大地测量学基础课件：第四章 椭球数学投影变换(7节).ppt

1、1 大地测量主题解大地测量主题解算算4.7.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 主题解算分为: 短距离(400km) 中距离(1000km) 长距离(1000km以上) 1112122221(,),(,),P B L S A P B L A12正 算 : 已 知 求1122121221(,),(,),P B L P B L S A A12反 算 : 已 知 ，求21.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。球椭球面上进行积分运算。主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适主要特点：解算

2、精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离用于较短的距离 典型解法：典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd SMALLd SNBBAAA d SNc o ss inc o sta ns ind BAd SMd LAd SNBd ABAd SN 大地测量主题解算大地测量主题解算32.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面 向球面的过渡；向球面的过渡；2)2)在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问

3、题；3)3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向 椭球的过渡。椭球的过渡。 典型解法：典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应用于长距离解算。可适应2000020000kmkm或更长的距离，这对于国际联测，或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。 大地测量主题解算大地测量主题解算44.7.2 勒让德级数式勒让德

4、级数式 为了计算 的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。22332111112323nnnd BSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 22332111112323nnnd LSdLd LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()! 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A, 大地测量主题解算大地测量主题解算5 一阶导数：一阶导数：3coscossinsecs

5、incostansintansindBAVAdSMcdLAVBBdSNBcdABVABAdSNc 二阶导数：二阶导数：242222234 190()()(cossin)()d BdB dBdB dAVtAA dSB dS dSA dS dSc 大地测量主题解算大地测量主题解算6 三阶导数三阶导数22222()()sec sincos(4 192)d LdL dBdL dAVtBAA dSB dS dSA dS dSc 2222221 24 194()()sin cos ()()d AdA dBdA dAVAAt dSB dS dSA dS dSc 352222 22222331 39312 2

6、d BVAAttAt5 t dSccos sin()cos() 32322d LVtBAA dScsec sin cos 332222233213d LVBAA+ ttA dScsecsincos()sin 大地测量主题解算大地测量主题解算71cosuSA 1sinvSA 大地测量主题解算大地测量主题解算8 大地测量主题解算大地测量主题解算9 大地测量主题解算大地测量主题解算10 4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式 高斯平均引数正算公式推导高斯平均引数正算公式推导的基本思想：的基本思想： 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在 P P点展点展开改在大地线长度中点开改在大地线长度

7、中点M M展开，以展开，以使级数公式项数减少，收敛快，使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点精度高；其次，考虑到求定中点 M M 的复杂性，将的复杂性，将 M M 点用大地线两点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对端点平均纬度及平均方位角相对应的应的 m m 点来代替，并借助迭代计点来代替，并借助迭代计算算便可顺利地实现大地主题正解。便可顺利地实现大地主题正解。 大地测量主题解算大地测量主题解算1121,22SSMP MP 223322311()()()(4200)22468MMdBSd B Sd B SBB dSdSdS223312311()()()(4201)22468

8、MMMMdBSd BSd BSBB dSdSdS (1)建立级数展开式建立级数展开式: 33213()()(4202)24MMdBd BBBBSS dSdS 大地测量主题解算大地测量主题解算12mMmMBB AA, 3321324MMdLd LLLLSSdSdS()() 332112324MMdAd AAAASSdSdS()() 2121121118022mmBBB AAA(),() 同理可得同理可得: MMmm BABA,(2) 大地测量主题解算大地测量主题解算13MmmMmMmmmdBfffBABBAAdSBA()(,)()()()() +22222288MmMmSdAAAdSSdA dS

9、()() MMMmMmmMmdBf BAF BBB AAAdS()(,)(,) +MmmMmMmmmdBdBdBdSdSf BABBAAdSBA()()()(,)()()()() +22222288MmMmSd BBBdSSd B dS()() 大地测量主题解算大地测量主题解算（1）14 大地测量主题解算大地测量主题解算32mmmmmmmmAVVdBAAdSMcNcos()coscos 323mmmmmmmVdBAdSctABBN()(cos)()cos (3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:32mmmmmmVdBAVdScAAAN()(cos)()sin 15222

10、222222388mMmmmmmmmmS VSd BBBtAtAdSN()(sincos) 22222221288MmmmmmmmSd ASAAAAt dSN()sincos() 222222223223333812mmMmm mmmmmmm22mmmmmmVVdBSSAA tAAS +dSNNV AAt +S +5 8N()coscos(sincos)sincos()次 大地测量主题解算大地测量主题解算将上述各式代入（1）式得到：（2）1623322222332222313924243155mMmmmmmmm22mmmmmmVSd BAAtt +dSN At +tS + ()cossin()

11、cos() 次22222212222221232243195mmmmmmmmmmm mVSBBBSAAtNN At()cossin()cos() 次大地测量主题解算大地测量主题解算（3）将（将（2）、（）、（3）式代入（）式代入（4-202）得到：）得到：17 同理可得：同理可得：22222222124195mmmmmmmmm mSLSBAAtNN Atsecsinsincos() 次22222242221279245225m mmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次大地测量主题解算大地测量主题解算18 注意： 从公式可知，欲求，及，必先有及.但由于2和2

12、1未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”。21211111()222mBBBBBBBB1212m AAA21212112,180BBB LLL AAA194.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:222222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmmmSALSANBS tAN SAt2222222222222coscossin(232)243cos

13、(14)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt 2sincos,cosmmmmmmNLBSANB SAV20230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos 3222201210333192424mmmmmmmm mmNNBNBrB rt rtcoscoscos,(), 2222222101230233233248mmmmmmmmmmmNNBNs stt stVcos,(),() 2432012103221132212412mmm mmmm mmttB tB t tB tcos,cos(),co

14、s() 21已知：求得：147 46 52.6470B 135 49 36.3300L 1244 12 13.6640A 44 797.2826S m248 04 09.6384B 23614 45.0004L 2122430.550A 53122111,18022mmAAA AAAsintancosmmmSAASAsinsinmmSASA224.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想: : 以辅助球面为基础以辅助球面为基础, ,将椭球面三角形转换为辅助球面将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形的相应三角形, ,由三

15、角形对应元素关系由三角形对应元素关系, ,将椭球面上的大地将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。椭球面上。 这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式元素之间的关系式, ,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。 12121212, , ,B BA AL S 23 在球面上进行大地

16、主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算球面上大地主题正算: : 已知已知 求解求解 球面上大地主题反算球面上大地主题反算: : 已知已知 求解求解22 , 11 , 12 , 12 , 241、球面三角元素间的相互关系、球面三角元素间的相互关系12211121221212 a b c sinsinsincos()sinsinsincos()sincoscossinsincoscos( )sincossincoscossinc 12122111221112211 d e f g os()cossinsincoscoscos( )coscoscoscossinsincos()cosc

17、ossinsincoscoscos()cossincossin 2111 h i()sinsincoscossincos( ) 25 球面上大地主题正解112, 2已 知 求,2111sinsin coscos sin cos() i1111sinsintan( ) ( )coscossinsincos af112111cossintan( ) ( )coscos cossinsin hg26 球面上大地主题反解方法球面上大地主题反解方法 1212, 已 知， 求,121212sin costan( ) ( )coscoscossincosu bduuuu211212sin costan( )

18、 ( )cos sinsin cos cosp acq111212sincostan( )sinsincoscoscospq p272 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式28 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:AdBdSMAdLdSNBBdAAdSNcossincostansin dddddAdcossincostansin 4 2384 2394 240dBB dS dMddLA dS dNBddABA dS dNdcos()coscos sin()cos sintan sin()tan sin 29白塞尔提出如下三个投影

19、条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1. 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。 121212,Aa Aa2111111tan1tantan(1)tanueBuBu2222122tan1tantan(1)tanueBuBu30,?S L 2211dSNNucaNeedBABVVtan sintantan sintan 2222222222222111111eVeBWueVueueVcos

20、coscoscos 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABAdS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 312122211PPLLLeudcos 221dLeudcos 21222211ppdSaeuSaeuddcoscos 1dLudSudNB dBVcossincossin 以上为白塞尔微分方程以上为白塞尔微分方程.32 3 、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分21221ppSaeudcos 1019090uAcos()sin()sin 2221011uAcoscossin 21212220222201111pp

21、ppSaeAd =aeeAd(cossin)cossin 332201Sbkd(sin) kkkk246221 2246(1sin)1sinsinsin281624611222311248285153124616321632xxxxxxxxxsincossincoscossincoscoscoskeA2220cos 34积分得到下式：积分得到下式：sin2sin2cos24264iiiiiSABC L（）112222224 268SAB CB C （）sin(cos) sin(cos)- 246246463514642561583210243128516kkkAbkkBbkkCbk()()()

22、 LLL1111122222sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2SABCSABCLL35 适合于反算适合于反算: 适合于正算适合于正算: 迭代法迭代法: 直接法直接法:1122sin2(cos2)sin2(cos2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 0011015224 275BC Acos ()sin ()( -) 362122211PPLLLeudcos 212124624621246242128162816PPPPeeeLLLuuudeee uuudLL(coscoscos(

23、coscos)cos 22201uAcoscossin 09090AAucos()sin sin() AddNusincos 20udAdcossin 37 将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。212464622006440281681616PPeeeeeLAAe + +Ad LLLLsin()()cossin()cossin 其纬差计算公式38 正算：正算： 反算：反算：1111AuuAsinsintancoscossinsincos 2102122LLLAsin(sinsin) 02122LAsin(sinsin) 24646624004

24、662400328161616128323264eeeeeeAAeeeAA() ()cos()cos()cos()cos LLLLLL394 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.计算辅助函数值，解球面三角形可得计算辅助函数值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及, 1111222221BLAAS B LAA,(),()22111WeBsin 21111 euBWsinsin 1111uBWcoscos 011111AuA tgtguAsincossinsec 40 4.计算球

25、面长度计算球面长度 迭代法: 直接法:111112222SB CB CAsin(cos) sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 10101022222sin ()sinsincoscos 10101022222cos ()coscossinsin 001101522BCAcos ()sin ()41 5.计算经度差改正数计算经度差改正数 6.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 010122LAsin(sin ()sin) 2111uuuAsinsincoscoscossin 2222222222222222222222111111111euB

26、WueB uBWuu B Barctaneueusinsintantancoscossinsintansin-sin 42112111uAAarctanuAucossincoscoscossinsin 1111AarctanuuAsinsincoscossinsincos 21LL 注意：注意：上述相关元素的计算要进行象限的判断与确定。上述相关元素的计算要进行象限的判断与确定。435 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 1. 1.辅助计算辅助计算112112BLBL AAS,21LLL22111WeBsin 22221WeBsin 21111BueWsinsin 22221Bue

27、Wsinsin 111BuWcoscos 222BuWcoscos 112auusinsin 212auucoscos 112buucossin 212buusincos 442.用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差经差 ，第一次趋近时，取第一次趋近时，取。211212upAuuuuqsin costancossinsincoscos 2121ppu qbb Aarctanqsin coscos sintancos 11pAqAsinsincos 12aacoscos arctansincos L L45 计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3. 计算大地线长度计算大地线长度S 4. 计算反方位角计算反方位角21+ 111uAtantansec 011AuAsincossin 02122LAsin(sinsin) L 11222222SAB CB Csin(cos) sin(cos) 1212uAbbc o ss ina r c t a nc o s 466 白塞尔法大地主题计算算例白塞尔法大地主题计算算例4748 大地主题计算程序大地主题计算程序