2011信号与系统第4章.ppt

1、14.1 引言引言第四章第四章 连续系统频域分析连续系统频域分析对于周期信号对于周期信号f (t)，有，有10)cos()(nnntnAAtftnnnFje22jde)(1TTtnnttfTF 频域分析就是应用频域分析就是应用傅立叶变换把系统的激励和响应关系从时域变傅立叶变换把系统的激励和响应关系从时域变换到频域来研究换到频域来研究，从时间变量，从时间变量 t 转换成处理频率变量转换成处理频率变量 ，从求解系统的微，从求解系统的微分方程转化为解代数方程，通过响应的频谱函数来研究响应信号的频谱分方程转化为解代数方程，通过响应的频谱函数来研究响应信号的频谱结构和系统的频率响应及其功能。结构和系统的

2、频率响应及其功能。de)j (21)(j tFtfttfFtde)()j (j对于非周期信号对于非周期信号f (t)，有，有24.2 系统对非正弦周期信号的响应系统对非正弦周期信号的响应对于一个单位冲激响应为对于一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，若激励信号为的线性时不变系统，若激励信号为)( je)j(tH一、基本指数信号通过线性系统一、基本指数信号通过线性系统ttfje)(de)(e de)()(e)(jj)(jjhhthtytttftHje)j ( H(j )= | |H(j )| |ej ( )是系统单位冲激响应是系统单位冲激响应h(t)的傅立叶变换，它是的傅立叶变换，它是一个

3、与时间无关的频域函数，称为一个与时间无关的频域函数，称为系统频率特性或系统函数。系统频率特性或系统函数。则系统的零状态响应为则系统的零状态响应为 基本信号基本信号ej t通过线性时不变系统时，其零状态响应就是用基本通过线性时不变系统时，其零状态响应就是用基本信号信号ej t 乘以系统函数乘以系统函数H(j )。3tAtfcos)(二、周期信号通过线性系统二、周期信号通过线性系统)(2jjtteeAttttfeHAeHAeeHAtyjjjj)j(2)j (2)(j (2)()(cos)j (tHA 所以，所以，线性系统对正弦信号激励的响应为与激励同频率线性系统对正弦信号激励的响应为与激励同频率的

4、正弦量，其振幅为激励的振幅与系统函数的正弦量，其振幅为激励的振幅与系统函数H(j )模值之乘模值之乘积，其相位为激励的初相与系统函数积，其相位为激励的初相与系统函数H(j )相位之和。相位之和。此时系统的零状态响应为此时系统的零状态响应为其中其中)(je)j ()j ()j (HHH1. 正弦信号正弦信号4对于周期为对于周期为T的非正弦周期信号的非正弦周期信号 f (t )，可展成，可展成tnnnFtfje)(2. 非正弦周期信号非正弦周期信号)(j)(je)j ()j ( ,ennnnnHnHFF式中，此时系统的零状态响应为此时系统的零状态响应为ntnnfenHFtyj)j ()(nnntn

5、nenHF)()(j)j (10)()(cos)j (2nnnntnnHFF 因此，当周期信号因此，当周期信号 f (t) 作用于作用于线性系统时线性系统时, 其零状态响应其零状态响应 yf (t) 仍为一仍为一周期信号，其周期和周期信号，其周期和 f (t) 的周期相同的周期相同, 只是振幅比相应指数型傅里叶级数只是振幅比相应指数型傅里叶级数扩大了扩大了H(jn )倍。倍。5结论：结论：响应频谱和激励信号的频谱一样，也是由冲激序列响应频谱和激励信号的频谱一样，也是由冲激序列 ( n )组组成成, 只是响应频谱的只是响应频谱的冲激强度被系统函数加权。冲激强度被系统函数加权。对于周期信号对于周期

6、信号)j ()( )j ()(HthFtf)()()(thtfty)j ()j ()j (HFYntnneFnTtftfj)()()(2)j (nFFnnnnnnHFY)()j(2)j(nHnH)j ()j (其中，6(a)(b)解解: j11)j (Hrad/s12 T其中tttttu7cos725cos523cos32cos2)(或：)()(tUetht当当u(t)= (t)时时, 电路的冲激响应为电路的冲激响应为故故电路的系统函数为电路的系统函数为将激励电压信号展成级数可表示将激励电压信号展成级数可表示为为nntenntuj)2sin(1)(7) 3arctan3cos(j31132)

7、1arctancos(j112)(ttti)69.785cos(08. 0)56.713cos(21. 0)45cos(2 tttnnnnHFI)()j (2)(nnnnn)(j11)2sin(12nnnnI)(12)j (284.3 系统对非周期信号的响应系统对非周期信号的响应 非周期信号通过线性系统的响应与周期信号有所不同。非周期信号通过线性系统的响应与周期信号有所不同。由于非周期信号对系统的激励是有确定时间的，所以对于零由于非周期信号对系统的激励是有确定时间的，所以对于零状态系统，其零状态响应中既有稳态分量，也有随时间衰减状态系统，其零状态响应中既有稳态分量，也有随时间衰减的暂态分量。若

8、系统初始状态不为零，则其响应还应包含零的暂态分量。若系统初始状态不为零，则其响应还应包含零输入响应分量。输入响应分量。)j ()(1YFty根据时域卷机定理可得根据时域卷机定理可得)()()(thtfty)j ()j ()j (HFY 当线性时不变系统的单位冲激响应为当线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，激励为，激励为 f (t)时，时，系统的零状态响应为系统的零状态响应为于是系统的零状态响应为于是系统的零状态响应为9某线性时不变系统的单位冲激响应某线性时不变系统的单位冲激响应h(t)=(e-2te-3t )U(t)，求激励信号求激励信号 f (t)=e-tU(t)时系统的零状态响应时系统

9、的零状态响应 y(t) 。解：解：j31j21)j (Hj11)j (F)j ()j ()j (FHYj32/1j21j12/1)()2121()(32tUeeetyttt)j31j21(j1110解：解：)j ()j ()j (HFY例：例：求图示电路的单位阶跃响应。求图示电路的单位阶跃响应。j1)()()j (tUFF(a)j1jj1)(j)(j)j (RCRFYH为电路时间常数 , s5 . 0 RCj1)(j1j)()()(2tUetUetyttj111)j ()j ()j (HFY(b)j11j1j1)(j)(j)j (RCCFYHj1)(j11)()1 ()()1 ()(2tUet

10、Uetytt)j(1j1)(j11j1)(124.4 频域系统函数频域系统函数一、系统函数定义一、系统函数定义deHthtj)j (21)()()()(jFjYjH二、二、H(j )的物理意义的物理意义tfHtyje )j ()()()( )()(jYtyjFtf)()j (thFHH(j )是系统单位冲激响应是系统单位冲激响应h(t)的频谱函数。的频谱函数。H(j )是将是将h(t)分解为无穷多个指数信号之和时，与其相应的频谱密度分解为无穷多个指数信号之和时，与其相应的频谱密度函数。函数。H(j )是当激励为是当激励为ej t时系统零状态响应的加权函数。时系统零状态响应的加权函数。13dte

11、thjHtj)()()()()(jFjYjH（1）给定激励）给定激励 f (t)与零状态响应与零状态响应 y(t)时，根据定义求解，即时，根据定义求解，即)()()(jHjFjYj)()j (ppHH三、三、H(j )的求法的求法（2）当已知系统单位冲激响应）当已知系统单位冲激响应 h (t)时，由傅里叶变换定义求解，即时，由傅里叶变换定义求解，即（3）当给定系统的数学模型）当给定系统的数学模型(微分方程微分方程)时，用傅里叶变换法求解。时，用傅里叶变换法求解。（4）当给定系统的电路模型时，用相量法求解。）当给定系统的电路模型时，用相量法求解。也可用算子法求解，即也可用算子法求解，即14例：例

12、：求图示电路中以求图示电路中以i2(t)为响应时的系统函数为响应时的系统函数H(j )。j3)2(12)j ( 3)j (1)j ()j ()j (22FYH作出电路对应的频域模型作出电路对应的频域模型，根据相量分析法得，根据相量分析法得LRLIIHjj)j (2)j ()j (2)j (3)j(2FY对方程两边进行傅里叶变换对方程两边进行傅里叶变换, 并根据时域微分性质得并根据时域微分性质得解：解：)()(2)(3)(tftytyty 例：例：已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为 求系统函数求系统函数H(j )。解：解：15arctan)(H(j )是表征是表征系统特征的重要物理

13、量系统特征的重要物理量四、系统频率特性四、系统频率特性)(je)j ()j (HHj11)j (UUHR:)j (H: )(系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统相频特性：响应与激励信号相位差系统相频特性：响应与激励信号相位差例：例：求图示电路中以求图示电路中以uR(t)为响应时的系统函数为响应时的系统函数H(j ), 并画出频率特性曲线。并画出频率特性曲线。解：解：根据相量分析法得根据相量分析法得系统的幅频特性为系统的幅频特性为211)j (H系统的相频特性为系统的相频特性为16例：例：图示系统，激励图示系统，激励 f (t)和系统的频率特性如图所示，相频特

14、性和系统的频率特性如图所示，相频特性 ( )=0,求系统的零状态响应求系统的零状态响应 y(t)。解：解：tnnneFtfj)(22T210FntdtTFtnn2je110j五、系统频率分析应用举例五、系统频率分析应用举例由于激励为周期信号，故系统零状态响应仅含稳态响应。由于激励为周期信号，故系统零状态响应仅含稳态响应。其中其中17)()()(jHjFjY f (t)的频谱函数为的频谱函数为)(2)(nFjFnn)2(j)(2)2(jtteety2j2j2j2j1)(t2sin11)2(j)()2(j11nnnnnn则系统的响应为则系统的响应为18图示系统，图示系统， H(j )的幅频特性如图

15、所示，的幅频特性如图所示，相频特性相频特性 ( )=0，已知：已知：解：解：。 1000cos)(ttsx(t),22sin)(tttf)1000()1000()j (S)2(4)(4SatG)2(122sin)(tSatttf)()()(tstftx)(21)j (4GF求零状态响应求零状态响应 y(t) 。设乘法器的输出为设乘法器的输出为x(t)，则，则由频域卷积定理得由频域卷积定理得)j ()j (21)j (SFX)1000()1000(4144GG19x(t)的频谱如图的频谱如图)j ()j ()j (XHY)j (41H)1000(41)1000(4122GGtttty1000co

16、ssin21)()1000()1000()(412G)1000()1000()(21212G)1000()1000(1000cost)(22sin2Gtt20一、信号传输失真一、信号传输失真4.5 信号传输失真及无失真传输条件信号传输失真及无失真传输条件)j()j(j)j(j)j ()j ()j (HFYeHFeY)j ()j ()j (HFY)j ()j ()j (HFY 与此同时与此同时, 系统对输入信号的相位也增加了一个附加相移系统对输入信号的相位也增加了一个附加相移H(j ), 改变了输入信号中各频率分量之间的相对相位关系。改变了输入信号中各频率分量之间的相对相位关系。 系统对信号的模

17、和相位的改变在信号传输中是所不希望的，此时系统对信号的模和相位的改变在信号传输中是所不希望的，此时系统产生失真，这种失真包括幅度失真和相位失真。系统产生失真，这种失真包括幅度失真和相位失真。 系统使得输入信号的频谱幅度发生了改变，乘了一个系统频率响应系统使得输入信号的频谱幅度发生了改变，乘了一个系统频率响应的模，系统频率响应的模的模，系统频率响应的模|H(j )|通常称为系统的增益。通常称为系统的增益。)j ()j ()j (HFY 对于一个频率响应为对于一个频率响应为H(j )的系统的系统, 当输入信号的傅里叶变换为当输入信号的傅里叶变换为F(j )时时, 系统响应的傅里叶变换为系统响应的傅

18、里叶变换为21二、信号无失真传输及其条件二、信号无失真传输及其条件 信号的无失真传输，从时间域来说，就是要求系统输出响应的波形信号的无失真传输，从时间域来说，就是要求系统输出响应的波形应当与系统输入激励信号的波形完全相同，而幅度大小可以不同，时间应当与系统输入激励信号的波形完全相同，而幅度大小可以不同，时间前后可以有所差异，即：前后可以有所差异，即：)( )(0ttfktyk为与为与t无关的实常数，称为波形幅度衰减比例系数；无关的实常数，称为波形幅度衰减比例系数；t0为延为延迟时间。迟时间。)(tf)(ty线性系统线性系统)()()(thtfty)( )(0ttkth可得系统的单位可得系统的单

19、位冲激响应为冲激响应为22从频域来看信号的无失真传输从频域来看信号的无失真传输0j)j (tkeH0j)j ()j (tekFY)j ()j ()j (HFY由于由于则无失真传输的系统函数为则无失真传输的系统函数为0)( ,)j (tkH(1) 系统的幅频特性在整个频率范围内应为常数系统的幅频特性在整个频率范围内应为常数k，即系统，即系统的通频带宽为无穷大的通频带宽为无穷大;进行傅里叶变换得对)( )(0ttfkty即即(2) 系统的相移在整个频率范围内应与系统的相移在整个频率范围内应与 成正比成正比，即系统对，即系统对所有频率分量都延迟所有频率分量都延迟t0 。23三、群时延三、群时延 无失

20、真传输系统的一个要求是系统应具有线性相位。这个相位不仅无失真传输系统的一个要求是系统应具有线性相位。这个相位不仅应是频率的线性函数，而且还应通过坐标原点。应是频率的线性函数，而且还应通过坐标原点。 实际上，很多系统仅具有近似线性相位关系。判定系统实际上，很多系统仅具有近似线性相位关系。判定系统相位线性度的一种常用方法就是求系统频率响应相位线性度的一种常用方法就是求系统频率响应H(j )的相位的相位函数函数H(j )的斜率。的斜率。 如果这个斜率不是常数，则时延随频率而变化，即信号如果这个斜率不是常数，则时延随频率而变化，即信号的不同频率分量具有不同的时延的不同频率分量具有不同的时延( (常称为

21、色散常称为色散) )，其结果是系，其结果是系统的输出波形不同于输入波形。统的输出波形不同于输入波形。 在通信系统中，通常传输信号的频谱是在载频在通信系统中，通常传输信号的频谱是在载频 0附近的附近的很小的范围，并且频带宽度很小的范围，并且频带宽度BW与载频与载频 0之比远小于之比远小于1，这种，这种系统称为系统称为窄带带通系统窄带带通系统。对带通系统，无失真传输的条件可。对带通系统，无失真传输的条件可以稍微放宽一点。以稍微放宽一点。24 低通系统的无失真传输的相位条件不仅是线性的，而且还要通过坐低通系统的无失真传输的相位条件不仅是线性的，而且还要通过坐标原点。对带通系统，相位特性在所关心的频带

22、内必须是线性的，但不标原点。对带通系统，相位特性在所关心的频带内必须是线性的，但不必通过坐标原点。必通过坐标原点。 在每个频率上的群时延就等于在该频率上相位特性的斜在每个频率上的群时延就等于在该频率上相位特性的斜率的负值，即群时延定义为率的负值，即群时延定义为gtH0)j (gteHFYjj0)j ()j ()j ()j (dd)(Htg 系统对窄带输入信号的频谱的作用由两部分组成：对应系统对窄带输入信号的频谱的作用由两部分组成：对应于于| |H(j )| |的幅度部分，乘以恒定的复数因子的幅度部分，乘以恒定的复数因子 ( (对应于载对应于载波的时延波的时延) )；对应于时延；对应于时延 tg

23、的的线性相移项线性相移项 ，时延，时延 tg称为系统称为系统在在 = 0的群时延。的群时延。0jegtej25四、信号的失真类型四、信号的失真类型系统输出中出现了输入信号中所没有的新的系统输出中出现了输入信号中所没有的新的频率分量频率分量非线性失真非线性失真线性失真线性失真系统输出中不会出现输入信号中所没有的新的系统输出中不会出现输入信号中所没有的新的频率成分频率成分 当当H(j )不等于常数不等于常数k时引起的失真时引起的失真称为称为振幅失真振幅失真。振幅。振幅失真的原因在于系统对激励信号所以频率分量的振幅衰减不失真的原因在于系统对激励信号所以频率分量的振幅衰减不是均等的。是均等的。 当当

24、( ) t0时所产生的失真称为时所产生的失真称为相位失真相位失真。相位失真是。相位失真是因为各频率分量的相移不满足线性规律从而致使各次谐波间因为各频率分量的相移不满足线性规律从而致使各次谐波间相对位置发生了变化。相对位置发生了变化。26例例: 如如图所示系统，若要求不失真传输，试求图所示系统，若要求不失真传输，试求R1和和R2的值。的值。解：解：)1( j)()( j) 1()j (211221RRRRRRHAjH)(若要求系统不失真传输，则若要求系统不失真传输，则121RR)j ()j1()j()j1)(j()j (2121FRRRRY作出电路对应的频域模型作出电路对应的频域模型，根据相量分

25、析法得根据相量分析法得可得可得此时此时0)( , 1)j (H27cctjkeH0 j0 0t C 为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。在在0 C 的低频段内，传输信号无失真。的低频段内，传输信号无失真。 4.6 理想低通滤波器及其响应理想低通滤波器及其响应滤波器：滤波器：ccjH01分类：分类：)(2cG28dejHthtj)(21)(ccdekettjj02100jj0eej211ttttccttk)()(sin00ttttkccc)(0ttSakcc )(0ttSakthcc或或0j2)(jtekGHc)()(2cGtSacc0j20)()(tcc

26、ekGttSakc291、h(t)与与 (t)比较，严重失真；比较，严重失真；2、h(t)为抽样函数，最大值为为抽样函数，最大值为 c/ ；3、滤波器限制输入信号高频成分；、滤波器限制输入信号高频成分；4、 t 0时，时，h(t) 0 非因果系统，非因果系统，理想低通滤波器是物理不可实现；理想低通滤波器是物理不可实现；（实际低通滤波器通过逼近实现）（实际低通滤波器通过逼近实现）当当 c 时，系统将失去低通滤波特时，系统将失去低通滤波特性，而变成一个无失真传输系统。性，而变成一个无失真传输系统。其特性就接近于理想低通其特性就接近于理想低通滤波器。滤波器。如图所示就是一个二阶低通滤波器。若如图所示

27、就是一个二阶低通滤波器。若,1 ,2LCCLRc30 j1)j (F0j2)(j1)(tekGcccttekeYFtgdj1)(21)j ()(jj10dekkttcc)(j0j122)(2)(0ttSikktgC)j ()j ()j (HFY0j2)()j (tekGHcd)(sin200cttkkxxxySiydsin)(0 xxxkkttcdsin2)(0031单位阶跃响应讨论：单位阶跃响应讨论：2上升时间：响应由最小值到最大值所经历的时间，记作上升时间：响应由最小值到最大值所经历的时间，记作 Btcr12ccfB2 带宽：3阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。阶跃响应上升时间与系统带宽成

28、反比。理想低通滤波器的单位阶跃响应为理想低通滤波器的单位阶跃响应为4理想低通滤波器是一个非因果系统和不可实现系统理想低通滤波器是一个非因果系统和不可实现系统。)(2)(0ttSikktgC当当 c 时，系统将失去低通滤波特性，而变成一个无失真传输系统。时，系统将失去低通滤波特性，而变成一个无失真传输系统。32)()()(tUtUtf)()(1)(00ttSittSityCC121)()(0）（经系统ttSitgtUC)()()(tgtgty33解：解： 输入信号f (t)的傅里叶变换为 )()()4(44sin)(8PjFtSatttf于是则 例：例： 低通滤波器的频率特性为H(j)=P2()

29、，当输入信号 时，求响应y(t)。当输入周期为1，幅度为1的锯齿波时，求响应y(t)。 tttf4sin)( )(sin tSatt)()()()()()(282PPPjHjFjY34输入信号f (t)的频谱为 njdte tdtetfTnFtjntjnT2 )(1)(001000而则 于是21)()()(000tjnnejnHnFty)()()(2)()()(000njnHnFjHjFjYn2 21)0(0F)()(2)(00nnFjFn35 理想低通滤波器在物理上是不可实现的，然而传输特性接近于理想理想低通滤波器在物理上是不可实现的，然而传输特性接近于理想特性的滤波系统却不难构成。特性的滤

30、波系统却不难构成。d1)j (ln2H五、系统的物理可实现性及佩利五、系统的物理可实现性及佩利-维钠准则维钠准则1. 1. 时域准则时域准则 一个物理可实现系统的冲激响应一个物理可实现系统的冲激响应h(t)在在t0时必须为零，时必须为零，即即h(t)应该是因果信号应该是因果信号2. 频域准则频域准则(Paley-Wiener criterion)0 0)(tth H(j )物理可实现的必要条件是物理可实现的必要条件是 而且，而且， | |H(j )| |必须是平方可积的，即必须是平方可积的，即d)j (2H36 可见，滤波器的设计问题实际上是研究如何选择一个可见，滤波器的设计问题实际上是研究如

31、何选择一个|H(j )|，使它既要逼近所要求的，使它既要逼近所要求的|H(j )|，又能在物理上可，又能在物理上可以实现。以实现。 不满足佩利不满足佩利-维纳准则，系统是不可实现的。但该准则维纳准则，系统是不可实现的。但该准则只是从系统幅频特性提出要求，而在相位特性上却没有给出只是从系统幅频特性提出要求，而在相位特性上却没有给出约束。因此，该准则是系统物理可实现的必要条件，而不是约束。因此，该准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。充分条件。 如果如果H(j )已被检验满足此准则，还必须找到适当的相已被检验满足此准则，还必须找到适当的相位函数位函数 ( )与与|H(j )|一起构成一个

32、物理可实现系统的系统函一起构成一个物理可实现系统的系统函数。数。 |H(j )|可以在某些离散点上为零，但不能在一有限频带可以在某些离散点上为零，但不能在一有限频带内为零。这是因为在内为零。这是因为在H(j )=0的频带内，的频带内，ln|H(j )|= 。374.7 抽样信号与抽样定理抽样信号与抽样定理一、带限信号和抽样信号一、带限信号和抽样信号 m称为信号称为信号f (t)的最高频率。的最高频率。 除了连续时间信号以外，还有离散时间信号，离散时间信号仅在离除了连续时间信号以外，还有离散时间信号，离散时间信号仅在离散时刻才有定义。实际工程中，大多数离散信号是从每隔一定时间对连散时刻才有定义。

33、实际工程中，大多数离散信号是从每隔一定时间对连续信号进行抽样而获得的。续信号进行抽样而获得的。 实际工程中，对于脉冲信号，若忽略起其占有频带之实际工程中，对于脉冲信号，若忽略起其占有频带之外的频率分量，则脉冲信号也可视为带限信号。外的频率分量，则脉冲信号也可视为带限信号。m 0)j (F 带限信号带限信号 f (t) 是指其频谱宽度有限的信号，即频谱函数是指其频谱宽度有限的信号，即频谱函数F(j )满足满足以下只讨论带限信号的抽样问题。以下只讨论带限信号的抽样问题。38 抽样序列抽样序列s(t)也称为也称为开关函数开关函数。若其时间间隔相同，均。若其时间间隔相同，均为为Ts，则称均匀抽样。，则

34、称均匀抽样。 Ts称为称为抽样周期抽样周期， fs=1/Ts称为称为抽样抽样频率频率， s=2 fs称为称为抽样角频率抽样角频率。 抽样信号是指利用抽样序列抽样信号是指利用抽样序列s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列离散样值而得到的离散信号，也称为取样信号，用一系列离散样值而得到的离散信号，也称为取样信号，用fs(t)表示。有表示。有)()()(tstftfs39二、抽样信号二、抽样信号fs(t)的频谱的频谱其频谱函数其频谱函数 如果抽样序列如果抽样序列 s (t) 是周期冲激函数序列是周期冲激函数序列 ，即，即)(tsT1. 均匀冲激抽样均匀冲激抽样nsTnTtttss

35、)()()(nsnS)()j (s)()()()()(ttftstftfsTsnssnFSFF)()j (21)j ()j (21)j (s 设设Ff(t)=F(j )，根据频域卷积定理，抽样信号的频谱，根据频域卷积定理，抽样信号的频谱函数为函数为sT2s40nsnssnFTnFF)( j 1)( j 2)j (ss 当当 s2 m时，抽样信号时，抽样信号fs(t)的频谱函数的频谱函数Fs(j )是原信号是原信号f(t)的频谱函数的频谱函数F(j )的周期性重复，每隔的周期性重复，每隔 s重复出现一次。重复出现一次。因此因此fs(t)中含有中含有f(t)的全部信息，可从的全部信息，可从fs(t

36、)恢复原信号恢复原信号f(t)。均。均匀冲激抽样也称为理想抽样。匀冲激抽样也称为理想抽样。41其频谱函数其频谱函数 如果抽样序列如果抽样序列 s (t) 是周期矩形脉冲序列，即是周期矩形脉冲序列，即nsTnTtGtptss)()()(2. 矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样(自然抽样自然抽样)sTnsssnnSaS)()2()j ()()()()()(tptftstftfsTsnssssnnSaFSFF)()2()j (21)j ()j (21)j ( 设设Ff(t)=F(j )，根据频域卷积定理，抽样信号的频谱，根据频域卷积定理，抽样信号的频谱函数为函数为 )( j )2(nsssnFnSaT42 当

37、当 s2 m时，抽样信号时，抽样信号fs(t)的频谱函数的频谱函数Fs(j )是原信号是原信号f(t)的频谱函数的频谱函数F(j )的无限个频移组成，其频移的角频率为的无限个频移组成，其频移的角频率为n s，其振幅随，其振幅随 变化变化。)2(SaTs 当当 stm时时, f (t)=0 2) 抽样间隔抽样间隔 s / /tm四、频域抽样定理四、频域抽样定理 一个持续时间有限信号一个持续时间有限信号 f (t)的频谱的频谱F (j ) ，可用均匀的抽样值，可用均匀的抽样值F (jn s)唯一确定，其抽样间隔唯一确定，其抽样间隔 （或（或 ）。）。mstf21mst根据时域于频域的对偶性，可得频

38、域抽样定理为：根据时域于频域的对偶性，可得频域抽样定理为： 若从若从 fs(t) 恢复恢复 f(t)，可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个，可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。脉冲就可无失真地恢复原信号。 51 什么是调制什么是调制(modulation)？ 调制就是用一个信号去控制另一信号的某一参数(振幅、频率、相位等)的过程。4.8 调制与解调调制与解调 为什么要调制呢？为什么要调制呢？ 一是信号不能直接以电磁波的形式辐射到空间去进行一是信号不能直接以电磁波的形式辐射到空间去进行远距离传输。远距离传输。因为只有当天线尺寸与辐射信号的波长可以比拟时，因为只有当

39、天线尺寸与辐射信号的波长可以比拟时，信号才能有效地辐射出去。而信号频谱中主要分量频率都较低，与其信号才能有效地辐射出去。而信号频谱中主要分量频率都较低，与其相应的波长达几十千米，这样的天线是无法实现的。相应的波长达几十千米，这样的天线是无法实现的。 二是如果不调制，辐射出去的信号将相互干扰。二是如果不调制，辐射出去的信号将相互干扰。这样接这样接收者就无法选出所需要的信号。同时，调制还可以多路复用。收者就无法选出所需要的信号。同时，调制还可以多路复用。 在接收端，通过解调把已调制的载波信号中的有用信号恢复出来。在接收端，通过解调把已调制的载波信号中的有用信号恢复出来。52一、一、 幅度调制幅度调

40、制(Amplitude-modulation, AM) 设调制信号为设调制信号为f (t)，载波信号为，载波信号为Acos 0t，则幅度调制后，则幅度调制后的已调信号可表示为的已调信号可表示为 幅度调制就是用低频信号去控制高频信号的幅度，使其幅度按照控制信号的规律变化。低频控制信号又称为调制信号，高频被控制信号又称为载波信号(carrier signal)。若若)()( ),()(jYtyjFtf则则)()(2 )()()(2)(0000jFjFAjFAjYttAfty0cos)()(53 可见，可见，调幅的过程就是频谱搬移的过程。调幅的过程就是频谱搬移的过程。经调制后，调经调制后，调制信号的

41、频谱一分为二地分别搬移到载波频率制信号的频谱一分为二地分别搬移到载波频率 0和和 0的两的两旁。由于实信号旁。由于实信号f (t)的振幅谱总是对称的，所以在的振幅谱总是对称的，所以在 0和和 0的的两旁已调波有一对称的边带两旁已调波有一对称的边带 0 m和和 0 m ，因此，因此 y (t)又叫又叫双边带调制信号双边带调制信号(two-sideband modulation signal)。 调幅信号可用乘法器来产生。调幅信号可用乘法器来产生。 设设 f (t)的带宽为的带宽为 m，且，且 0 m，则其频谱如下：，则其频谱如下：54二、二、 幅度解调幅度解调 由于由于已调信号已调信号y(t)再

42、次与载波再次与载波cos 0t相乘，得到相乘，得到 由已调制高频信号由已调制高频信号y(t)恢复原恢复原调制信号调制信号f (t)的过程称为解的过程称为解调。调。其频谱为其频谱为)2()2(4)(2)(00jFjFAjFAjG)2cos2121)(cos)(cos)()(0020ttAfttAfttytx 幅度调制是利用乘法器将幅度调制是利用乘法器将f (t)的的频谱搬移到载波频率附频谱搬移到载波频率附近，解调就应将已调制的近，解调就应将已调制的y(t)的频谱搬移回到的频谱搬移回到f (t)的频谱位置的频谱位置，这也可以用乘法器来实现这也可以用乘法器来实现。55 让让g(t)再通过一个低通滤再

43、通过一个低通滤波器，其截止频率选为波器，其截止频率选为 m c 2 0 m, 这样这样解调器输出信号解调器输出信号x(t)的频谱为的频谱为)(2)()()(jFAkjHjGjXH(j )k c c)(2)(tfAktx于是于是 即解调器输出信号即解调器输出信号x(t)正比于调制信号。由于在解调器中正比于调制信号。由于在解调器中振荡器的载波信号与调制器中的振荡器的载波信号与调制器中的载波信号同频同相，因此，这载波信号同频同相，因此，这种解调又称种解调又称同步解调同步解调(synchronous demodulation)。56例：例：已知某线性时不变已知某线性时不变系统的系统函数为系统的系统函数

44、为2212100) 1j (2 j)j ()j ()j (UUH解：解： ttttu99cos21101cos21100cos)(1求调幅信号求调幅信号u1(t)=(1+cost)cos100t作用于此作用于此系统时的稳态响应系统时的稳态响应u2(t)。考虑到考虑到u1 (t)频率范围仅在频率范围仅在 =100附近，取近似条件附近，取近似条件 +100 2 ，则有，则有2210012 j)j (2 j)j (H)100)(100(j22)100( j11)j (H三、调幅信号作用于线性系统三、调幅信号作用于线性系统57可见，系统频率特性可见，系统频率特性H(j )使响应信号的两个边频分量使响应

45、信号的两个边频分量cos99t和和cos101t相相对于载波分量对于载波分量cos100t有所削弱，在相位上分别产生了有所削弱，在相位上分别产生了4545的相移。的相移。 )4599cos(22)45101cos(2221100cos)(2ttttu因为因为所以响应所以响应u2 (t)的表达式为的表达式为,e22)99 j ( ,e22)011 j ( , 1)001 j (45j45jHHH)45cos()100cos(22100costtt)100( j11)j (H)100cos()45cos(221 tt58例：例：在图在图(a)所示所示的抑制载波振幅调制接收系统中，低通滤波的抑制载波

46、振幅调制接收系统中，低通滤波器的器的频率特性如频率特性如图图(b)所示所示 ( )=0。求求输输出出，若若。求求输输出出，若若)( 50sin)sin()( )2()( 50cos)sin()( ) 1 (22tyttttftyttttf解：解： 设通过低通滤波器设通过低通滤波器H( j )前的前的信号为信号为x (t)，则，则ttftx50cos)()(x(t)59(1)100cos1 ()sin(2150cos)sin(50cos)()(222ttttttttftx因因)()(2)()()sin(222GGtSatSatt而而0 , 2 2)()(22时为其它GG则则)100()100()

47、100()100(8)()(4)100cos1 ()sin(21)(2222222GGGGGGttttx其频谱如图其频谱如图60(2)2)sin(21)(ttty则则H(j)12 24)()()(jHjXjYtttttttttftx100sin)sin(2150cos50sin)sin(50cos)()(22H(j)1则则0)()()(jHjXjY0)(ty即即61本章要点：本章要点： 1、信号通过系统的响应求解信号通过系统的响应求解: 周期信号、非周期信号通过线性系统的周期信号、非周期信号通过线性系统的响应。响应。 2、频域系统函数频域系统函数H(j ):定义、物理意义、求解方法、系统频率特

48、性；定义、物理意义、求解方法、系统频率特性； 3、理想低通滤波器及其传输特性：理想低通滤波器及其传输特性：cctjoejH0)( 4、信号传输不失真条件：信号传输不失真条件： 时域条件：时域条件：h(t)=K (t-to) 频域条件频域条件: H(j )=Ke-j to 5、抽样信号与抽样定理抽样信号与抽样定理 6、调制与解调调制与解调62时域与频域分析对比时域与频域分析对比t 域域 域域分析变量分析变量基本信号基本信号系统特性系统特性激励分解激励分解响应分解响应分解时间变量时间变量频率变量频率变量 (t)e-j th(t)H(j )dtftf)()()(dejFtftj)(21)(dthft

49、y)()()(dejYtytj)(21)(dtetfjFtj)()()()()(jHjFjY系统分析系统分析突出信号与系统的时间特性突出信号与系统的时间特性突出信号与系统的频率特性突出信号与系统的频率特性63例例1：图示电路，图示电路，f (t)=10et+2 U(t)，求关于，求关于i(t)的单的单位冲激响应位冲激响应h(t)和零状态响应和零状态响应i(t) 。2 j41)()()(jFjIjH1)( 2110)j (jjF而解：解：)()()(jHjFjI2 j412)(2j110jj121)(2j152211j)()521121()(2tUeetitt)j5 . 0241()(2)j15

50、2410(jj)(21)(2tUetht64例例2: 图示系统，若要求不失真传输，求电阻与电容参数关系。图示系统，若要求不失真传输，求电阻与电容参数关系。解：解：222111222j1j1j1)j (RCRRCRRCRH若要求不失真传输，则若要求不失真传输，则2211j1j1RCRC2211RCRC作出电路对应的频域模型作出电路对应的频域模型，根据相量分析法得根据相量分析法得)j (j1)j1 (j1)j1 (j1)j1 ()j (222211112222FCRCRCRCRCRCRY65若能无失真传输，其条件为什么？若能无失真传输，其条件为什么？，能能否否无无失失真真传传输输？图图示示电电路路