*2*cos*2*ahd1g2222222hkl2hklalhccklbbhkaclbk四方晶系：四方晶系：立方晶系：立方晶系：24222222222222222222hkl2h

15、klclbkah*ahd1gclakhclbk22222222222222222hkl2hklclbkah*ahd1galkhclbk如对于斜方晶系：如对于斜方晶系：2222222222222hkl2hklclbkah*ahd1gclbk25(2)晶面之间的夹角计算两晶面指数为：（h1k1l1)和（h2k2l2)其面网间距为d1、d2，其夹角为倒易矢量分别为：g1=h1a*+k1b*+l1c*g2=h2a*+k2b*+l2c则其夹角的余弦为则其夹角的余弦为cos=(g1g2)/(|g1|g2|)=(h1a*+k1b*+l1c*)(h2a*+k2b*+l2c*)/(1/d1)(1/d2)26将将

16、上上式各参数均用正点阵代替，并加入各晶式各参数均用正点阵代替，并加入各晶系的特点，得出各晶系面网夹角如下表：系的特点，得出各晶系面网夹角如下表：27283 3.1.5 .1.5 晶带晶带定律定律某斜方晶系的 001晶带及该晶带的面网 晶带晶带：空间点阵中平行于：空间点阵中平行于同一晶轴的所有晶面同一晶轴的所有晶面。例如例如右图右图，面网面网(100) (010) (110) (1-10) (120)(1-20)均均平行于平行于001晶向，这些面晶向，这些面网构成以网构成以001为晶带轴的为晶带轴的晶带。晶带。则则这些这些面网的法线方向皆面网的法线方向皆与与001晶带方向垂直。晶带方向垂直。 2

17、9晶带晶带轴轴uvw可由正点阵的矢量可由正点阵的矢量Ruvw表示为：表示为：Ruvw=ua+vb+wc任任一晶带面一晶带面(hkl)的的可由其倒易矢量可由其倒易矢量ghkl表示为：表示为： ghkl=ha*+kb*+lc*则则 : Ruvwghkl 所以有所以有： Ruvw ghkl = 0即即: (ua+vb+wc)(ha*+kb*+lc*) = 0所以所以： hu+kv+lw=0此即此即晶带晶带定律定律：晶带轴的晶向指数与该晶带的所有晶面的指数对晶带轴的晶向指数与该晶带的所有晶面的指数对应积为零。反过来，凡事属于应积为零。反过来，凡事属于uvw晶带的所有晶面（晶带的所有晶面（hkl),必须

18、满必须满足该关系式。足该关系式。30同一晶带的面网的倒同一晶带的面网的倒易点分布在一个倒易易点分布在一个倒易平面上。平面上。满足满足hu+kv+lw=031所以，所以，当当R g =0 时，同一晶带的所有倒易点分布在时，同一晶带的所有倒易点分布在一个平面上，并且该倒易平面必然通过倒易原点，一个平面上，并且该倒易平面必然通过倒易原点，称之为称之为uvw晶带的晶带的0层倒易面层倒易面，记为，记为(uvw)*0。当当 R g N时，时，(为广义晶带定律为广义晶带定律), 倒易矢量倒易矢量g与与R不不垂直。这时垂直。这时g的端点落在非零层倒易平面上，的端点落在非零层倒易平面上，记为记为(uvw)*N

19、。即：。即：hu+kv+lw=N320层倒易平面与非零层倒易平面 N0N0时，倒易阵面在原点上方；时，倒易阵面在原点上方；N=0N=0时，倒易阵面过原点；时，倒易阵面过原点；N0N0时，倒易阵面在原点下方时，倒易阵面在原点下方。设两个晶带面为（设两个晶带面为（h1k1l1）（）（h2k2l2），晶带轴指数），晶带轴指数为为uvw，则两晶带面均满足晶带定律：，则两晶带面均满足晶带定律：h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0解之得：解之得： uvw=u:v:w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1)也可表示为：也可表示为：h1 k1 l1 h1 k1

20、l1 h2 k2 l2 h2 k2 l2 uvw=u:v:w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1)33求晶带轴：求晶带轴：34已知已知晶带轴，求晶带轴，求0 0层倒易层倒易面面例1. 求立方晶系（100）*0。 把100代入晶带定律公式hu+kv+lw=h=0， 得：该晶带的面网，其面网指数中h必等于零，其中倒易距离最短(面网间距最大面网间距最大)的有： (010), (001)，(011)等设O点为倒易格子原点，A点为倒易点(010)，OA=1/a35则由面网夹角计算公式： 222222212121212121llkkhhcoslkhlkh36依次类推可以求

21、出该倒易平面的所有点。依次类推可以求出该倒易平面的所有点。37立方晶系立方晶系(100)(100)* * 0 010038 实际上在推导倒易平面上的所有倒易点时，只需要知道平行四边形的3个倒易点(含倒易原点000)，即可按向量法则求出所有其他点，见倒易格子与电子衍射一节。3940立方晶系(110)* 041立方晶系(110)* 0110O*42倒易格子中任意一个节倒易格子中任意一个节点可以用向量描述为：点可以用向量描述为：ghkl=ha*+kb*+lc*且且ghkl面网面网(hkl)|ghkl|=1/dhkl3.2.1 厄瓦尔德厄瓦尔德(Ewald)图解图解倒倒易球易球3.2倒倒易球易球(Ew

22、ald)与衍射方向与衍射方向O*43波长为波长为的入射光，照射的晶体上。的入射光，照射的晶体上。O*44在在入射光的方向，画半径为入射光的方向，画半径为1/1/ 的圆的圆( (球球) )，此即此即EwaldEwald球。球。1/O*1/45P倒易格子点倒易格子点P与与Ewald球相交，即点球相交，即点P正好处于球面正好处于球面上上，则：，则： O*P=ghkl|ghkl|=1/dhkl ghkl (hkl)hklADO*46则在则在DP方向产生方向产生衍射。衍射。证明证明：|DP|=1/, |O*P|=1/dhkl, DB O*P所以，所以，DB为面为面网网(hkl)的方向。的方向。1/Phk

23、lADB47O*1/PhklADBBP=(1/2) O*P=(1/2dhkl)sind2即得d2/12/1sinhklhklhkldDPBP所以所以DP为衍射为衍射方向方向48 将上述关系拓宽至三维空将上述关系拓宽至三维空间，如右图。间，如右图。 在空间做一半径为在空间做一半径为1/的的球，该球与球，该球与O*点相切。入射点相切。入射X射线沿直径方向照射并到射线沿直径方向照射并到达达O*。此球即为。此球即为倒倒易易球球或厄或厄瓦尔德球。瓦尔德球。 凡落在倒易球上的倒易点，均满足衍射方程，其凡落在倒易球上的倒易点，均满足衍射方程，其正空间对应的面网均可产生衍射。衍射正空间对应的面网均可产生衍射。

24、衍射的方向为倒的方向为倒易球中心到倒易点的连线易球中心到倒易点的连线延长线，即如图延长线，即如图DP方向。方向。O*ADBP1/1/ghkl 49证明：证明：APO*=90，即AP与倒易矢量O*P垂直，即与该倒易点代表的面网的方向平行。|O*P|=1/dhkl, 则sin = O*P/AO* =(1/dhkl)/(2/) = /2 dhkl即=2dhklsin结论：当倒易格子点和倒易球相交时，衍射方向结论：当倒易格子点和倒易球相交时，衍射方向为倒易中心和倒易点的连线方向。为倒易中心和倒易点的连线方向。也只有落在倒也只有落在倒易球球面上的倒易点，才可以产生衍射。易球球面上的倒易点，才可以产生衍射

25、。O*ADBP1/1/ghkl 50图中，图中，O*为为倒易格子原点倒易格子原点，D为为按半径按半径=1/所画出的倒易球的所画出的倒易球的中心，倒易格子结点与倒易球中心，倒易格子结点与倒易球相交，对应的倒易向量相交，对应的倒易向量为为O*P。入射线方向入射线方向：DO*衍射线方向衍射线方向：DP倒易格子、倒易格子、倒易球与衍倒易球与衍射方向射方向 O*D51当晶体的取向发生变化时，倒易点阵也随之变动。当晶体的取向发生变化时，倒易点阵也随之变动。观察图中的点观察图中的点1、2、3、4，则晶体任意取向时，能，则晶体任意取向时，能否产生否产生X衍射，即能否与倒易球相交？衍射，即能否与倒易球相交？12

26、34523.2.1 极限极限球球 以倒易原点以倒易原点O*为为球心，以球心，以2/为半径，为半径，作球作球，凡是凡是落在落在该球范围内的倒易点，则由该球范围内的倒易点，则由于晶体的取位方式不同，而于晶体的取位方式不同，而有可能产生衍射，而落在该有可能产生衍射，而落在该球范围外的倒易点，则不管球范围外的倒易点，则不管晶体怎么取向，也不可能与晶体怎么取向，也不可能与倒易球相交，因此称之为极倒易球相交，因此称之为极限球。限球。极限球内的倒易点，其倒易矢量长度极限球内的倒易点，其倒易矢量长度 /2，而极限球外的倒易点，而极限球外的倒易点，dhkl /2。即满足即满足ghkl 2/的晶面才的晶面才能发生

27、衍射能发生衍射。O*倒易球倒易球极限球极限球1/1/v53单斜晶系倒易格子平面举例单斜晶系倒易格子平面举例 54 放置放置上倒易球和极限球后可以发现，极限球内的上倒易球和极限球后可以发现，极限球内的倒易点皆有可能产生衍射效果，观察图中倒易点皆有可能产生衍射效果，观察图中的的HH* *点，点，处在极限球内，但与倒易球不相交。处在极限球内，但与倒易球不相交。O*55 假定入射线方向不变，则倒易球的位置不改变。但晶体的取向可以改变，从而带动倒易格子转动(倒易原点不变)，则总可以使得H*倒易点与倒易球面相交从而产生衍射效果。同样道理，晶体采取其它不同取向方式后，总可以同样道理，晶体采取其它不同取向方式

28、后，总可以使得极限球内的所有倒易点皆有机会与倒易球相交，使得极限球内的所有倒易点皆有机会与倒易球相交，从而产生衍射效果。从而产生衍射效果。563.3 3.3 倒易球与倒易球与X X 射线衍射射线衍射对于单色X射线，恒定，即倒易空间的倒易球半径1/恒定。对于固定不动的单晶试样，其倒易点的空间分布也是固定的。此时只有落在倒易球面上的倒易点才能满足衍射条件。如果入射线与晶面(hkl)之间的夹角也不能改变时，晶面间距dhkl则被固定，其倒易矢长度和方向均已确定。采用在这种情况下，该倒易矢量刚好交上反射球的可能性是非常小的。O*AOCB1/1/ghkl =1/dhkl57图中，O*为倒易格子原点，蓝线为

29、入射线方向。倒易球与倒易点没有相交，故不能产生衍射。观察1点和点2。 O*粉晶衍射的厄瓦尔德图解粉晶衍射的厄瓦尔德图解58由于粉末样品随机取向，即各个晶体颗粒的倒易由于粉末样品随机取向，即各个晶体颗粒的倒易格子是随机分布的，则点格子是随机分布的，则点1和点和点2，必有部分颗粒，必有部分颗粒的取向正好使其与倒易球相交，从而产生衍射。的取向正好使其与倒易球相交，从而产生衍射。O*O*59每一个倒易点，由于晶体取向不同，该倒易点的位置可在图示的蓝色圆周移动。在3D空间考虑，该点的可能轨迹构成一个以倒易原点的中心的球体 O*60点点1 1的轨迹球与倒易球的交点分布在一个圆周上，的轨迹球与倒易球的交点分

30、布在一个圆周上，因此，产生的衍射线分布在一个圆锥面上。因此，产生的衍射线分布在一个圆锥面上。 61极限球内的极限球内的任意点，皆任意点，皆可与倒易点可与倒易点1一样产生衍一样产生衍射圆锥，因射圆锥，因此，最终形此，最终形成的衍射分成的衍射分布为一系列布为一系列的同轴圆锥。的同轴圆锥。 62对于产生的衍射圆锥，可以采用环形安装底片或采用平对于产生的衍射圆锥，可以采用环形安装底片或采用平板状安装底片板状安装底片(CCD记录记录)的方式。环形底片记录的是成的方式。环形底片记录的是成对的衍射弧线，亦可以采用衍射仪的记录方式变成衍射对的衍射弧线，亦可以采用衍射仪的记录方式变成衍射图谱。平板状胶片记录的是

31、一个个衍射同心圆图谱。平板状胶片记录的是一个个衍射同心圆 。6364红色圆红色圆(球球)为倒易点为倒易点1在晶体不同在晶体不同取位时可能取位时可能出现的轨迹。出现的轨迹。其它倒易点其它倒易点类似。类似。656667 68倒易球、倒易点可能位置(红色圆环)与胶片记录方式的关系 693.4 3.4 倒易球与电子衍射倒易球与电子衍射3.4.1 3.4.1 电子衍射的概念电子衍射的概念 指入射电子与晶体作用后，由于其波动性发生了相互干涉作用，在某些方向加强，在某些方向被消弱的现象。在相干散射增强的方向产生电子衍射波（束）。低能电子衍射：10-500V,用于表面的结构分析。高能电子衍射：100KV以上，

32、透射电镜。703.4.2 3.4.2 电子衍射与电子衍射与X X射线衍射的异同点射线衍射的异同点 原理基本相似。分别有原子、单胞、单晶体对电子束的散射。只是原子对电子的散射强度远远高于原子对X射线的散射强度。同样存在结构因子，遵循与X射线相同的消光规律。区别如下：1 1）电子波的波长短）电子波的波长短 波长波长衍射半角衍射半角X射线0.5-2.5接近/2电子0.0251-0.0370(100-200kv）10-3-10-2rad712）倒易球半径大）倒易球半径大 因为倒易球半径为电子束的波长的倒数，因此在衍射半角较小的范围内，倒易球的球面可以看成是平面，衍射图谱可视为倒易点阵二维阵面在荧光屏上

33、的投影，从而简化晶体结构分析。723 3） 散射强度高散射强度高物质对电子的散射强度比对X射线的散射强度强约106，电子在样品中的穿透距离有限，电子衍射适合研究微晶、表面、薄膜的晶体结构；由于电子衍射束强度高，摄像时曝光时间短，仅数秒钟，而X射线则需要一个小时以上，甚至数个小时。4 4）衍射斑点位置精度低）衍射斑点位置精度低由于衍射角小，测量衍射斑点的位置精度远比X射线低，因此，不宜用于精确测量点阵常数。733.4.3 电子衍射的衍射方向电子衍射的衍射方向 与X射线衍射一样，同样决定于布拉格方程: 2dhklsin=/2 dhkl可见，当电子的波长小于等于可见，当电子的波长小于等于2 dhkl

34、时，才能发射衍射。常见晶体的面网间距在0.2-0.4nm之间，电子波长则要小得多，因此，电子束在晶体中产生衍射是 不成问题的。且其衍射半角极小。743.4.4 3.4.4 电子衍射花样的形成原理及电子衍射基本公式电子衍射花样的形成原理及电子衍射基本公式 电子衍射花样即为电子衍射的斑点在正空间中的投影，其基本上是零层倒易阵面删的阵点经过空间转换后并在正空间记录下来的图像。另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，电子束才能顺利穿过样品，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。75右图：试样位于倒易球心O，电子束(红色）照射到某一晶面(hkl)，若正好满足布拉

35、格方程，则OG为衍射方向，并与倒易球交于G。则G为(hkl)的倒易阵点。假设在试样下方L处放置底片，就可以让入射束和衍射束同时在底片上成像。结果在底片上形成两个像点O和G，实实际上， O和G也可以看成是倒易阵点O*和G在以球心O为发光源的照射下在底片上的投影。倒易球心GghklGO(hkl)L76 当晶体中多个晶面同时满足衍射条件时，即球面上有多当晶体中多个晶面同时满足衍射条件时，即球面上有多个倒易阵点，光源从个倒易阵点，光源从OO点出发，在底片是分别成像，从而形点出发，在底片是分别成像，从而形成以成以OO为中心，多个像点（斑点）分布四周的图谱，这就是为中心，多个像点（斑点）分布四周的图谱，这

36、就是该晶体的衍射花样谱。此时，虚拟的阵点该晶体的衍射花样谱。此时，虚拟的阵点OO* *和和GG转化成了正转化成了正空间的真实的点空间的真实的点OO和和GG。衍射花样形成原理图倒易球心GghklGO(hkl)L零层倒易面77衍射花样形成原理图倒易球心GghklGO(hkl)L零层倒易面 设设OG=R，由于倒易球半径很大，近似认为，由于倒易球半径很大，近似认为O*GOO*，即即ghkl OO*，因此，因此OO*G形似与形似与OOG，因此有，因此有 R/L=O*G/OO*= ghkl /(1/)， 即即 R=L ghklR为透射斑点为透射斑点O到衍射斑点到衍射斑点G的连接矢量，显然的连接矢量，显然R

37、ghkl 令令 K=L，所以，所以 R= Kghkl-电子衍射基本公式电子衍射基本公式 K=L为相机常数，为相机常数，L为相机长度为相机长度。78由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*0的放大像。（uvw）*0平面法线方向即晶带uvw，平行于入射束方向(反向)。因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*0平面相似，具有周期性排列的特征。79801 1、单晶电子衍射花样的标定单晶电子衍射花样的标定标定是指确定衍射花样中标定是指确定衍射花样中各斑点的指数各斑点的指数( (hklhkl) )及其及其晶带轴方向晶带轴方向UVWUVW，并确定样品的点阵类型和晶，并确定样品的点阵类型和晶体的

38、取向。体的取向。81一例典型的电子衍射花样一例典型的电子衍射花样 82以下从倒易格子的特征出发，讨论衍射斑点的指以下从倒易格子的特征出发，讨论衍射斑点的指标化。标化。83表达衍射花样周期性的基本单元（菱形）的形表达衍射花样周期性的基本单元（菱形）的形状与大小可由花样中状与大小可由花样中最短和次最短最短和次最短衍射斑点矢衍射斑点矢量量R1与与R2描述。描述。84平行四边形中平行四边形中3个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则：个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则： R3=R1+R2|R3|2=|R1|2+|R2|2+2|R1|R2|cos (为为R1,R2夹角夹角)同理：同理：R4=R1+2R2|R4

39、|2=|R1|2+|2R2|2+2|R1|2R2|cos =|R1|2+4|R2|2+4|R1|R2|cosR5=R1-R2|R5|2=|R1|2+|R2|2-2|R1|R2|cos85若若R1与与R2两个向量代表的衍射斑点指标为两个向量代表的衍射斑点指标为 (h1k1l1), (h2k2l2)，则，则R3：(h1+h2,k1+k2,l1+l2)=(h3k3l3)R4: (h3+h2,k3+k2,l3+l2)=(h4k4l4)R5: (h1-h2,k1-k2,l1-l2)=(h5k5l5)86若已经确定若已经确定 (h1k1l1), (h2k2l2)倒易指数为倒易指数为 (100)和和(010

40、), 则上图中各点的指标化结果都可运送得出则上图中各点的指标化结果都可运送得出8788向量运算举例向量运算举例1234020-1101: (-1+0, 1+2, 0+0)=(-130) 2: (-1+(-1), 1+1, 0+0)=(-220)3: (-2-0, 2-2, 0-0) = (-200) 4: (-1-0, 1-2, 0-0)=(-1-10)89如果晶体为面心结构，即衍射指标必须全奇或全如果晶体为面心结构，即衍射指标必须全奇或全偶该倒易点才可产生衍射偶该倒易点才可产生衍射(X射线的消光规律射线的消光规律)。 面心结构的晶体的典型电子衍射图 90体心结构的晶体，衍射指标要符合体心结构

41、的晶体，衍射指标要符合h+k+l=h+k+l=偶数。偶数。体心结构的晶体的体心结构的晶体的典型电子衍射图典型电子衍射图 因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间格子类型。格子类型。912、确定与入射电子束平行、确定与入射电子束平行(但反向但反向)的晶带轴方向的晶带轴方向uvw 因为不在同一平面的两个晶面即可决定一个晶带。因为不在同一平面的两个晶面即可决定一个晶带。一般选取上述的一般选取上述的R1和和R2向量终点的两个倒易点的向量终点的两个倒易点的指标，该两个点代表不互相平行的两组面网，面网指标，该两个点代表不互相平行的两组面网，面网符号分别为符号分别

42、为 (h1k1l1) (h2k2l2)，按晶带定律计算晶带，按晶带定律计算晶带轴轴uvw。92根据晶带定律有：根据晶带定律有： h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0解该联立方程可得：解该联立方程可得：即即u:v:w =(k1l2-k2l1) : (l1h2-h1l2) : (h1k2-k1h2)93例例1. 已知纯镍已知纯镍(fcc)的衍射花样的衍射花样(a=0.3523nm), R1=0.0805nm, R2=0.2038nm, R3=0.0784nm， 夹角夹角 1=82， 2=76求求各点的衍射指标及晶带轴。各点的衍射指标及晶带轴。3 3、衍射衍射斑点指标化举例斑点指标

43、化举例(1)(1)已知样品晶体结构已知样品晶体结构( (晶系与点阵类型及点阵常数晶系与点阵类型及点阵常数) )和相机常数的衍射花样标定和相机常数的衍射花样标定94a=0.3523R1=0.2038 (111) R2=0.0805 (331)R3=0.0784 (420)95a=0.3523R1=0.2038 (111) R2=0.0805 (331)R3=0.0784 (420).任意确定任意确定(h1k1l1)为为(111)，.则则(h2k2l2) 为为(-331)时夹角正确。时夹角正确。.则则(h3k3l3) = (h1k1l1)- (h2k2l2) = (111)-(-331)=(4-2

44、0).验证角度正确。验证角度正确。96从而可得出全部衍射点的衍射指标。从而可得出全部衍射点的衍射指标。由晶带定律可求得晶带方向为：由晶带定律可求得晶带方向为： 111-331 = 24-6=12-397例例2：已知铁素体为体心立方、a=0.287nm，相机常数C=1.41mmnm。RA=7.0mm, RB=10.0mm, RC=12.3mm, RD=21.5mm, 夹角1=55，2=71对衍射图进行指标化，并求出晶带指数。对衍射图进行指标化，并求出晶带指数。按RdC即(L)，可得各点对应的面网间距d值。98衍射点R/mmd/nmA7.10.199B10.00.141C12.30.115D21.

45、50.0656hkl110200211411解解1：99A110C211 302-1-1 73.22112 54.74A：110B：200C：211D：411100A110C112BRB=RC-RA=002DRD=RC+RB=11470.53 A：110B：002C：112D：114110112101晶带轴晶带轴=2-20=1-10A：110B：002C：112D：114110112002114004102A011C112 302-1-1 125211 54.74A：011B：200C：211D：411解解2：103A011C211BRB=RC-RA=200DRD=RC+RB=41170.53

46、 A：011B：200C：211D：411011211104晶带轴晶带轴=02-2=01-1A：110B：002C：112D：114011211200411400105晶带轴晶带轴=02-2=01-1011211200411400晶带轴晶带轴=2-20=1-10110112002114004立方晶系，01-1=1-10106例3：已知莫来石: 空间群: Pbam (55)；a=7.553，b=7.686，c=2.8864，点1: 5.373，点2: 2.887，点3: 2.528。夹角13=61.14，12=89.13。求解：莫来石纤维的延伸方向。求解：莫来石纤维的延伸方向。 107衍射点d/hkl15.37311022.88700132.528111解解: (1)求出各点衍射指标为求出各点衍射指标为108衍射点d/hkl夹角15.37311022.88700112=9032.52811113=61.82(2)当当1为为(110)时时109(3)得到指标化结果得到指标化结果(4) 晶带轴为晶带轴为1-10(5) 纤维的延伸方向为：纤维的延伸方向为：001110001111