大地测量学基础课件:第四章 地球椭球数学投影(8-9-10-11节).ppt
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- 大地测量学基础课件:第四章 地球椭球数学投影8-9-10-11节 大地 测量学 基础 课件 第四 地球 椭球 数学 投影 10 11
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1、),(),(21BLFyBLFx4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 1、地图数学投影变换的意义和投影方程、地图数学投影变换的意义和投影方程n 所谓地图数学投影,简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标,方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上,研究这个问题的专门学科叫地图投影学。投影变换的基本概念投影变换的基本概念2 、地图投影的变形地图投影的变形n长度比长度比 : 长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds,与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。 不同点上的长度比不相同,而且同一点上不同方向的长度比也不相同 1212012p pPPmP Plim d smd S 投
2、影变换的基本概念投影变换的基本概念n 主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向,称为主方向。 在椭球面的任意点上,必定有一对相互垂直的方向,它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向,也就是主方向。 投影变换的基本概念投影变换的基本概念 ,a bxy122byax,12222byaxrrm1投影变换的基本概念投影变换的基本概念 以定点为中心,以长度比的数值为向径,构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆,称为变形椭圆。2)方向变形方向变形 byax,tantanababxy) sin() sin(babababa)s
3、in(sin00abba00tan,tan投影变换的基本概念投影变换的基本概念方向变形的最大值为:n投影变形投影变形1)长度变形长度变形 2222sincosbarm1mv 3)角度变形:角度变形: 角度变形就是投影前的角度角度变形就是投影前的角度u 与投影后对应角度与投影后对应角度u之差之差 。 211111801802u 211111801802u 112uuuaa() 2uababsin 22abuabarcsin 投影变换的基本概念投影变换的基本概念4)面积变形:面积变形:P-1P-13 3 地图投影的分类地图投影的分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类1)等角投影:投影前后的角度不
4、变形,投影的长度比与方向无关,即某点的长度比是一个常数,又把等角投影称为正形投影。 2)等积投影:投影前后的面积不变形. 3)任意投影:既不等角,又不等积. ababP投影变换的基本概念投影变换的基本概念2.按经纬网投影形状分类按经纬网投影形状分类 1)方位投影方位投影 取一平面与椭球极点相切,将极取一平面与椭球极点相切,将极点附近区域投影在该平面上。纬点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心线投影后为以极点为圆心的同心圆,而经线则为它的向径,且经圆,而经线则为它的向径,且经线交角不变。线交角不变。Light SourcelBf),(投影变换的基本概念投影变换的基本概念 2)圆
5、锥投影圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切,将纬圈附近的区域投影于圆锥面上,再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。 Standard LineTrue Length ExaggeratedlBf),(投影变换的基本概念投影变换的基本概念3)圆柱圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)投影投影 取圆柱取圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)与椭球赤道相切,将赤道附近区域投与椭球赤道相切,将赤道附近区域投影到圆柱面影到圆柱面(或椭圆柱面或椭圆柱面)上,然后将圆柱或椭圆柱展开成上,然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念投影变换的基本概念3.3
6、.按投影面和原面的相对位置关系分类按投影面和原面的相对位置关系分类投影变换的基本概念投影变换的基本概念1)正轴投影:正轴投影:圆锥轴(圆柱轴)与地球自转轴相重合的投影,称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。2)斜轴投影:斜轴投影:投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。3)横轴投影:横轴投影:投影面的轴线与地球自转轴相垂直,且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。除此之外,投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线,这就是所谓割圆锥割圆锥,割圆割圆柱投影柱投影等。1、 高斯投影概述高斯投影概述 控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标
7、系4.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系高斯投影描述高斯投影描述 1)采用等角投影(又称为正形投影) ;2)长度和面积变形不大 ;3)能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体。 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系n 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面,并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切,椭圆柱的中心轴通过椭球体中心,然后用一定投影方法,将中央子午线两侧一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上,再将此柱面展开即成为投影面 。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系(有余数时)的整数商16LN6带带: 自0子午线起每隔经差6自西向东分带,依次编号1,2,3,6
8、0。我国6带中央子午线的经度,由73起每隔6而至135,共计11带,带号用n表示,中央子午线的经度用表示。 带号及中央子午线经度的关系:带号及中央子午线经度的关系: l 我国规定按经差我国规定按经差6和和3进行投影分带进行投影分带。投影带:投影带:以中央子午线为轴,两边对称划出一定区域作为投影范围; 1)分带原则)分带原则 (1)限制长度变形使其不大于测图误差; (2)带数不应过多以减少换带计算工作。2)分带方法)分带方法.5带或任意带带或任意带: 工程测量控制网也可采用.5带或任意带,但为了测量成果的通用,需同国家6或3带相联系。3 n=L/3(四舍五入)高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系
9、3带带: 自东经1.5子午线起,每隔3设立一个投影带, 依次编号为1,2,3, , 120带;中央子午线经度依次为3, 6, 9, , 360。带号及中央子午线经度的关系: 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系范例:范例:某控制点某控制点 P 点的大地坐标:点的大地坐标:3带:带:6带:带:84 .255130 ,21 .5023122 BL123413418 .4035 .12233中带LLn123321636214.2065.1226NLN中带高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系我国范围:西我国范围:西73度至东度至东135度,共计度,共计11个带。个带。 在投影面上,中央子午线和赤道的投
10、影都是直线,并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点,以中央子午线的投影为纵坐标轴,以赤道的投影为横坐标轴。 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系n 6带与带与3带的区别与联系区别带的区别与联系区别l 6带:从 0子午线起划分,带宽6 ,用于中小比例尺(1:25000以下)测图;l 3带:从 1.5子午线起划分,带宽3,用于大比例尺(如1:10000)测图。l 3带是在6带的基础上划分的,6带的中央子午线及分带子午线均作为3带的中央子午线,其奇数带奇数带的中央子午线与6带中央子午线重合,偶数带偶数带与分带子午线重合。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l国
11、家统一坐标国家统一坐标在我国x坐标都是正的,y坐标的最大值(在赤道上)约为330km。为了避免出现负的横坐标,规定在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家国家统一坐标统一坐标。例如: Y=19 123 456.789m该点位在19带内,横坐标的真值:首先去掉带号,再减去 500 000m,最后得 y = -376 543.211(m)。 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l分带存在的问题?分带存在的问题?边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内,使得地形图不能正确拼接,采用带重叠的方法解决此问题。 高斯投影的优点高斯投影的优点: : 1、投影带每
12、一带坐标系统具有一致性,对称性; 2、计算公式可适用于任一带的计算。 高斯投影的缺点高斯投影的缺点: : 1.出现带与带之间的不连续,会带来地形图拼接的问题,所 以应计算两个带的坐标; 2.靠近赤道变形越大,两极变形越小。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系2、椭球面元素化算到高斯投影面、椭球面元素化算到高斯投影面 3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化方向的曲率改化即方向改化来实现的。n椭球面三角系归算到高斯投影面的计算椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1)将起始点P的大地坐标(L,B)归算为高斯平面直角坐标 x, y;为了检核
13、还应进行反算,亦即根据 x, y反算B,L,这项工作统称为高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算。 2)将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角,这是通过计算该点的子午线收敛角子午线收敛角及方向改化方向改化 实现的。 因此将椭球面三角系归算到平面上,包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。 5)当控制网跨越两个相邻投影带,以及为将各投影带联成统一的整体,还需要进行平面坐标的邻带换算邻带换算。 4) 将椭球面上起算边PK的长度长度S归算归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化实现的。222)cos()(BdlNMdBdS正形投影的一般条件正形投影的一般
14、条件4.9.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件1、长度比的通用公式、长度比的通用公式222)()(dydxds22222222222dsdxdymdSMdBNBdldxdy MdBNBdlNB()(cos)(cos)cos M d Bd qNBco s 0BM d BqNBc o s 2222224334dxdym rdqdl()()() 正形投影的一般条件正形投影的一般条件等量纬度等量纬度qxx l qyy l q( ,),( ,) xxdxdLdqLq yyd yd ld qlq 2222xyEqqxxyyFqlqlxyGll 正形投影的一般条件正形投影的一般条件将上述两式代入(4-
15、334)式,整理,令22222224339E dqFdqdlG dlm rdqdl()()()()()()() 建立投影函数关系式:231 390PPMdBdqAPPrdldltan() dlAdqtan 222222222222222222E dqFA dqGA dqm rdqA dqEFAGA =rAEAFAAGA =r()tan()tan()()tan()tantanseccossincossin 正形投影的一般条件正形投影的一般条件2、柯西、柯西.黎曼条件黎曼条件0 xxyyqlql 0F EG 2222xyxyqqll yyxqlxlq 正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形条件正
16、形条件 m与与 A 无关无关,即满足:,即满足:222222yxyxylqqqqxq 22xyql xyqlxylq yyxqlxlq qlxylqxy 正形投影的一般条件正形投影的一般条件则有:n柯西柯西-黎曼条件黎曼条件22222xyqqEm= rr 222224347xyGllm= rr() 正形投影的一般条件正形投影的一般条件考虑到F=0,E=G,长度比公式简化为xMyBNBlyMxBNBlcoscos 222211xyxym MBBMll M d Bd qNBc o s xyqlxylq 正形投影的一般条件正形投影的一般条件22222xyqqEm= rr 柯西-黎曼条件的另一种解释方
17、法xx l B yy l B( ,)( ,) xxdxdldBlB yydydLdBLB 正形投影的一般条件正形投影的一般条件BBxABdxdBByBBdydBB CCxCCdxdllyACdydll 正形投影的一般条件正形投影的一般条件n如果点在子午线上:L=常数,dl=0n如果点在平行圈上:B=常数 dB=0ABACrABACBBCCrABACsincos ABACrBBCCtan ABmMdB ACmNBdlcos xMyBNBlyMxBNBlc o sc o s yxBlrxyBlta n 正形投影的一般条件正形投影的一般条件n 三角形ABB与ACC相似高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算
18、4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式 高斯投影必须满足以下三个条件:高斯投影必须满足以下三个条件: (1)中央子午线投影后为直线;中央子午线投影后为直线; (2)中央子午线投影后长度不变;中央子午线投影后长度不变; (3)投影具有正形性质,即正形投影条件。投影具有正形性质,即正形投影条件。高斯投影坐标正算公式推导如下:高斯投影坐标正算公式推导如下:1、高斯投影坐标正算公式、高斯投影坐标正算公式yxxy lqlq 和2402435135xmm lm lym lm lm l 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算1) 由由第一个条件第一个条件可知,由于地球椭球体是一个旋转椭球体,即中
19、央可知,由于地球椭球体是一个旋转椭球体,即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。x 为为 l 的偶函数,的偶函数,而而 y 则为则为 l 的奇函数。的奇函数。2) 由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件由恒等式两边对应系数相等,建立求解待定系数的递推公式由恒等式两边对应系数相等,建立求解待定系数的递推公式dmdmdmmm lm llldqdqdqdmdmdmm lm lllldqdqdq2424024135335351243524 dmdmdmm m m = dqdqdq0121231123 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算mX0 高
20、斯投影坐标正算高斯投影坐标正算) 由第二条件由第二条件可知,位于中央子午线上的点,投影后的纵坐可知,位于中央子午线上的点,投影后的纵坐标标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。即当即当 l=0 时时,m0=? dmdX dBNcosBc= M=NcosB m = NcosB =cosB dqdB dqMV01NmsinBcosB 22 NmBtbNmBBt NmBtt322332245245cos(1)sincos(59)24cos(518)120 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算5NNxXsinBcosBl +sinBcos Btl +N si
21、nBcos Bttl 23244246(5 -94)224(61 - 58)720 NyNB lcos Btl +N cos Btttl 32235242225cos(1)6(5181458)120 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算将各系数代入,略去高次项,精度为将各系数代入,略去高次项,精度为0.001m),(),(21yxlyxB高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算2、高斯投影坐标反算公式、高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时,原面是高斯平面,投影面是椭球面,在高斯投影坐标反算时,原面是高斯平面,投影面是椭球面,已知的是平面坐标已知的是平面坐标 (x, y),要求的是大地坐标要求的是大地
22、坐标 (B,L),相应地有如相应地有如下投影方程:下投影方程:同正算一样,对投影函数提出三个条件。同正算一样,对投影函数提出三个条件。24024351354369Bnn yn yln yn yn y () BNBlxMyBNBlyMxc o sc o s 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算1) 由由第一个条件第一个条件可知可知2) 由由第三个条件,正形条件第三个条件,正形条件2424024133335351243524dndndnNByynn yn ydxdxdxMdndndnNBn yn yyyyMdxdxdxcos()cos() 011223123dnMnNBdxdnNBnMdxdnMnNB
23、dxcoscoscos 11111kkkkdnMnrdx()()() 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算xX fBn 0fd Bd nd xd X0 ffdXMdB ffd Bd XM1 11ffffMnNBMcos 234nnn, 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算3) 由第二条件由第二条件依次求各系数依次求各系数因为因为所以所以222224324652233224225525392461904572011265286248120ffffffffffffffffffffffffffftnMNtnttMNtntt MNntNBtntttNB()*()()cos()cos 高斯投影坐标反算高斯投影坐
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