高等数学课件:11.7 斯托克斯公式.ppt
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1、斯托克斯公式 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11章 yozx一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如
2、图).yxDC则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
3、通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 yxzyxxzz
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