随机信号课件：1.6随机变量的特征函数.ppt

1、1.6 随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.6.1 特征函数的定义特征函数的定义 随机变量随机变量X的的特征函数特征函数就是由就是由X组成的组成的一个新的随机变量一个新的随机变量ejwX的数学期望，即的数学期望，即)(XjXeE 离散随机变量和连续随机变量的特征离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为函数分别表示为dxxfeeExXPeeEXxjXjXiixjXjXi)()()( 随机变量随机变量X的的第二特征函数第二特征函数定义为特定义为特征函数的对数，即征函数的对数，即)(ln)(XX 对二维随机变量，可用类似的方法定对二维随机变量，可用类似的方法定义特征函数义特征函数21212

2、12211),(),(dxdxexxfxjxjXX 21212212211),(41),(ddexxfxjxjXX 第二特征函数第二特征函数定义为定义为),(ln),(2121XX例例1：设随机变量：设随机变量X的概率分布为的概率分布为求求X的特征函数。的特征函数。101qpqXPpXP 例例2：设随机变量：设随机变量X服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)，即，即 求求X的特征函数。的特征函数。2221)(xXexf1.6.2 特征函数的性质特征函数的性质性质性质1：1)0()(X 性质性质2：若：若Y=aX+b，a和和b为常数，为常数，Y的特征函数为的特征函数为)()(aeXbjY

3、性质性质3：互相独立随机变量之和的特征：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，函数等于各随机变量特征函数之积，即若即若 则则NnnXY1NnXYn1)()(1.6.3 特征函数与矩函数的关系特征函数与矩函数的关系矩函数与特征函数之间存在如下关系：矩函数与特征函数之间存在如下关系：00|)()(|)(nXnnnXddjXEddjXE例例3：设随机变量：设随机变量Y服从正态分布服从正态分布，用特征函数求随机变量，用特征函数求随机变量Y的各阶矩。的各阶矩。),(2YYmN 例例4：求两个数学期望和方差不同且互：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量相独立的高斯变量X1，X2之和的概率之和的概率密度。密度。