《数学物理方程》全册配套课件.ppt
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- 数学物理方程 数学 物理 方程 配套 课件
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1、任课教师:任课教师:陈其科陈其科联系方式:联系方式:E_mail: 电电 话:话:61830311总总 学学 时时: 80课时课时教教 材:材:梁昆淼,梁昆淼,数学物理方程数学物理方程(第四版)(第四版)成绩构成:成绩构成:平时平时20%+半期考试半期考试20%+期末考试期末考试60%电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法l 复变函数论是数学中一个复变函数论是数学中一个基本的分支学科基本的分支学科l
2、 研究对象:变量为复数的研究对象:变量为复数的函数函数 l 主要任务:研究复变数之间的主要任务:研究复变数之间的相互依赖关系相互依赖关系,具体,具体地就是复数域上的地就是复数域上的微积分微积分。l 应用领域:求解物理学上应用领域:求解物理学上复杂场分布复杂场分布问题问题复数:复数:实数实数和和虚数虚数的总称。的总称。课程意义课程意义第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使为使负数开方负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实数域扩有意义,需
3、要再一次扩大数系,使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前,由于对复数的概念及性质了大到复数域。但在十八世纪以前,由于对复数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾,所以,在历史解得不清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾,所以,在历史上长时期人们把复数看作不能接受的上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数虚数”。 到十八世纪,到十八世纪,J.DJ.DAlembertAlembert(1717-1783)(1717-1783)与与L.L.EulerEuler(1707 (1707 -1783)-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意
4、义,澄清了复数的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的数的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题,复数才被人们广泛承认接受,复变函数论才能顺利一些问题,复数才被人们广泛承认接受,复变函数论才能顺利建立和发展。建立和发展。复变函数论发展历程复变函数论发展历程第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.CauchyA.L.Cauchy(1789-1866)1789-1866)和和K.WeierstrassK.Weier
5、strass(1815-1897)(1815-1897)分分别应用积分和级数研究复变函数,别应用积分和级数研究复变函数,G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann(1826-1866)(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗经过他们的巨大努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗透到了数学的许多分支,同时,它在热力学,流体力学和电学透到了数学的许多分支,同时,它在热力学,流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。等方面也得到了很多的应用。 二十世
6、纪以来,复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其它分支的联系也日益密性理论和天体力学等方面,与数学中其它分支的联系也日益密切。切。复变函数论发展历程复变函数论发展历程第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法 复变函数中许多概念、理论、和方法是复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函实变函数数在复数域内的推广和发展,它们之间有许多相似在复数域内的推广和发展,它们之间有许多相似之处,但又有不同之处。在学习中要善于比较、区之处,但又有不同之处。在学习中
7、要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。学习方法学习方法电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法1.2 1.2 复变函数复变函数1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1.4 1.4 解析函数解析函数1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数第一章第一章 复变函数复变函数第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法对于任意两个对于任意两个实数实数x、y,称,称
8、 为复数。为复数。其中:其中:u x x称为复数的称为复数的实部实部,u Y Y称为复数的称为复数的虚部虚部,u , ,称为称为虚单位虚单位。(一)(一) 复数的概念复数的概念zxyi1i 1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算Re( )xzIm( )yz1 1、复数定义、复数定义 全体复数在引入复数运算法则后,构成复数全体复数在引入复数运算法则后,构成复数域。域。在复数域中,复数没有大小的概念在复数域中,复数没有大小的概念。注:注:第一章 复变函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法2 2、复数的模与幅角、复数的模与幅角z( /
9、)arctg y x22xy复数的模复数的模: :复数的辐角复数的辐角: :复数几何表示复数几何表示( , )A x yxyzxyi复数几何意义:复数几何意义: 实部与虚部可与实部与虚部可与平面坐标平面坐标点点建立建立一一对应一一对应关系。关系。复数的复数的三角表示三角表示:cossinzi1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算cosxsiny(一)(一) 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法1 1)当)当z=0z=0时,幅角无意义;时,幅角无意义;( )2Arg zk(0, 1, 2)k arg z其中,满足其
10、中,满足arg z注:注:关于幅角的几点说明:关于幅角的几点说明:2 2)根据三角函数周期性,一个复数有无限多个幅角)根据三角函数周期性,一个复数有无限多个幅角或或0arg2z的幅角称为的幅角称为主幅角主幅角,记做:,记做:1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算(一)(一) 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法3 3、复数的指数表示、复数的指数表示(cossin )ziie欧拉公式:欧拉公式:cossiniei则:则:指数表示指数表示21k ie(2)1kie (23 /2)kiie (2/2)kiie (0,
11、1,)k 3 3)2 2)4 4)1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算注:注:1 1)(一)(一) 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法共轭复数:共轭复数:*(cossin )zi(cossin )iie1cos()2iiee1sin()2iieei4 4、 复数的共轭复数的共轭(cossin )ziie1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算注:注:cossinieicossiniei(一)(一) 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学
12、方法121122()zzxy ixy i(二)复数的运算(二)复数的运算1 1、复数的加减法、复数的加减法1212()()xxyy i1212zzzz1212zzzz1 1)2 2)1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算注:注:电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法121122()()zzxy i xy i2 2、复数的乘法、复数的乘法12121221()()x xy yi x yx y121122iiezez12()12ie 121212cos()sin()i 1212zzzz1212arg()argargzzzz利用复数指数形式进
13、行乘法运算比较简单利用复数指数形式进行乘法运算比较简单指数式:指数式:1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算(二)复数的运算(二)复数的运算注:注:电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法111222zxy izxy i3 3、复数的除法、复数的除法1212iiee1212211222222222x xy yx yx yixyxy指数式:指数式:12zz12()12ie1122zzzz1122argargargzzzz注:注:利用复数指数形式进行除法运算比较简单利用复数指数形式进行除法运算比较简单1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数
14、运算(二)复数的运算(二)复数的运算电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法2*22z zzxy2()()z zzxyi xyi222xyi xy1 1)2 2)*2 Rezzz *2 Imzziz3 3)*1212()zzzz1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算(二)复数的运算(二)复数的运算注:注:4)4)复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法n=wz例:若例:若 ,求,求w。1.1 1.1 复数与复数
15、运算复数与复数运算解:解:=nwz1nn=cos+ sin=nninie=arg +2( =0, 1,2,)而zkk故故 的主幅角有的主幅角有n个,即对应有个,即对应有n个值:个值:n=wzn=wz0+2n=(00,若存在若存在 0,使得,使得 时,有时,有0zz0( )f zw则称则称w0为为z z0时极限时极限,计为,计为00lim( )zzf zw 1) z在全平面,在全平面,z z0的方式是任意的的方式是任意的(与一元实变函数相比较要求更高)1 1、复变函数的极限、复变函数的极限 2) w0是复数. 3) 若若f(z)在处有极限在处有极限,其极限是唯一的其极限是唯一的注:注:1.3 1
16、.3 复变函数的导数复变函数的导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法若若 在在 处连续,则有处连续,则有(一)复变函数的极限与连续性(一)复变函数的极限与连续性若若 时,有时,有00lim( )()zzf zf z ,称,称f(z)在在z0点连续点连续000000( , )(,00( , )(,lim( , )= (,)lim( , )= (,)x yx yx yx yu x yu xyv x yv xy)0zz2 2、复变函数的连续性、复变函数的连续性若若f(z)在区域在区域D内内处处连续处处连续,则称,则称f(z)在区域在区域D D
17、内内连续连续( )( , )+ ( , )f zu x yiv x y000=+zxiy1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(二)导数定义与求导(二)导数定义与求导设设w=f(z)是在是在z点及其邻域定义的点及其邻域定义的单值函数单值函数,如果极限,如果极限00()( )limlimzzwf zzf zzz 存在,并且与存在,并且与z0的方式无关的方式无关,则称函数,则称函数w=f(z)在点在点z处处可导可导,该极限值称为函数,该极限值称为函数f(z)在点在点z处的处的导数导数,即,即0()(
18、)( )limzf zzf zdffzzdz 1 1、定义、定义1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(二)导数定义与求导(二)导数定义与求导1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。2 2、求导法则、求导法则1212()wwww121221()w ww ww w11212222()ww ww www( )( )ddF w dwF wdzdwdz1()nnznz()zzee(sin )coszz(cos )s
19、inzz 1(ln )zz电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数00( )()( )limlimxxf xf xxf xxx 实变函数求导:实变函数求导:x沿实数轴趋近沿实数轴趋近0 0复变函数求导:复变函数求导:00( )()( )limlimzzf zf zzf zzz z沿实平面任一沿实平面任一曲线趋近曲线趋近0 0复变函数可导远比实变函数可导要求严格。复变函数可导远比实变函数可导要求严格。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电
20、磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1 1、柯西、柯西- -黎曼条件黎曼条件必要条件必要条件 若函数若函数 f(z) 在点在点 z 可导,则可导,则z沿实轴沿实轴(x(x轴轴) )和虚轴和虚轴(y(y轴轴) )趋近于趋近于0 0应相等,即:应相等,即:yixviuzfyx00lim)( xvixuyixviuzfyx00lim)( xviuxy00lim uviyyyiviuyx00lim= = =沿沿x x轴:轴:沿沿y y轴:轴:,uvvuxyxy 柯西柯西- -黎曼条件黎曼条件(
21、C-RC-R条件)条件)电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数 柯西柯西-黎曼条件黎曼条件不是不是复变函数可导的充分条件。复变函数可导的充分条件。例:例:证明证明 在在z z=0=0处满足处满足C.R.C.R.条件,但在条件,但在z=0z=0处不处不可导。可导。 ( )f zxy证:证:00(,0)(0,0)0lim0zxuuxuxxx 00zuy00zvy00zvx满足满足C.R.C.R.条件条件而令而令 ,则,则ize( )cossinf
22、 z00cossincossinlimlimiizfzee 随随 而变,而变,故故在在z=0处处不可导不可导电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数2 2、复变函数可导的充要条件、复变函数可导的充要条件 函数函数 f(z) 在点在点 z 可导的可导的充要条件充要条件是:是: 1) 存在存在且且连续连续; 2)满足柯西满足柯西-黎曼条件黎曼条件。,uuvvxyxy证明:证明:uududxdyxyvvdvdxdyxydfduidv()()uuvvd
23、xdyidxdyxyxy电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数2 2、复变函数可导的充要条件、复变函数可导的充要条件( (续)续)()()uuvvdxdyidxdyxyxy()()uvuvidxidyxxyy由由C.R.条件条件 ,uvvuxyxy ()()uuuudfidxidyxyyx)(idydxyuixudfuuidzxydzdfvvidzyx电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法
24、 1 1)可导函数的实部与虚部有密切的联系。当)可导函数的实部与虚部有密切的联系。当函数可导时,函数可导时,仅由其实部或虚部即可求得导数仅由其实部或虚部即可求得导数。(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数2 2、复变函数可导的充要条件、复变函数可导的充要条件( (续)续) 2 2)利用该条件可以判断函数是否可导。)利用该条件可以判断函数是否可导。注:注: 3 3)复变函数导数求解步骤:)复变函数导数求解步骤:I ) 判别判别u(x, y),v (x, y) 偏导数的连续性偏导数的连续性II ) 验证验证C-R条件条件III) 由实部
25、或虚部求导数:由实部或虚部求导数:电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数3 3、极坐标系中的柯西、极坐标系中的柯西- -黎曼条件黎曼条件 复数的极坐标表示应用广泛,极坐标系中的柯复数的极坐标表示应用广泛,极坐标系中的柯西西- -黎曼条件也有应用价值。黎曼条件也有应用价值。1uv1uv 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法(三)复变函数可导的充要条件(三)复变函数可导的充要条件1.3 1.
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