2011信号与系统第7章.ppt

1、1第七章第七章 离散信号与系统时域分析离散信号与系统时域分析 7-1 离散时间信号离散时间信号取样间隔为等间隔，则用取样间隔为等间隔，则用 f (kT)表示。表示。 如果信号仅在一些离散的点具有确定的数值，则称其为离散信号。若如果信号仅在一些离散的点具有确定的数值，则称其为离散信号。若自变量为时间，就是离散时间信号。若离散瞬间是等间隔的，离散信号也自变量为时间，就是离散时间信号。若离散瞬间是等间隔的，离散信号也称为序列。称为序列。获取方法：获取方法：1）图形表示）图形表示 一般简化记为一般简化记为f (k)，k只能取整数值。对只能取整数值。对k取非整数值，取非整数值，f (k)没有没有意义。意

2、义。一、一、离散时间信号及其描述离散时间信号及其描述1）直接获取）直接获取2）连续信号取样）连续信号取样表示方法：表示方法：2212)(NNkkfE二、离散信号的能量和功率二、离散信号的能量和功率NNkNkfNP2)(121lim离散信号离散信号 f (k)在在N1kN2内的能量定义为内的能量定义为在无穷区间内的总能量为在无穷区间内的总能量为 若若E，称，称 f (k)为能量信号。若为能量信号。若P ，称，称 f (k)为功率信号。为功率信号。kkfE2)(在无穷区间内的平均功率定义为在无穷区间内的平均功率定义为 3）序列表示）序列表示 .01 , 1 . 1 , 4 . 1 ,.31 , 5

3、 . 1 , 2 . 102）数据表格）数据表格k 12 0 1 2 3f (k)1.21.51.31.41.11.037-2 离散信号的时域运算离散信号的时域运算1. 加法加法 y(k)=f1(k)+f2(k)0.5 , 5 . 0, 1, 5 . 1)(01kkf1, 2,1 , 5 . 1)(02kkf)()()(21kfkfkf0.5 , 5 .1, 1, 5 .2 , 5 .10k同序号的值对应相加，其和为一新的序列。同序号的值对应相加，其和为一新的序列。42. 相乘相乘: 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。同序号的数值对应相乘后构成新的序列。5 . 0, 1, 5 . 1)(01

4、kkf1, 2,3)(02kkf y(k)=f1(k) f2(k)()()(21kfkfkf5 . 0, 2, 5 . 40k3、数乘、数乘: 完成序号值的比例运算，即完成序号值的比例运算，即对每一序号值均乘以一个实常数对每一序号值均乘以一个实常数。 y(k)=Af(k)(3)(1kfky5.1,3,5.40k5离散信号在压缩后会丢失离散信号在压缩后会丢失部分信息，重新展宽后，部分信息，重新展宽后，不能恢复出原信号。不能恢复出原信号。5. 移位移位: y(k)=f(km)6. 反褶反褶: y(k)=f(k)4. 倒相倒相: y(k)=f(k)7. 展缩展缩: y(k)=f(ak)(ak只能取整

5、数只能取整数)68、累加和、累加和: 序号前序号前k项值累加得到一个新序列。项值累加得到一个新序列。kiifky)()(2215.205.100kkkkkiifky)()(19. 差分差分: 序列与其移序序列的差而得到一序列与其移序序列的差而得到一个新序列。个新序列。（后向差分）（后向差分）（前向差分）（前向差分）) 1()()(kfkfkf)() 1()(kfkfkf二阶后向差分二阶后向差分) 2() 1(2)()()(2kfkfkfkfkf二阶前向差分二阶前向差分)() 1(2) 2()()(2kfkfkfkfkf71. 单位序列单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）（单位取样序

6、列、单位脉冲序列、单位函数）推广：推广：性质：性质：)() 0 ()()(kfkkf)()()()(mkmfmkkf7-3 常用的离散时间信号常用的离散时间信号0001)(kkkmkmkAmkA0)( (k)与与 (t) 差别差别: (t)用面积表示强度用面积表示强度， (幅度为幅度为 ,但强度为面积但强度为面积) (k)的值就是的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）时的瞬时值（不是面积） (t) ：奇异信号，数学抽象函数；：奇异信号，数学抽象函数； (k)：非奇异信号，可实现信号。：非奇异信号，可实现信号。82.单位阶跃序列单位阶跃序列0)()(mmkkU) 1()()(kUkUkU(k)是无

7、数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。性质：性质：000)()()(kkkfkUkf U(t) ：奇异信号，数学抽象函数；：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。：非奇异信号，可实现信号。U(k)作用类似于作用类似于U(t)，具有切除性。，具有切除性。但二者有较大差别：但二者有较大差别：关关系系：与与)()(kUk0001)(kkkU单位序列是单位阶跃序列单位序列是单位阶跃序列U(k)的一次后向差分。的一次后向差分。kmm)(93.单位矩形序列（单位门序列）单位矩形序列（单位门序列）)()()(NkUkUkGNN , 0010

8、1)(kkNkkGN10)(Nmmk4.单边实指数序列单边实指数序列)()(kUakfk0a1 发散序列发散序列1a0 交替收敛交替收敛a1 交替发散交替发散a=1 交替摆动交替摆动105.正弦序列正弦序列kkfkkf00cos)(sin)(或)sin()(sin00kNk如果序列如果序列 f(k)是周期序列并且周期为是周期序列并且周期为N(N为整数为整数)则有则有)()(kfmNkf02mN 周期：02N周期：是周期的。为正整数，正弦序列kN00sin2 ) 1 (仍是周期的。为有理数，正弦序列kmN00sin2 )2(为非周期序列。为无理数，正弦序列kmN00sin2 )3(对于正弦序列必

9、有对于正弦序列必有11离散正弦序列的周期离散正弦序列的周期02N20N周周期期：1120 mN周周期期：无无周周期期离散正弦序列并不随着离散正弦序列并不随着 0的增加而的增加而增加其振荡速率。增加其振荡速率。离散正弦序列的低频段是在离散正弦序列的低频段是在 0为为0，2 ，4 附近；而高频段在附近；而高频段在 0为为 ，3 附近。附近。12例例： 试判断下列信号是否为周期序列。若是，确定其周期。解：解： 最小公倍数N=N1N2=3112=372。所以其周期为372。N只能取整数, f(k)不是周期序列。)6sin()318cos()(kkkf12,1262 ;31 ,431318221NNN

10、,226.离散复指数信号离散复指数信号kekf0j)(kk00sinjcos例例： 判断 是否为周期序列。若是，确定其周期。kekfj2)(137-4 离散系统及其数学描述离散系统及其数学描述一、一、线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统 1. 线性与非线性系统线性与非线性系统)()(22kykf)(3)()(2kfkfky) 1()(kfky激励、响应均为离散时间信号的系统即为离散时间系统。激励、响应均为离散时间信号的系统即为离散时间系统。如果如果)()(11kykf)()()()(2121kbykaykbfkaf称为线性系统，否则为非线性系统。称为线性系统，否则为非线性系统。2. 记

11、忆与无记忆系统记忆与无记忆系统 如果一个系统在某个时刻的输出仅仅取决于该时刻的输入，如果一个系统在某个时刻的输出仅仅取决于该时刻的输入，则称该系统为无记忆系统，否则为记忆系统。则称该系统为无记忆系统，否则为记忆系统。无记忆系统无记忆系统记忆系统记忆系统14对于任意的整数对于任意的整数m有有)()(kykf)()(mkymkf为有限正数MMkhk )(则称该系统为时不变离散时间系统，否则为时变离散时间系统。则称该系统为时不变离散时间系统，否则为时变离散时间系统。3. 时变与时不变系统时变与时不变系统如果如果4. 因果与非因果系统因果与非因果系统 如果系统在任何时刻的输出仅仅取决于现在的输入和过去

12、的如果系统在任何时刻的输出仅仅取决于现在的输入和过去的输入，也就是说响应总是出现在激励之后，则该系统称为因果系输入，也就是说响应总是出现在激励之后，则该系统称为因果系统，否则称为非因果记忆系统。统，否则称为非因果记忆系统。 离散离散LTI系统作为因果系统的充分必要条件是单位序列响应为系统作为因果系统的充分必要条件是单位序列响应为因果序列，即当因果序列，即当k0， f (k)= (k) =0。系统处于零输入状态，故可将。系统处于零输入状态，故可将 (k)的作用的作用等效为系统的初始值，其等效为系统的初始值，其h(k)形式与零输入响应形式相同。即有形式与零输入响应形式相同。即有1)0(0) 1()

13、(hkahkh00)()() 1()(kkhkkahkh1) 1 (, 1)0(hh由迭代得等效初始值为由迭代得等效初始值为)()2(21) 1()(kfkykyky)()2(21) 1()(kkhkhkh例：例：某离散系统如图所示，某离散系统如图所示，求系统的单位序列响应。求系统的单位序列响应。解：解：由图可得差分方程为由图可得差分方程为当当 f (k)= (k), y(k)=h(k)时，有时，有 30 当当 k0时，有时，有02121) 1 ( , 1)0(0)2(21) 1()(hhkhkhkhkkkh)21j21)(21j21()21j21)(21j21()(21j21 ,21j212

14、1CC则则1)21j21()21j21() 1 (1)0(2121CChCCh21j21 ,21j21110 4) 1(cos)22(2)22(22)22(2214j4j4j4jkkeeeekkkkkkkCCkh)21j21()21j21()(21特征根方程为特征根方程为解的形式为解的形式为代入等效初值得代入等效初值得求得求得31三、算子法三、算子法niiinnnnmmmmEEdaEaEaEabEbEbEbEH101110111)(即即34231EEE将将H(E)分解为部分分式之和的形式，从而得到单位序列响应。分解为部分分式之和的形式，从而得到单位序列响应。求单位序列响应求单位序列响应h(k)

15、。)3)(2() 1(6)(EEEEEEH65)1(6)(2EEEEH34231)(EEEEEH所求单位序列响应为所求单位序列响应为)()2334()()(kUkkhkk) 1()2334()(kUkhkk例：例：已知某离散系统的传输算子为已知某离散系统的传输算子为解：解：32可将任意序列可将任意序列 f (k)用单位序列及其移位序列表示，即用单位序列及其移位序列表示，即根据单位序列根据单位序列 (k)及单位位移序列及单位位移序列 (k-m)的抽样性，即的抽样性，即一、离散时间信号的时域分解一、离散时间信号的时域分解7-7 离散系统时域卷积和分析法离散系统时域卷积和分析法iikifkfkfkf

16、kfkf)()( )2()2() 1() 1 ()()0() 1() 1()(可见任意离散时间信号在时域可表示为可见任意离散时间信号在时域可表示为 (ki)的线性组合。的线性组合。0)()()(iikifkf)()()()( )()0()()(mkmfmkkfkfkkf对于右单边序列有对于右单边序列有) 3() 2(2) 1(2)(4) 1(3)(kkkkkkh如图所示序列可表示为如图所示序列可表示为33)()()(NkfNkkfkiifkUkf)()()( f (k)与单位序列卷积和与单位序列卷积和 f1(k)与与f2(k)的的卷积和定义为卷积和定义为iikfifkfkf)()()()(21

17、21)()()( )()()( 2121NMkyNkfMkfkykfkf则，若交换律交换律 )()()()(1221kfkfkfkf)()()()()()()(3121321kfkfkfkfkfkfkf)()()()()()(321321kfkfkfkfkfkff (k)与与U(k)的卷积和的卷积和34)(*)()(khkfky解解：01. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky350.120.090.060.0300.080.060.040.020.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.020.04

18、0.03 0.02 0.0101. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky36 即离散时间系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应即离散时间系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。的卷积和。三、离散时间系统卷积和分析三、离散时间系统卷积和分析mmkmf)()(由于由于 (k) h(k) (k-m) h(k-m) f(m) (k-m) f(m)h(k-m) 当激励为当激励为 f (k)时，系统的零状态响应为时，系统的零状态响应为mmkhmf)()(mmkmfkf)()()()()()()()(khkfmkhmfky

19、mf37例：例：某线性时不变离散系统的单位序列响应某线性时不变离散系统的单位序列响应 ，( )( )kh ka U k解解:mmkmmkUbmUa)()(mkmmkbakUb0)(11 ()( ) 1 ()(1) ( ) kkka bbU kaba bb kU kab)()()( khkfkyf零状态响应)()()(kUbkUakykkf求当激励为求当激励为 f (k)=bkU(k)时该系统的零状态响应时该系统的零状态响应 yf (k)。384 . 06 . 024. 0) 12()(2EEEEEEEEEH解解:)()4 .0()6 .0()(kUkhkk)()() 4 . 0()()() 6

20、 . 0(kUkUkUkUkk)(4 . 01)4 . 0(1)(6 . 01)6 . 0(111kUkUkk)(1)(4 .06 .0)()()(kEEkEEEEkUkhkg例：例：。求单位阶跃响应已知)(,24. 0) 12()(2kgEEEEEH)()4 .0(32)6 .0(23625kUkk)()()(kUkhkg)(1354 .0321256 .023kEEEEEEEE39)(2) 2(2) 1(3)(kUkykykyk5 . 0) 2(, 0) 1(yy解解:23)(22EEEEH2, 121EE求零输入响应：) 1 (kkxCCky)2() 1()(211)2(2) 1(kkk

21、)()()()2(khkfkyf求零状态响应：)(2)(221)(kEEkEEEEkyf)()22()()232131(kEEEEkEEEE)()2(31)2()1(31kUkkk0)2(31)2() 1(32)()3(kkykkk全响应为例：例：求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、零状态响应和求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。全响应。221EEEE40本章要点本章要点 1、离散信号基本概念、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性定义、分类、常用离散信号特性 (k)、U(k)、ak(k)、GN(k)等等 ； 2、离散信号时域变换与运算、离散信号时域

22、变换与运算：折叠、时移、展缩、倒相；相加、相折叠、时移、展缩、倒相；相加、相乘、数乘、差分和累加和；乘、数乘、差分和累加和； 3、离散系统的基本概念、离散系统的基本概念：定义、分类、线性时不变系统的特性；定义、分类、线性时不变系统的特性； 4、时域经典法、时域经典法：差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频率及其求解方法、全响应三种分解形式；率及其求解方法、全响应三种分解形式； 5、时域卷积和法、时域卷积和法： h(k)求解方法、零状态响应卷积和计算求解方法、零状态响应卷积和计算（卷积（卷积和定义、运算规律、主要性质、计算方法）和定义、运算规律、

23、主要性质、计算方法）41练习题练习题1： ?)(),3(2)() 3() 2(313khkfkfkfkykykyky求求：解解:系系统统传传输输算算子子为为：121( )( ) 3 ( 1)(1)(1)( 1)(2)2kkh kkkU kk kU k321323311)(EEEEEEH1331233EEEEE33) 1(1)(EEEEEEH3221) 1(1) 1() 1(1EEAEAE32) 1(1) 1(3) 1(01EEEE32) 1() 1(31)(EEEEEH121( ) 3 ( 1)(1)( 1) ( )2kkkkk kU k42练习题练习题2：图示两个子系统级联组成一个系统，其中

24、图示两个子系统级联组成一个系统，其中 ) 2() 1(3)(),1(6 . 04 . 0kxkykykfkfkx解解:系系统统传传输输算算子子为为：单单位位序序列列响响应应：) 1(6 . 0)(4 . 0)(1kkkh116 . 04 . 0)(EEH12231)(EEEH) 3() 3 ( 6 . 0) 2() 3 ( 4 . 0)(32kUkUkhkk分别求两个子系统和级联组成系统的单位序列响应。分别求两个子系统和级联组成系统的单位序列响应。)()()(21EHEHEH12131)6 . 04 . 0 (EEE) 2(3)(22kUkhk23EEE23) 6 . 04 . 0 (EEE)

25、 2() 3 ( 6 . 0) 2(2 . 0)(2kUkkhk) 3() 3 ( 8 . 1) 2(4 . 0)(3kUkkhk) 1() 3 ( 2 . 0) 2(2 . 0) 1(2 . 0)(1kUkkkhk43练习题练习题3：图示两个系统，它们分别由几个子系统一个，其中图示两个系统，它们分别由几个子系统一个，其中 )()8 . 0()(),3()(,321kUkhkkhkUkhk证明证明:单位序列响应：)(*)(*)(*)()(*)(*)()()(32131khkhkhkfkhkhkfkya) 3()8 . 01 ( 5)()8 . 01 ( 5)(21kUkUkhkk证明两个系统是

26、等效的，并求单位序列响应。证明两个系统是等效的，并求单位序列响应。)(*)(*)(*)()(*)(*)()()(23131khkhkhkfkhkhkfkyb)(*)(*)(*)()(*)(*)()(32131khkhkhkkhkhkkh)()8 . 0(*)3(*)()()8 . 0(*)(kUkkUkUkUkk可见两个系统等效可见两个系统等效44 练习题练习题4： 00)(),1(2281141kkykUkUkykyky解解:081412EE41,2121EE时时域域经经典典法法：) 1 (kkCCky)41()21()(210递递推推可可得得：27)1 (, 2)0(yy0)41(152)

27、21(38524)(kkykk响响应应为为Bkyt)(524)()()(0kykykyt524)41()21(21kkCC252421CC有有27524)41()21(21CC381C1522C45练习题练习题5： 00)(),1(2281141kkykUkUkykyky解解:时时域域卷卷积积和和法法：)2()( )41(152)21(38524)(kUkykk)()41(32)21(38)(kUkhkk )()(),1(2281141kUkfkfkfkykyky211814112)(EEEEH8141222EEEE)41)(21(22EEEE)41(32)21(38EEEE)(*)()(kh

28、kfky传传输输算算子子：单单位位序序列列响响应应：46练习题练习题6： 00)(),1(2281141kkykUkUkykyky解解:利利用用线线性性时时不不变变性性法法：)3() 1()41(152)21(38524)(2)(kUkkykk)()41(151)21(3258)(1kUkykk kUkykyky281141111) 1()(2)(11kykyky)()41(151)21(32582kUkk)( )41(152)21(38524kUkk)1()41(151)21(325811kUkk47练习题练习题7： 00)(, 222kkykkkyky解解:012E1, 121EE)2()

29、 1(1 21)(1kUkyk的单根，故特解形式为因特征根含有等于11)1 (, 2)0(22yy)()()(21kykyky响响应应为为kBkBkyt)(01241,2110BB)()()(2202kykykytkkCCky) 1() 1 ()(21202)0(212CCy141) 1 (212CCy8111C852C) 2() 2()( ) 1 (11kkyky)() 2() 2()( ) 2(22kUkkykykkCCk2141) 1(212)2()2(0101kkBkBkBkBkkkyt2141)(202141) 1(85811)(22kkkkyk有：代入方程),2() 2(24) 1(8187) 1()(22kUkkkkk