20211230.西城高三期末（答）终稿.doc

1、北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 1页（共 8页）北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考2022.1一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）A（2）B（3）A（4）C（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）60（12）28yx4（13）32（14）2（答案不唯一）（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解： （）因为PD 平面ABCD，CE 平面ABCD，所以PDCE.因为4AB ，

2、34AEAB，所以3AE ，1BE .所以2ABBCADBE.所以RtRtCBEBAD，所以BDCE.又因为PDCE，PDBDD，所以CE 平面PBD.5分（）因为PD 平面ABCD，AD 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PDAD，PDCD.又因为ABCD是矩形，ADCD，所以,AD CD PD两两垂直，如图建立空间直角坐标系Dxyz，北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 2页（共 8页）则(0,4,0)C，(0,0,2)P，(2,3,0)E，所以(0,4, 2)PC ，(2, 1,0)CE .设平面PCE的一个法向量为( , , )x y zn

3、，则0,0,CEPC nn即20,420.xyyz令1x ，则2y ，4z .于是(1,2,4)n.因为PD 平面ABCD，取平面ACE的法向量为(0,0,1)m.则44 21cos,|2111416 m nm nmn.由图可知二面角PCEA为锐角，所以二面角PCEA的余弦值是4 2121.13分（17）（共 13 分）解： （）选条件选条件：因为2ca，所以22T，即T ，则22T.由题意可知2A ，则( )2sin(2)f xx.因为3b ，2( )2sin()03f b，所以23kkZ，即23k .因为0，所以3，1k .所以( )2sin(2)3f xx.6分选条件选条件：因为2ca，

4、所以22T，即T ，则22T.由题意可知2A ，则( )2sin(2)f xx.北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 3页（共 8页）因为712c ，7( )2sin()26f c ，所以732 62kk Z，即2 3k.因为0，所以3，0k .所以( )2sin(2)3f xx.6分选条件选条件：因为3b ，712c ，所以44Tcb，即T ，则22T.由题意可知2A ，则( )2sin(2)f xx.因为712c ，7( )2sin()26f c ，所以732 62kk Z，即2 3k.因为0，所以3，0k .所以( )2sin(2)3f xx.6

5、分（）由题意得2( )sin(4)3g xx.函数sinyx的单调递减区间为32 ,2 22kk()k Z由23242232kxk，得5242242kkx.因为函数( )yg x在区间0,m上单调递减，且5024 24 ,，此时0k .所以524m，所以m的最大值是524.13分北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 4页（共 8页）（18）（共 14 分）解： （）设这个区域降雨量在 135 毫米以上为事件A，区域降雨量在 135 毫米以上的区域共有 6 个，所以63( ).105P A 答：这个区域降雨量在 135 毫米以上的概率为3.54分（）由题

6、意分析可知0,1,2X ，38310C567(0)=12015CP X ，2182310C C567(1)=12015CP X ，1282310C C81(2)=12015CP X .随机变量X的分布列为:所以随机变量X的数学期望为:7713()0+1+21515155E X .11分（）222213sss.14分（19）（共 15 分）解： （）当0a 时，2( )e (1)xf xx，2( )e (21)xfxxx，所以(0)1f ，(0)1f，所以切线方程为1yx.4分（）由2( )e (1)xf xxax，得2( )e (2)1xfxxaxa.令( )0fx，得11xa ，21x .若

7、12xx，则0a，( )0fx在( 1,1)上恒成立，因此，( )f x在( 1,1)上单调递增，无极值，不符合题意.X012P715715115北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 5页（共 8页）若12xx，则0a ，( )fx与( )f x的情况如下：x(, 1) 1( 1,1)a 1a (1,)a ( )fx00( )f x极大值极小值因此，( )f x在(, 1) ，(1,)a 上单调递增，在( 1,1)a 上单调递减.若( )f x在( 1,1)上有且只有一个极小值点，则需11 1a ，所以20a .综上，a的取值范围是( 2,0).9分（

8、）因为e0 x，所以22( )e (1)e (cos1)xxf xxaxxx，即22cosxaxxx.又因为0 x ，所以22cosxaxxx，即cosaxxx.令( )cosg xxxx，所以( )cossin1(cos1)sing xxxxxxx .因为(0,2x，所以cos10 x ，又sin0 xx ，所以( )0g x，所以( )g x为(0,2上减函数， 所以( )(0)0g xg，所以0a综上，实数a的取值范围为0,).15分（20）（共 15 分）解： （）由题设，2ab，所以222ab.又因为2c ，222abc，所以2224bb.解得24b ，28a .所以椭圆M的方程为2

9、2184xy.5分北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 6页（共 8页）（）由题意可知，直线l斜率存在，设直线l的方程为(2)yk x.由22(2),28yk xxy得2222(12)8(88)0kxk xk.设11(,)A x y，22(,)B xy，则2122812kxxk，21228812kx xk.因为ADx轴，所以1(,0)D x.直线BD方程为2121()yyxxxx，所以2121(4)4,yxExx.因为BCx轴，所以2(,0)C x.因为112ACykxx，21212(4)()(4)ECyxkxxx.所以21121212(4)()(4)

10、ECACyxykkxxxxx2112212(4)(4)()(4)yxyxxxx2112212(2)(4)(2)(4)()(4)k xxk xxxxx12122126()216()(4)kxxx xxxx2222212224888()(4)1212kkkxxxkk2222212163112()(4)12kkkkxxxk0.所以,C A E三点共线.因为/BCAD，所以ACDABDSS，所以ECDEABSS，所以:1:1ECDEABSS.15分（21）（共 15 分）解： （）1:1,2,4,7,8A；2:1,2,6,7,8A；3:1,5,4,7,8A；4:1,5,6,7,8A.5分北京市西城区

11、20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 7页（共 8页）（）依题意，对任意2,3,2iN，有11iiaa或11ia,11iiaa或21ia，因为A均为递增数列，所以有1iiaa，即同时满足：111iiaa ，1211iiaa ，1211iiaa ，111iiaa .因为A为递增数列，因此和恒成立.又因为A为整数数列，对于，11211iiiiaaaa也恒成立.对于，一方面，由111iiaa ，得12iiaa，即11iiaa.另一方面，11iiaa，所以11(2,3,2)iiaaiN，即A从第2项到第1N 项是连续的正整数，所以2112aa ，123121NNaaNaN

12、，因此222aN ，故2a共有1N 种不同取值，即所有符合条件的数列A共有1N 个.10分（）记1nnnbaa，依题意，*(2,3,).nbnNN对任意2,3,1iN，有1iiiaab或11ib，注意到0( )S A，即对任意2,3,1iN，有0iiaa，若10iiiaab ，则1ib ，即2ib；若110iiiaab ，则11ib，即12ib，即对任意2,3,1iN，或者2ib，或者12ib.所以13iibb，所以111iibb 不能成立.记1 |1,2,3,1iiiTi aabiN，21 |1,2,3,1iiiTi aabiN ，则12TT ，且122,3,1TTN.注意到：若存在2jT且

13、22jN ，即11jjjaab ，则21jT .否则，若11jT ，则11111(1)()jjjjjjaabbaa ，不合题意.因此集合12,T T有以下三种情形:12,3,1TN，2T .北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第 8页（共 8页）对任意2,3,1iN，有2ib，则1231()0(2) 2123NNNaabbbbNN ，当且仅当：2312Nbbb，1Nb，即:0,2,4,24,23ANN时，等号成立，此时存在“强紧数列”:0,1,3,23AN，故此情形下，Na的最小值为23N ；12,3, Tk，21,2,1TkkN，其中2,3,2kN.对任意1iT，有2ib，对任意2jT，有12jb.123123()()NkkkkNaabbbbbbb0(1) 21(1) 223kNkN .故此情形下，Na的最小值不小于23N ；1T ，22,3,1TN.对任意2,3,1iN，有12ib，1234()02(2) 22223NNaabbbbNNN.故此情形下，Na的最小值不小于23N .综上，Na的最小值为23N .15分