高等数学课件：1.2 数列的极限.ppt

1、 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限极限理论的发展经历了一个漫长的时期极限理论的发展经历了一个漫长的时期（1）早在古希腊时期，欧多克斯（约公元前408-355）就提出了穷竭法.这是极限理论的先驱.它指出：“一个量如减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量.”（见几何原本卷X,1) 我国庄子(公元前355-275)天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，也具有极限的思想。

2、 公元263年，刘徽为九章算术作注是提出“割圆术”用正多边形逼近圆周。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。这是极限思想的成功运用。 （2）牛顿（1642-1727）是明确提出极限概念的第一人。牛顿解释极限的真实涵义是一些量以“比任何给定的误差还要小的方式趋近”。但是，牛顿关于极限的概念还比较含糊，后来由于柯西（1789-1857，法国）和魏尔斯特拉斯（1815-1897，德国）等一些数学家的努力，才澄清了极限概念并给出了极限的精确定义。r一一 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,nA逼近圆面积 S .n如图所示 , 可知n

3、Annnrcossin2),5,4,3(n当 n 无限增大时, nA无限逼近 S.用其内接正 n 边形的面积刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,N正数当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34

4、,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取

5、, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛

6、数列的性质证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法.假设

7、数列nx收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设,limaxnn取,1,N则当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回

8、 结束 3. 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若,limaxnn且, 0a,时当Nn 有0nx)0()0(证证: 对 a 0 , 取,2a,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)O,NN则,NN则*,axkn4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx机

9、动 目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 定理定理 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA三、数列极限的四则运算法则三、数列极限的四则运算法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 试求下面极限试求下面极限)2()4()2(1limnnxnxnxnn)242(1limnnnxnn)

10、 1(1limnnxnn1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、极限存在准则四、极限存在准则夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .azynnnnlimlim)2(1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2

11、222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 )（单调有界原理单调有界原理）Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . 证证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1

12、(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为59

13、0457182818284. 2e即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3. 柯西收敛准则柯西收敛准则数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N , 使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时, 有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 证明从略 .,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数

14、列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim故极限存在，备用题备用题 设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束