高等数学课件：1.6 无穷小无穷大.ppt

1、 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大四四 、 无穷小的比较无穷小的比较 当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 若0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小（量）无穷小（量） .时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为0)(

2、lim0 xfxx,0,0当00 xx时, 0)(xf显然 C 只能是 0 !CC0 xx 时 , 函数,0)(xf(或 )x则称函数)(xf为0 xx 定义定义1. 若(或 )x则时的无穷小无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 有,min21定理定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个

3、无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理3 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当

4、),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)(二、二、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结

5、束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 证明11lim1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小

6、与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理4. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷小的比较四、无穷小的比较,0limCk定义定义3.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若

7、若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111n

8、nx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明: .1exx证证:, 1e xy令, )1ln(yx则,0,0yx时且01limexxx)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx1e xx )1ln( 目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系: 说明说明: 上述证明过程也给出了等价关系: )1ln(1lim10yyy定理定理5.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(t

9、anxoxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6. 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 结束 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则.limlim且！时此结论未必成立注意例如,11sin2tanlim0 xxxxxx

10、xx2102lim2(见下页例3) (3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 结束 32210limxxxx例例3. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 231x221x例例4. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系4. 无穷小的比较0lim,0, )0(C,1,0lim Ck4. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小5. 等价无穷小替换定理,0时当 xsin xtan xarcsin x,x,x,xcos1x,221x11nx,1xn常用等价无穷小 :第八节 )1ln(x1e x, xx