高等数学课件:13.7 傅里叶级数.ppt
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- 高等数学课件:13.7 傅里叶级数 高等数学 课件 13.7 傅里叶 级数
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1、第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第13章 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 )(谐波迭加
2、)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2
3、xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx
4、kaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅傅里里叶级数叶级数 .称
5、为函数)(xf 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 例
6、例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx11O
7、),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.Oyxxoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)
8、(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 , )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例
9、例3. 将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得222
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