巴中市普通高中2019级“一诊”考试理科数学答案.pdf

1、 1 巴巴中中市市普通普通高中高中 2019 级“级“一一诊诊”考试考试 数学数学（理科理科）参考参考答答案案 一一选择题选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C C D A D C B C B 二二填空题填空题 131； 1432； 154； 1623 三三解答题解答题 17（本题满分 12 分） 解解：（1）设“甲组在 4 局以内（含 4 局）获胜”为事件 A，则事件 A 是两个互斥事件： “甲组在第 3 局获得比赛胜利”与事件“甲组在第 4 局获得比赛胜利”的并（和）事件 由题意，知：甲组在第 3 局获得比赛胜利的概率为3128( )327P = 2

2、分 甲组在第 4 局获得比赛胜利的概率为13231 28C( )3 327P = 4 分 1216(A)27PPP=+= 5 分 （2）由题意知X的所有可能取值为 3、4、5 6 分 33211(3)( )( )333P X =+= 7 分 131333122110(4)C( )C( )333327P X =+= 9 分 2224218(5)C ( )( )3327P X = 10 分 X 的分布列为 11 分 X 3 4 5 P 13 1027 827 1108107()3453272727E X = + = 12 分 18（本题满分 12 分） 解解：（1）法一： 在ABC中，由已知及余弦

3、定理得： 2222222222acbbcaacbcabbcacbc+=+ 2 分 化简得：222bcabc+= 3 分 2221cos22bcaAbc+= 5 分 又 (0, )A 3A= 6 分 法二： sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB=+=+=+ 1 分 由正弦定理及上式得：coscoscaBbA=+ 2 分 又 22( coscos )c aBbAabbc+=+ 222cabbc=+，整理得222bcabc+= 3 分 2221cos22bcaAbc+= 5 分 又 (0, )A 3A= 6 分 （2）方方法法一一： 2 由已知得：2133ADACAB

4、=+ 7 分 两边平方得22222414414|cos999999ADACABAB ACbcbcA=+=+ 8 分 由AD平分角A及2BDDC=，知：2ABAC=，即：2cb= 9 分 又3A=，2 3AD = 222244412129999bbbb=+= 10 分 解得：3, 6bc= 11 分 22227abcbc=+=，解得：3 3a = 12 分 方方法二法二： 同法一，得：2cb= 7 分 在ABC中，22223abcbcb=+= 22224ACBCbAC+= 8 分 2C= 9 分 在RtABC中，6BDAB= 10 分 2 3DB = 11 分 33 32BCBD= 12 分 1

5、9（本题满分 12 分） 解解：（1）证明： 方法方法一一 连结 BE，在BCE中，由3, 3, 90BCCEC=得： 222 3BEBCCE=+=，30BEC= 1 分 在AEB中，4AB =，2 3, 30BEEBABEC= 由余弦定理得：2222cos304AEABBEAB BE=+= 222ABAEBE=+，故AEBE 2 分 又 平面PAE 平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE= BE 平面PAE 3 分 又 AM 平面PAE AMBE 4 分 又 , AMPEPEBEE= AM 平面PEB 由PB 平面PEB，得PBAM 5 分 , PBANAMANA= PB 平面AMN 6

6、分 PB 平面PAB 平面PAB 平面AMN 7 分 方法方法二二 连结 BE，过 A 作AGCD，垂足为 G（如图） 由题意知： /, 4ABDEABDE= 四边形 ADEB 为平行四边形 /ADBE 1 分 又由题意知：3AGBC=，3, 1DGEG= 在RtAEG和RtADG中，由勾股定理得： 222AEAGGE=+=，222 3ADDGAG=+= 22216DEADAE=+ ADAE BEAE，PAAE 2 分 1图ADECBG 1图ADECB 2图MACBEPN 3 又 平面PAE 平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE= BE 平面PAE，PA平面 ABCE , BEPEPAAB

7、 3 分 由折叠的性质知：3PMDG=，2 3PADA= 在RtPAB中，ANPB，222 7PBPAAB=+= 由射影定理得：26 71272 7PAPNPB= 4 分 3 714PNPMPEPB=，故PMNPBE 90PNMPEB=，即PBMN 5 分 又 , , MNANNMN AN=平面AMN PB 平面AMN 6 分 PB 平面PAB 平面PAB 平面AMN 7 分 方法方法三三 同方法二，得：BEAE，PAAE 3 分 又 平面PAE 平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE= PA平面 ABCE PAAB 4 分 故, , AE AP EB为空间向量的一组正交基底，且| 2, |

8、 2 3, | 2 3AEAPEB= 由AMPE，AGDE，折叠的性质知：1344AMAPAE=+ 又 BPBEEAAP=+ 22131313() ()1240444444BP AMBEEAAPAPAEAPAE=+= BPAM 5 分 又 , , MNANNMN AN=平面AMN PB 平面AMN 6 分 PB 平面PAB 平面PAB 平面AMN 7 分 （2）方法方法一一： 由（1）知：90DAE= PA平面ABCE 过 A 在ABCE内作AB的垂线 AF 则, , AFABPA三线两两垂直 以 A 为原点，建立如图所示建立空间直角坐标系 由已知，得：(0, 0, 2 3), (0, 4,

9、0), ( 3, 1, 0)PBE 8 分 由（1）知，平面AMN的一个法向量为(0, 4, 2 3)BP = 9 分 平面PAE的一个法向量为( 3, 3, 0)BE = 10 分 2112cos, 7| |2 7 2 3BE BPBE BPBEBP = 11 分 由几何体的空间结构，知：二面角PAMN的余弦值为217 12 分 方法方法二二： 由（1）知：BP为平面AMN的一个法向量，BE为平面PAE的一个法向量 9 分 由（1）中方法三，知： , , AE AP EB为空间向量的一组正交基底，且| 2, | 2 3, | 2 3AEAPEB= BPBEEAAP=+ 2|()124122

10、7BPBEEAAP=+=+= 10 分 MACBEPNFxyz 2图MACBEPN 4 于是 22112cos, 7| | |2 7 2 3BE BPBEBE BPBEBPBEBP = 11 分 由几何体的空间结构，知：二面角PAMN的余弦值为217 12 分 方法方法三三： 由（1）知：BP为平面AMN的一个法向量，BE为平面PAE的一个法向量 9 分 在直角三角形PBE中，由（1）中方法二知：2 7, 2 3PBBE= 2 321cos, cos72 7BEBE BPPBEBP = 11 分 由几何体的空间结构，知：二面角PAMN的余弦值为217 12 分 方方法法四四： 由（1）中方法一

11、知：AM 平面PEB 故 cosPMN为二面角PAMN的平面角 9 分 由（1）方法二的计算知：6 73, 7PMPN= 223 2136977MNPMPN= 10 分 21cos7MNPMNPM= 11 分 二面角PAMN的余弦值为217 12 分 20（本题满分 12 分） 解解：（1）由题意可知，QM是2NF的中垂线 2| |QFQN= 121| |QFQFNF+= 1 分 连接OM，则| 2OM = 又 M、O 分别是21 2, F NFF的中点 1| 2| 4NFOM= 2 分 121 2| 42 |QFQFFF+= 3 分 故 由椭圆的定义可知：Q的轨迹是以12, FF为焦点，以

12、4 为长轴长的椭圆 4 分 Q的轨迹方程为22143yx+= 5 分 （2）由（1）知点 P 的坐标为(0, 3) 由已知可得：直线 AB 的斜率必存在 设直线AB的方程为 (3)ykxmm=+，1122( , ), (, )A xyB xy 由22,1.43ykxmyx=+=消去y整理得222(43)84120kxkmxm+= 6 分 由题意知：222(8)4(43)(412)0 (*)kmkm=+ 由韦达定理，得：2121 2228412, 4343kmmxxx xkk+=+ 7 分 方法方法一一： 由PAPB得：0PA PB= 8 分 又 1 2121 212(3)(3)(3)(3)PA

13、 PBx xyyx xkxmkxm=+=+ 221 212(1)(3) ()(3)kx xmk xxm=+ 222224128(1)(3 )(3)4343mkmkmkkmkk=+ 222(3)(73)76 334341mmmmkk+=+ 9 分 5 2(3)(73)041mmk+=+，故(3)(73)0mm+= 10 分 3m 37m = 代入(*)验证符合题意 11 分 直线 AB 过定点3(0, )7 12 分 方法方法二二： 由PAPB得：1212331PA PByykkxx= 8 分 整理得：1 212(3)(3)0 x xyy+= 又 1 2121 2121 212(3)(3)(3)

14、(3)(3)(3)x xyyx xyyx xkxmkxm+=+=+ 221 212(1)(3) ()(3)kx xmk xxm=+ 222224128(1)(3 )(3)4343mkmkmkkmkk=+ 222(3)(73)76 334341mmmmkk+=+ 9 分 2(3)(73)041mmk+=+，故(3)(73)0mm+= 10 分 3m 37m = 代入(*)验证符合题意 11 分 直线 AB 过定点3(0, )7 12 分 方方法法三三： 121226()243myyk xxmk+=+=+ 22221 2121 2122123()()()43kmy ykxm kxmk x xkm

15、xxmk+=+=+=+ 设线段 AB 的中点为H，则1212(, )22xxyyH+ 由PAPB知：在直角三角形 APB 中，有2211|24PHABPHAB= 8 分 2222121212121()(3)()() 224xxyyxxyy+=+ 化简得：1 21 2123()30 x xy yyy+= 9 分 2222226 341212330434343mmkmkkk+=+ 整理得：276 330mm=，即(73)(3)0mm+= 10 分 3m 37m = 代入(*)验证符合题意 11 分 直线 AB 过定点3(0, )7 12 分 方方法法四四： 由题设，知直线 AP 的斜率存在且不为

16、0，设: 3 (0)APykxk=+ 6 分 由223143ykxyx=+=， 解得0,3.xy=或2228 3,434 33 3.43kxkkyk=+=+ 7 分 故 2228 34 33 3(, )4343kkAkk+ 8 分 6 由PAPB可设直线BP的方程为13yxk= + 同理可得：2228 33 34 3(, )3434kkBkk+（或将点 A 坐标中的k换成1k得到） 9 分 直线 AB 的斜率为22222223 34 34 33 333344378 38 33443ABkkkkkkkkkkk+=+ 10 分 故 直线 AB 的方程为22224 33 38 333()74343k

17、kkyxkkk+=+， 整理，化简得：233377kyxk= 11 分 直线 AB 过定点3(0, )7 12 分 方方法法五五： 若直线 AB 过定点，由图形的对称性可知，定点一定在y轴上，设此定点为G 6 分 当ABy轴时，不妨设 A 在 B 的左侧，则直线 AP 的方程为3yx=+ 由223,1.43yxyx=+=解得0,3.xy=或8 3,73.7xy= = 由题意知：8 33(, )77A ，同理可得8 33(, )77B 7 分 从而猜想：直线 AB 经过定点为3(0, )7G 8 分 下面进行一般化证明： 由题设，可知直线 AP 的斜率必存在且不为 0，可设: 3 (0)APyk

18、xk=+. 由2231.43ykxyx=+=，解得0,3.xy=或2228 3,434 33 3.43kxkkyk=+=+ 故 2228 34 33 3(, )4343kkAkk+ 9 分 由PAPB可设直线BP的方程为13yxk= + 同理可得：2228 33 34 3(, )3434kkBkk+（或将点 A 坐标中的k换成1k得到） 10 分 由斜率公式得： 22224 33 337334378 343GAkkkkkkk+=+，22223 34 337333478 334GBkkkkkkk+=+ 11 分 GAGBkk= , , A GB三点共线，即直线 AB 过定点3(0, )7G 12

19、 分 方方法法六六： 同解法五，可得：3(0, )7G，2228 34 33 3(, )4343kkAkk+，2228 33 34 3(, )3434kkBkk+ 22228 38 33333( , ), ( , )774334kkGAkGBkkk=+ 10 分 GA GB，故 A，G，B 三点共线 11 分 直线 AB 过定点3(0, )7G 12 分 21（本题满分 12 分） 7 解解：（1）由2( )lnlnxf xaexa=+知：21( )xfxaex= 1 分 由已知得13(2)22fa=，解得：2a = 2 分 由(2)2f=得：ln2ln2aa+=，解得：2a = 3 分 综上

20、可知：2a = 4 分 （2）方方法法一一： 由已知，得：2lnln20 xaexa+恒成立 令2( )lnln2 (00)xg xaexaax=+，则21( )xg xaex= 由221( )0 xg xaex=+知( )g x在(0, )+上单增 5 分 又 当0 x 时，( )g x；当x +时，( )g x+ 存在唯一0(0, )x +，使得02010 xaex=，即0201xaex= 6 分 当0(0, )xx时，( )0, ( )g xg x单减；当0(, )xx+时，( )0, ( )g xg x单增 02min00001( )()lnln2lnln2xg xg xaexaxax

21、=+=+ 2lnln20 xaexa+等价于001lnln20 xax+ 7 分 对式取对数得：00ln2lnaxx+= 8 分 代入得：0012ln40axx+ 9 分 由00 x 知：0021xx+，当且仅当01x =时取等号 10 分 0min01(2ln4)2ln2axax+= 2ln20a，解得：ae 11 分 a的取值范围为 , )e+ 12 分 方方法二法二： 由方法一，知：0201xaex= 6 分 对式取对数得：00ln2lnaxx+= 代入得：00012ln0 xxx 7 分 设1( )2ln , 0h xxxxx=，则222(1)12( )10 xh xxxx+= = (

22、 )h x在(0, )+上是减函数 8 分 又 (1)0h= 0(0, 1x 9 分 由0201xaex=得：0200 (0, 1xeaxex= 令( ), (0, 1xm xxex=，则( )(1)0 xm xxe=+恒成立 ( )m x在(0, 1是上减函数 故 0( )(1)m xme= 10 分 当0(0, 1x 时，020 xeeaex= 11 分 a的取值范围为 , )e+ 12 分 方法方法三三： 由2lnln2xaexa+得：22lnlnxaexaxx+ 变形得：22lnlnxxaeaexx+ 5 分 令( )lng xxx=+，则22lnlnxxaeaexx+即为2()( )

23、xg aeg x 6 分 8 由1( )10g xx= +知：( )g x在(0, )+上单增 7 分 由0, 0ax知：20 xae 2()( )xg aeg x等价于2xaex 8 分 于是有：2xaxee对任意(0, )x+恒成立 令( ), 0 xxh xxe=，则1( )xxh xe= 当(0, 1)x时，( )0, ( )h xh x单增；当(1, )x+时，( )0, ( )h xh x单减 9 分 max1( )(1)h xhe= 10 分 21aee，解得：ae 11 分 a的取值范围为 , )e+ 12 分 方法方法四四： 一方面， 由( )2f x恒成立知，(1)2f，即

24、1ln2aea+ 5 分 记( )lnah aae=+，则由11( )0h aea=+知( )h a在(0, )+上单调递增 6 分 又 ( )2h e = 故 1ln2aea+的解集为 , )e+ 7 分 另一方面， 当 , )ae+时，欲证2lnln2xaexa+恒成立 即证：21( )lnlnln12xxf xe exeex+=+恒成立 8 分 令1( )ln1xg xex=+，则11( )xg xex= 由121( )0 xg xex=+知( )g x在(0, )+上单增 9 分 又 (1)0g= 当(0, 1)x时，( )0, ( )g xg x单减；当(1, )x+时，( )0,

25、( )g xg x单增 10 分 min( )(1)2g xg= ( )( )2f xg x成立 11 分 综上可知：a的取值范围为 , )e+ 12 分 22（本题满分 10 分） 解解：（1）代cos , sinxy=入226690 xxyy+=整理得： 26 cos6 sin90+= 圆 C 的极坐标方程为：26 cos6 sin90+= 2 分 由l的参数方程cos ,sin .xtyt= (t为参数）知：直线l过原点且方 消去参数t得: l的普通方程为sincos0 xy= 4 分 故 直线l过极点，直线l上的点的一个极角为 l的极坐标方程为： ()=R 5 分 注注：若没有注明R扣

26、 1 分 （2）方法方法一一 当, 2kk=+Z时，直线l为y轴，与圆 C 不相交，不合题意 故直线l的普通方程可化为tanyx= 由圆心(3, 3)C到直线l的距离为 2 得：2|3tan3|3 221tan=+ 7 分 化简得：2tan4tan10+ = 解得：tan23= 9 分 9 l的直角坐标方程为(23)yx= 10 分 方法方法二二 由已知可得，直线l的普通方程为sincos0 xy= 由圆心(3, 3)C到直线l的距离为 2 得：3 2|3sin3cos|2= 7 分 平方整理得：22sin4sincoscos0+= 解得：sin(23)cos= 9 分 l的直角坐标方程为(2

27、3)yx= 10 分 23（本题满分 10 分） 解解：（1）方法方法一一 43, 1,( )2|1|2|, 12,34, 2.xaxf xxxaxaxxax=+ = 1 分 ( )f x在(, 1)上是减函数，在1, )+上是增函数 2 分 min( )1f xa= 3 分 由( )0f x在 R 上恒成立得：10a，解得：1a 4 分 a的取值范围为(, 1 5 分 方法方法二二 2|1|2| |1|1|2|xxxxx+=+ 当1, 2x时，|1|2| |1(2)| 1xxxx+ = 2 分 又|1|0 x 2|1|2|0 1 1xx+ =，当且仅当1x =时取等号 min( )1f xa

28、= 3 分 由( )0f x在 R 上恒成立得：10a，解得：1a 4 分 a的取值范围为(, 1 5 分 （2）方法方法一一 由（1）知：1m =，故121cb+=，变形得2bcbc=+ 6 分 23()bccbbc+=+ 7 分 0, 0bc，且121cb+= 122()()332 2bcbccbcb+=+，当且仅当2bc=且21c =+时取等号 9 分 2bccb+的最小值为96 2+ 10 分 方法方法二二 由方法一，有：23()bccbbc+=+ 7 分 0, 0bc，且121cb+= 221221()()()( 21)32 2bcbccbbc+=+=+ 当且仅当2bc=且21c =+时取等号 9 分 2bccb+的最小值为96 2+ 10 分 方法方法三三 由方法一，有：0, 0bc，且121cb+= 2, 1bc，且2bcbc=+ 6 分 由2bcbc=+变形得(2)(1)2bc= 7 分 23()93(2)(1)96 (2)(1)96 2bccbbcbcbc+=+=+=+ 当且仅当22, 12bc=+= +时取等号 9 分 2bccb+的最小值为96 2+ 10 分