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1、高等数学（上册）全册配套高等数学（上册）全册配套完整课件完整课件二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限极限与连续与连续 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函数函数1. 函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复

2、合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考

3、与练习思考与练习1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 与相同相同相同相同相同相同机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,10,1)()4(3

4、3xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函数都是初等函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4.

5、解解:e)(x2机动 目录 上页 下页 返回 结束 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(

6、0 xfxf2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质例例2. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点

7、,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例3. 设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设 f (x) 定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, 且 a c d b

8、,例例5. 设)(xf在,ba必有一点证证:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba证明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(证证:补充题补充题. 证明: 若 令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,)(limxfx存在, 则)(xf必在

9、),(内有界.)(xfXXA1Myox机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)

10、1 (x;x机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求极限的基本方法 例例6. 求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xx

11、xx122e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 Oxy331xy例例7. 确定常数 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可变形为0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy例例8. 当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则

12、kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1

13、e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim410 xxxxxsine1e2lim4101原式 = 1 (2000考研)注意此项含绝对值机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为不变的量（常量）常量）,所涉及的运算是常量之间的算术算术运算.高等数学 研究对象为变动的量（变量）变量）,基本运算是变量的极限极限运算. 高等数学是一

14、门以变量作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科. 整个高等数学是建立在极限理论的基础之上的.1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容主要内容多元微积分二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 注意学习方法.比如多听，多练，多想工科专业数学基础课，考研教材教材:主要参考书主要参考书:高等数学学习与提高高等数学学习与提高（上册）（上册）高等数学高等数学 （上册）（上册）武汉大学数学与统计学院 主编高等教育出版社湛少锋,

15、 胡新启 编武汉大学出版社第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁极限与连续 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 预备知识元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目

16、录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域邻域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .

17、半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 AcABB定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余

18、集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或二、二、 映射映射1. 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1. 引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束

19、定义定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域值域 .注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射YXf:若YXf)

20、(, 则称 f 为满射满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. XY)(Xff引例引例2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2引例引例2例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2. 如图所示,Sxyoxey x),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3. 如图所示,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射) (满射满射)机动 目录 上页

21、下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义: 若映射)(:DfDf为单射, 则存在一新映射,)(:1DDff使习惯上 ,Dxxfy, )(的逆映射记成)(,)(1Dfxxfy例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x)(DfDf1f,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf称

22、此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Dfg手电筒DD2D2D引例. 复合映射 定义. Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 则当1)(DDg由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复, )(xgfy .),(Dxxgf设有映射链记作)(1DfY 合映射 ,时,或)(1DfY )(ufy )(xgf1DDx)(xgu gfgf )(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数三、函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义4

23、. 设数集,RD则称映射R:Df为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df 定义域定义域 对应规则对应规则的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df机动 目录 上页

24、下页 返回 结束 例例4. 已知函数 1,110,2)(xxxxxfy解解:)(21f及. )(1tf写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的定义域 ),0D值域 ),0)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy112. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x )

25、无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若, )()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数xyoxexexych双曲余弦 记机动

26、 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数xsh双曲正弦 记再如,xxychsh奇函数xth双曲正切 记说明: 给定 ),(),(llxxf则 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数偶函数 奇函数奇函数 Oyx11xythxyOxexexysh2ee)(xxxfyxxxxeeee(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0机动 目录 上

27、页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(b

28、aPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数gR(2) 复合函数 fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 fgDR 不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,cosxu ,cosarcsinxy xR但可定义复合函数21xu时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数 1, 1, )1arcsin(2xxy当改DgfDfyux机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 1

29、2( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列

30、发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就

31、有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,

32、0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223

33、ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法.假设数列nx收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设,limaxnn取,1

34、,N则当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若,limaxnn且, 0a,时当Nn 有0nx)0()0(证证:对 a 0 ,取,2a,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)O,NN则,NN则*,axkn4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收

35、敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 定理定理 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,0

36、0)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA三、数列极限的四则运算法则三、数列极限的四则运算法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 试求下面极限试求下面极限)2()4()2(1limnnxnxnxnn)242(1limnnnxnn) 1(1limnnxnn1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、极限存在准则四、极限存在准则夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .azynnnnlimlim)2(1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN

37、则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 )（单调有界原理单调有界原理）Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1n

38、x1x2xx( 证明略 )ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . 证证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!

39、) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3. 柯西收敛准则柯西收敛准则数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N ,使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时, 有 使当,

40、2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 证明从略 .,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时,下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两

41、边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim故极限存在，备用题备用题 设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时

42、函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 XXAAOxy)(xfy A定义定义1 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限例例1. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xo

43、xyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10的水平渐近线为xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义机动 目录 上页

44、 下页 返回 结束 定义定义2 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证

45、明1)12(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明: 当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,m

46、in00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理1 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解:因为)(lim0 xfx) 1(

47、lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或X定义及应用2.与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a3是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 结束 1, 121,2xxxxa？ 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、函数极限的性质、函数极限的性

48、质 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数极限性质与运算法则1.函数极限的唯一性机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)(lim()(lim0存在，则极限唯一如：若xfxfxx2. 局部有界性,)(lim0Axfxx若.),()(0内有界在xUxf),(0 xU则定理定理1 . 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 3. 局部保号性定理定理3.1 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存

49、在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 3.2 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理3. 1,0 x的某去心邻域 , 使在该

50、邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理3. 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定