2011信号与系统第3章.ppt

1、1 在连续信号的时域分析中，是把信号表示为时移冲激在连续信号的时域分析中，是把信号表示为时移冲激信号的线性组合，然后通过卷积分析法来求解的。信号的线性组合，然后通过卷积分析法来求解的。 在连续信号的频域分析中，也是将信号表示成一组基本在连续信号的频域分析中，也是将信号表示成一组基本信号的线性组合，所不同的是选取的基本信号是复指数信号，信号的线性组合，所不同的是选取的基本信号是复指数信号，由此得到连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换。由此得到连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换。第三章第三章 连续信号频域分析连续信号频域分析)d()()(tftf3.1 引言引言)()()(thtfty 根据叠加

2、原理，根据叠加原理，LTI系统对任意一个由这些基本信号系统对任意一个由这些基本信号的线性组合组成的输入信号的响应，就是系统对这些基本的线性组合组成的输入信号的响应，就是系统对这些基本信号单独作用所产生的响应的线性组合。信号单独作用所产生的响应的线性组合。 但信号的这种频域表示是非常有用的一类，在信号与但信号的这种频域表示是非常有用的一类，在信号与系统分析中有重要的物理意义。系统分析中有重要的物理意义。2 信号可以表示为不同类型的基本信号的线性组合，但信号可以表示为不同类型的基本信号的线性组合，但所选择的基本信号应该具有以下两个特性：所选择的基本信号应该具有以下两个特性： 基本信号可以构成广泛有

3、用的信号；基本信号可以构成广泛有用的信号；tteHe)( 傅里叶分析的重要性大多来源于复指数信号的这两个特傅里叶分析的重要性大多来源于复指数信号的这两个特性性。复指数信号对连续时不变系统有：。复指数信号对连续时不变系统有：3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应 线性时不变系统对线性时不变系统对基本信号的响应应该十分简单，基本信号的响应应该十分简单，以便求解系统对任意输入信号的响应。以便求解系统对任意输入信号的响应。H( )是复振幅因子是复振幅因子, 通常它是复变量通常它是复变量 的函数。称的函数。称 (t)=e t是是LTI系统的特征函数，其特征值为系统的特征函数，其特征值

4、为H( )，因为，因为)()(ttH3设系统转移算子为设系统转移算子为 niiinppKpppppppNpH121)()()()(则单位冲激响应为则单位冲激响应为)()()()(1tUeKtpHthnitpii则则系统的响应为系统的响应为设输入设输入 f(t)=e t，对于单位冲激响应为，对于单位冲激响应为h(t)的的LTI系统，有系统，有dehedehthtftytt)( )()()()()()(10)(nipitdeKetyi4令令 = j ，H(p)的分母的分母D(p)=0的根的根pi中，只要有一个满足中，只要有一个满足 则 反之，反之，若若Repimax Re = ，则，则ReReip

5、)()(110)(HepKedeKetytniiitnipitippHH)()(与传输算子的关系为与传输算子的关系为H( )是复常数，其值取决于是复常数，其值取决于 ，它与系统单位冲激响应，它与系统单位冲激响应的关系为的关系为)(10)(nipitdeKetyidehH)()(5设输入信号由复指数信号线性组合而成，即设输入信号由复指数信号线性组合而成，即根据特征函数的性质有根据特征函数的性质有 则系统的响应为则系统的响应为tttaaatf321eee)(321ttttttHaaHaaHaa312111e)(ee)(ee)(e333222111tttHaHaHaty321e )(e )(e )(

6、)(332211推广：若一个连续推广：若一个连续LTI系统的输入可以表示成复指数信号系统的输入可以表示成复指数信号的线性组合，即的线性组合，即ktkkatfe)(则可以求得系统的输出为则可以求得系统的输出为ktkkkHatye )()(6 n个正交矢量可构成一个个正交矢量可构成一个n维空间，此空间任意矢量可用这维空间，此空间任意矢量可用这n个正交个正交矢量表示。矢量表示。3.3 信号的完备正交函数集表示信号的完备正交函数集表示一、正交矢量一、正交矢量则称这两个矢量正交。则称这两个矢量正交。021AA1、平面空间：、平面空间：若矢量若矢量2211AcAcA2、三维空间：、三维空间：若矢量若矢量正

7、正交交。则则称称321,AAA 两个正交矢量可构成一个平面空间，此两个正交矢量可构成一个平面空间，此空间任意矢量可用这两个正交矢量表示。空间任意矢量可用这两个正交矢量表示。332211AcAcAcA3、n维空间：维空间：若矢量若矢量)(0jiAAjinji, 1,nnAcAcAcA2211)( 0jiAAji 三个正交矢量可构成一个三维空间，此三个正交矢量可构成一个三维空间，此空间任意矢量可用这三个正交矢量表示。空间任意矢量可用这三个正交矢量表示。3 ,2, 1; 3 ,2, 1ji正正交交。则则称称jiAA,7二、正交函数与正交函数集二、正交函数与正交函数集则称则称 f1(t) 和和 f2(

8、t)为正交函数。为正交函数。0 0) )d d( () )( (2 21 12 21 1ttftftt如果如果为归一化正交函数集。则称)(,),(1tftfn若实函数若实函数 f1(t) 和和 f2(t)在在(t1 ，t2)上满足上满足ririttftfrtti1 10 0) )d d( () )( (2 21 1若若f1(t) ， fn(t)定义在区间定义在区间(t1，t2)上，并且在该区间内上，并且在该区间内有有1、实变函数、实变函数：rikrittftfirtti0 0) )d d( () )( (2 21 1则则f1(t) ， fn(t)在在(t1，t2)内称为正交函数集。内称为正交函

9、数集。80 0) )d d( () )( (2 21 1ttftitt2、复变函数、复变函数：若有若有n个复变函数个复变函数 fi (t) （i=1，n）在区）在区间间(t1，t2)上满足上满足为归一化正交函数集。则称复函数集)(,),(1tftfn三、完备的正交函数集三、完备的正交函数集ririttftfrtti10) )d d( () )( (2 21 1 若若 f1(t) ， fn(t)在区间在区间(t1，t2)上为正交函数集，不上为正交函数集，不再存在任意函数再存在任意函数 (t)与其正交。则与其正交。则 f1(t) ， fn(t)称为完称为完备正交函数集。备正交函数集。 即任意函数即

10、任意函数 (t)与与正交函数集中的任一函数正交函数集中的任一函数fi (t)在区间在区间(t1，t2)上的积分一定不为零。上的积分一定不为零。9定理定理1. 若若 f1(t) ， fn(t) 在区间在区间(t1，t2)上为完备正交函上为完备正交函数集，则在数集，则在 (t1，t2)上任意函数上任意函数 f(t)可用可用表示为：表示为：)()()()()(2211tfctfctfctfctfnnkk21212)()()(ttkttkkdttfdttftfc其中其中ck为加权系数，且有为加权系数，且有定理定理2. 若若 f (t)可用可用完备正交函数集完备正交函数集 f1(t) ， fn(t)表示

11、，表示，则则nkttkkttttfcttf1222121d)(d)(（Parserval定理）定理）物理意义：物理意义：一个信号所含有的能量一个信号所含有的能量(功率功率)恒等于此信号在完备恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量正交函数集中各分量能量(功率功率)之和。之和。101、三角函数集三角函数集) , 2 , 1 , 0 ,( sin)cosmntmtn) )( (, ,( (在区间在区间(t0，t0 +T)内是一个完备的正交函数集。内是一个完备的正交函数集。 并且有，为周期 2 T,T2、指数函数集指数函数集) 2, , 1 ,0( ntnj je e)0( )( 2)( 0d)co

12、s()cos(00mnTmnTmnttmtnTtt)( 2)0 ,( 0d)sin()sin(00mnTmnmnttmtnTtt在区间在区间(t0，t0 +T)内也是一个完备的正交函数集。内也是一个完备的正交函数集。 0d)sin()cos(00Tttttmtn113、抽样函数集抽样函数集4、沃尔什函数集沃尔什函数集Wal(k, t)在区间在区间(0, 1)内内, 对于周期为对于周期为1的一类信号来说是一个的一类信号来说是一个完备的正交函数集。完备的正交函数集。) 2, 1, , 0( nntTSa 在区间在区间(t0，t0 +T)内，对于有限带宽信号来说是一个完内，对于有限带宽信号来说是一个

13、完备的正交函数集。备的正交函数集。 102cossgn),(Walprrrtktk其中，其中，kr是序数是序数k的二进制表示中各位的二进制表示中各位二进数字的值，它为二进数字的值，它为0或为或为1； r是二进是二进制数和十进制数相互变换时各位数中制数和十进制数相互变换时各位数中2的幂次数，的幂次数，p是是k的二进数的位数。的二进数的位数。12三角函数表示三角函数表示内为完备正交函数集。直流分量直流分量220)(2TTdttfTa余弦分量幅度余弦分量幅度（基频基频）正弦分量幅度正弦分量幅度3.4 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示对于周期信号对于周期信号 f (t)

14、=f (t+nT), 当其满足狄氏条件时当其满足狄氏条件时, 可展成：可展成：10sincos2)(nnntnbtnaatfT2周期信号周期信号 f (t)=f (t +T )可用在可用在(t0，t0 +T )内完备正交函数集表示。内完备正交函数集表示。) ,(.) , 1 , 0( sincos00Tttntntn在三角函数集) )( () ), ,( (22cos)(2TTntdtntfTa22sin)(2TTntdtntfTb132200 2nnnbaAaAnnnabarctannnnnnnAbAasin cos余弦形式余弦形式10sincos2)( ) 1 (nnntnbtnaatf1

15、0)cos()( )2(nnntnAAtf 可见，可见， 周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。各分量的振幅性组合。各分量的振幅an、bn，An和相位和相位 n都是都是n 的函数的函数,并有：并有： 三角函数形式三角函数形式 An和和an是是n 的偶函数的偶函数, 即即An=An ， an=an ； n和和bn是是n 的奇函数的奇函数, 即即 n= n ， bn=bn 。14tdtntbnsin1求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。解：解：由图可知由图可知nnnn2) 1(cos21傅里叶级数展开式为

16、傅里叶级数展开式为：)3sin312sin21(sin2)(ttttf) , 2 , 1 , 0( 0cos 1cos)(22/2/nntdtttdtntfTaTTntttf )(12 ,2TT周期周期展开式系数展开式系数（n=1, 2, ）15( ， )，但，但。 指数函数集指数函数集 在在(t0，t0 +T)内内为完备正交函数集。为完备正交函数集。) ,2 , 1 ,0( netjn) , 2 , 1 , 0(n2222)(TTtjntjnTTtjnndteedtetfF对于周期信号对于周期信号 f (t)=f (t+nT), 当其满足狄氏条件时当其满足狄氏条件时, 可展成：可展成：tjn

17、nneFtf)(22)(1TTtjndtetfT指数形式指数形式16j2)(in ,2)cos(jjjjtntntntneetnseetn或者或者)e(ej2)e(e22 sincos2)(jjjj1010tntnntntnnnnnnbaatnbtnaatfntnnntnntnnFFFAj1jj0e)ee(2000aAF) 0( 22j) 0( 22jjjneAbaFneAbaFnnnnnnnnnnnnnnnAbaFje2)j(21指数函数形式与三角函数形式之间存在着确定的关系。指数函数形式与三角函数形式之间存在着确定的关系。17由此产生的误差为三三. 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性NN

18、ntjnnNeFtf)( 周期信号f (t)可用有限项指数信号的线性组合来近似 可以证明，当信号f (t)在一个周期内平方可积时，即0e)(1 )(12j2tdFtfTdttfTTntnnT时，NNntjnnNNeFtftftfte)()()()( 可以证明在项数可以证明在项数N一定时，一定时，fN (t)中的系数取傅里叶级数中的系数取傅里叶级数的系数时，误差能量的系数时，误差能量 最小。最小。TNNtteEd)(2 说明，一个在一周期上具有有限能量的周期信号，保证说明，一个在一周期上具有有限能量的周期信号，保证了其傅里叶级数均方收敛。了其傅里叶级数均方收敛。18 工程实际中的信号大都在一个周

19、期内具有有限能量的条工程实际中的信号大都在一个周期内具有有限能量的条件，因而它们均可表示为傅里叶级数。件，因而它们均可表示为傅里叶级数。 (1) 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；应是有限个； (2) 在一个周期内，在一个周期内，f (t)具有有限个极大值和极小值。具有有限个极大值和极小值。傅里叶级数在除不连续点外逐点收敛于f (t)，在不连续点收敛于f (t)的左极限与右极限的平均值。 (3) 在一个周期内，在一个周期内，f (t)绝对可积，即绝对可积，即 。Tttdttf11)( 均方误差为零，并不意味着 f (t) 与

20、其展开式逐点相等。傅里叶级数要逐点收敛于原信号 f (t)，必须满足狄里赫利(Dirichlet)条件：19（2） f (t)为奇函数为奇函数)()(tftf0naTntdtntfTb0sin)(2200sin)(4TtdtntfT（1） f (t)为偶函数为偶函数)()(tftf200cos)(4TntdtntfTa20 波形移动波形移动 T/2，与原波形横，与原波形横轴对称，称为奇谐函数轴对称，称为奇谐函数。 傅里叶级数展开式中偶次谐傅里叶级数展开式中偶次谐波为零，只有正弦和余弦项的奇波为零，只有正弦和余弦项的奇次谐波分量。次谐波分量。 2Ttftf 波形移动波形移动 T/2，与原波形，与

21、原波形重合，称为偶谐函数。重合，称为偶谐函数。 傅里叶级数展开式中奇次谐波为零，只有直流和正弦傅里叶级数展开式中奇次谐波为零，只有直流和正弦与余弦的偶次谐波分量。与余弦的偶次谐波分量。（4）f (t)为偶谐函数为偶谐函数（3）f (t)为奇谐函数为奇谐函数21ntnnFtfje)( ) 1 (ntntnnFttfjj0ee)( )2(0若若 ，则，则 f (t)的傅里叶级数展开式具有以下的傅里叶级数展开式具有以下性质：性质：tnnneFtfj)(ntnnFntfjej)( )3(傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质ntnnnFFttfj11e2)cos( )4(ntnnnFFttfj11e2j)s

22、in( )5(ntnnkkFntfj)(e)(j)(2210)cos()(nnntnAAtf 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。（1） 单边频谱单边频谱 若周期信号若周期信号 f (t)的傅里叶级数展开式为的傅里叶级数展开式为则对应的振幅频谱则对应的振幅频谱An( )和相位频谱和相位频谱 n( )称为单边频谱。称为单边频谱。23【解【解】 212d)(4200TttfTaT20dcos)(4TnttntfTann)4sin(20nb例例: 求图示

23、周期信号的单边频谱。求图示周期信号的单边频谱。20dcos4ttnT由图可知，由图可知，f (t)为偶函数，为偶函数，其傅里叶级数的系数为其傅里叶级数的系数为)2 ,4(TT因此因此)4(21)4(2)4sin(41200nSannAaAn24tnnneFtfj)(（2） 双边频谱双边频谱 若周期信号若周期信号 f (t)的傅里叶级数展开式为的傅里叶级数展开式为则对应的振幅频谱则对应的振幅频谱Fn( )和相位频谱和相位频谱 n( )称为双边频谱。称为双边频谱。例例: 求图示周期信号的双边频谱。求图示周期信号的双边频谱。【解【解】 22jde)(1TTtnnttfTFTntTnntnjeede1

24、2j2j22j)4(412)4sin(2nSann25（3） 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点1）离散性）离散性 : 频谱由频率离散而不连续的谱线组成；频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍，）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的；而且相邻谐波的频率间隔是均匀的；3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减趋于零。）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减趋于零。 可见：双边振幅频谱是将除零频以外的单边频谱的谱线一分可见：双边振幅频谱是将除零频以外的单边频谱的谱线一分为二对称的画在纵轴两边。为二对称的画在

25、纵轴两边。26以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。)2(22sinnSaTEnnTE5T周期周期信号的信号的有效频谱宽度有效频谱宽度)2(5nSaEFn22jd1tEeTFtnn谱线的包络线过零点。谱线的包络线过零点。,) 2 1( 2时，当mm把把 = 02 / 的频率范围称的频率范围称为信号的有效频带宽度为信号的有效频带宽度。记作记作1 2fBB27(4) (4) 有效频宽：第一个零分量频率。它只与脉冲宽度有效频宽：第一个零分量频率。它只与脉冲宽度 有关，而且成反比有关，而且成反比关系。关系。xxxSasin)(2) 直流分量、基波及各次谐波直流

26、分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉冲幅度分量的大小正比于脉冲幅度E和和脉冲宽度脉冲宽度 ，反比于周期，反比于周期T，其，其最大值在最大值在n=0处。处。 22mnmn2B例：例：语音信号频率约为语音信号频率约为 3003400Hz 音乐信号频率约为音乐信号频率约为 5015,000Hz 扩音器与扬声器有效带宽约为扩音器与扬声器有效带宽约为 1520,000Hz(3) (3) 零频率：使得零频率：使得Fn=0的频率。的频率。(1) (1) 频谱具有离散性、谐波性和频谱具有离散性、谐波性和衰减性，其包络线服从抽样函数衰减性，其包络线服从抽样函数 282 ) 1 (T结论：结论：当周期当周期 变

27、大时变大时 零频率不变：零频率不变：B 或或Bf不变；不变； 减小，谱线间距减小，谱线变密；减小，谱线间距减小，谱线变密； 有效频带内谐波分量增多；有效频带内谐波分量增多； 谱线振幅减小，变化趋缓。谱线振幅减小，变化趋缓。1、设、设 f (t)中的中的 E不变，不变， 不变，当不变，当周期周期 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？)2(nSaTEFn4 ) 2(T8 ) 3(T三、三、 周期信号频谱与脉冲参数的关系周期信号频谱与脉冲参数的关系292、设、设 f (t)中的中的E不变，周期不变，周期 不变，当不变，当 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？结论：结论： 增大时：增大

28、时： 不变，谱线间距相等；不变，谱线间距相等； 零分量频率减小：零分量频率减小：B 或或Bf变小；变小；有效谱带内谐波分量减少；有效谱带内谐波分量减少； 谱线振幅增大，减小变化急速。谱线振幅增大，减小变化急速。10 ) 1 (T5 ) 2(T30 周期信号周期信号f (t)的平均功率定义为在的平均功率定义为在1 电阻上消耗的平均电阻上消耗的平均功率功率, 即即四、周期信号的功率谱四、周期信号的功率谱TdttfTP02)(1由于由于nnTFdttfTP202)(1离散谱。周期信号的功率谱也是简称功率谱。功率频谱的关系称为周期信号的或与频率 ,)(2nFntje)(nnFtf上式称为上式称为帕塞瓦

29、尔帕塞瓦尔定理。它表明，周期信号在时域的平均功定理。它表明，周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。因此因此31W181. 0)5(51 )2(nSanSaTEFn例：例：求图示信号求图示信号f (t)在有效频谱宽度内，谐波分量所具有的在有效频谱宽度内，谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比平均功率占整个信号平均功率的百分比。设。设E=1，T=1/4， =1/20。【解【解】 22423222120FFFFFPBW2 . 0)(102TdttfTP%5 .90PPB第一个零分量频率为第一个零分

30、量频率为4020在有效频带内包含一个直在有效频带内包含一个直流分量和流分量和4 4个谐波分量。个谐波分量。平均功率为平均功率为323.6 非周期信号频谱非周期信号频谱,时当T周期信号周期信号 非周期信号非周期信号ntnneFtfTj)( ,有限时当22jd)(1TTtnntetfTF离散谱离散谱 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小频谱密度函数频谱密度函数fFTFFTnnn122jd)(TTtntetfndT ,2tetfTFtnTd)(limjtetfjFtd)()(j单位频带上的谐波幅度单位频带上的谐波幅度tnnneTFtfj2)(dejFtjT)(21记为记为一个一个非周期信号可以看作是

31、无限多个幅度无限小的复指数谐波之和。非周期信号可以看作是无限多个幅度无限小的复指数谐波之和。 33dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)()j ()(FtfF(j )反映单位频率上幅值与相位分布情况，故称反映单位频率上幅值与相位分布情况，故称频谱密度频谱密度函数。它一般为复数。函数。它一般为复数。)(j| )(|)(ejFjF)(sin| )j (| j)(cos| )j (|)j (FFF XRj)j ()()()(1FFtftfFjF简记为简记为相位频谱幅度频谱 )( , )j (F34d)(sinj21jd)(cosj21tFtFdeeFtftj)(jj21)()(j)(t

32、ftfir任一非周期信号任一非周期信号 f (t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的连可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续指数信号之和。续指数信号之和。若若f (t)为实函数，则为实函数，则|F(j )|是是 的偶函数，的偶函数， ( )是是 的奇函的奇函数；并且数；并且 f (t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续余弦可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续余弦信号之和。信号之和。任一非周期信号任一非周期信号 f (t)也可分解为实函数和虚函数之和。也可分解为实函数和虚函数之和。d)(cos)j (1)(0tFtf35d)j (21)(j teFtf0d)()(2ttftf若若信号信号f (t)的能量有

33、限，则的能量有限，则那么那么F(j )就是有限的，傅里叶变换式就收敛，就有就是有限的，傅里叶变换式就收敛，就有ttfd)(2 一般来说，一般来说， f (t)存在傅里叶变换的充分条件为：在区间存在傅里叶变换的充分条件为：在区间(，)内，内，f (t)满足狄里赫利条件。满足狄里赫利条件。即应满足绝对可积即应满足绝对可积 dttf)( 但在实际中，此条件可以放宽，允许但在实际中，此条件可以放宽，允许 f (t)包含有限多个包含有限多个奇异函数。奇异函数。360)()(tUEetft22)j (EFarctan)(dtetfjFtj)()(0jdteEettjE37000e)( ttEetEetft

34、t0j0j dtEedteEettt222EdtetfjFtj)()(jjEE000)( tEetEetftt0j0j )j (dtEedteEeFttt222jEjjEE380101)sgn()(ttttfj2)2j(lim)j (220F)sgn(00 )(lim 0ttetetftt1)(tf100)(lim 0tetetftt0002lim)j (220F2d222 2jF 2139)()(tUtfj1)()()(lim)( 0tUtUetft2200jlimj1lim)j (F220220jlimlim)()(ttf1d)()(jtetjFt402)2sin(E)()(tEGtf2/

35、2/jjd d)()j (tEetetfFttj2/j2/jeeE)2/sin(2E)2( SaE41jE ( ),0tEeU t)sgn(tj2)(t1j1)()(tU)2( SaE)(tEG)(21423.7 例：例：)j ()( )j ()(2211FtfFtf)j ()j ()()(2121bFaFtbftaf)()(tUtf)(21j1)sgn(21t jjF1)( tsgn2121，若)j ()( Ftf)j()( Ftf则)()()()(为虚函数为实函数tfjFtfjF43)( 2)j ( ftF则，若)j ()( Ftf，即是偶函数，若)()( )(tftftf)( 2)j (

36、ftF则有例例：。求)j ( ,sin)(Ftttf解：解：)2( )(SatG)( 2)2( GtSa2(j ) ( )FG例：例：。求)j ( ,1)(Fttf解：解：j2)sgn(t)sgn(2j2t)sgn(j)j (F)sgn(j44，若)j ()( Ftf)j (1)( aFaatf则例：例：。求)j ( ),()(2/FtEGtf解：解：)4(2)j (SaEF)2( )(SaEtEG)2()()(2/tEGtEGtf45例：例：) 1() 1()(22tGtGtf0j0)j ()( teFttf则。的频谱求图示信号)()(jFtf解：解：由于由于)(2)(2SatG)j()j(

37、21cos)(000FFttfjj)(2)(2)j (eSaeSaFsin)(4 j Sa)( j )( 0j0Fetft则)(j21sin ),(21cos0000jj0jj0tttteeteet，若)j ()( Ftf，若)j ()( Ftf则则)j()j(2jsin)(000FFttf46 f (t)乘以乘以cos 0t 等于对正弦信号的幅度进行调制。这等于对正弦信号的幅度进行调制。这种调制称为幅度调制。正弦信号种调制称为幅度调制。正弦信号cos 0t 称为载波，称为载波， f (t)称称为调制信号，为调制信号， 而而f (t)cos 0t 是已调制信号。是已调制信号。例：例：)j()j

38、(21cos)(000FFttf而而)102(2)102(2)j (SaSaY 频移特性也称频移特性也称调制特性。时域幅度调制，在频域就将调制特性。时域幅度调制，在频域就将整个频谱相应地搬移到整个频谱相应地搬移到 0位置。位置。 )j ( ),j ()(。求图示系统，已知YFtf解：解：ttfty10cos)()()10( j 21)10( j 21)j (FFY)2(4)j()()(4SaFtGtf则则47例：例：。的频谱求图示信号)()(jFtf解：解：) 1(cos2)()()(jFjdttfdnnn)j(jd)(d Fttf则，若)j ()( Ftf)(1)(2)(1)( ttttfj

39、j2121)()()( eetfFjtfF)cos1 (2)j (2F)2( )2()2(sin 222Sa48)2(j1)()j (SaFj)j ()()0( )( FFdxxft则，若)j ()( Ftf例：例：。的频谱求图示信号)()(jFtf解：解：)(1)(tGtf)2(Saj)2()()0( )(SaSadxxft 因为因为t 时，时， f (t)0， 不能不能采用微分性质，而应采用积分性质。采用微分性质，而应采用积分性质。49例：例：d1(j )( )()djt U tt d)(d)()j( jFtft则nnnFtftd)j (d)()j(。的频谱函数求)j ()()(FttUt

40、f1( )()jU t 解：解：，若)j ()( Ftf21)(j)(ttU50例：例：dxxFttftf)j()j()()()0( 则dxxFttf)j()j()(当当 f (0)=0时，时，)1() 1(j22)ee(j21sinjjtttxxxttd)1() 1(j)j(sin)1() 1(jUU。，求已知)j (sin)( Ftttf解：解：，若)j ()( Ftf)( )1() 1()j (2GUUF则则51)j ()j ()()( 2121FFtftf则tetfftftfFtdd)()()()(j2121dd)()(j21tetfftdeFfj21)j ()(defFj12)()j

41、 (证明证明：)j ()j (21FF 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯、信息传输等卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值工程领域中具有重要理论意义和应用价值。（时移性质）（时移性质）)j ()( )j ()( 2211FtfFtf，若52。求图示信号)j ( ),( Ftf解：解：)()(1)(tGtGtf例例:)2()2(1)j (SaSaF)2( )(SatG例例: 解：解：)j ()sgn(j)j (FF)2(2Sa。求，已知)j ( )j ()( ,1)()( FFtfttftfj2)sgn(t根据对称性根据对称性

42、)sgn(2j2t)sgn(j1t53)j ()j (21)()( 2121FFtftf则解：解：)j ()( )j ()( 2211FtfFtf，若例例: 利用频域卷积定理求利用频域卷积定理求f(t)=cos 0tU(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )。)()()(cos)(210tftfttUtf)()( cos)(201tUtfttf)()()j (001Fj1)()j (2F)j ()j (21)j (21FFF)( j1)( j121)()(20000)( j)()(2)j (20200F54推广：推广：d)j ()j (21d)()(2121FFttftf则有d)(21d)()

43、 1 (22jFttfdFdttftf)j (21)( ,)( )2(22则为实函数若dFFdttftftftf)j ()j (21)()( )()( ) 3(212121则均为实函数，、若意义：意义：能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。)j ()( )j ()( 2211FtfFtf，若55)()j ()()(2aGaFatSatf解：解：)()()(2atSaatSaatSadtatSa)(2求积分dGadtatSaa222 )(21)(adaaa2)(21)(21 由于dGdttt)( )(221sin 2所以56)()()()j ()(FFF

44、（1）当）当 f (t)为实函数时，则：为实函数时，则：若若 f (t)为实偶函数，为实偶函数，即即 f (t)= f (t)，则：，则：)(j)(e )()j ()( )(jXRFFtf若)()()()(XXRR0)()()()j (XRFF若若 f (t)为实奇函数，即为实奇函数，即 f (t)= f (t)，则：，则：0)()(j)j (RXF（2）当）当 f (t)为虚函数时，则：为虚函数时，则：)()()()(FF)()()()(XXRR573.8 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换te0j1 .1)(20)(21cos . 200jj0tteet)()(oo)()(joo)(

45、j21sin . 300jj0tteet58展为傅立叶级数：展为傅立叶级数：nTnTtttf)()()(ntnnTeFtj)(nnTjF2)(TdtetTdtetTFTTtnTTtnTn1)(1)(122j22j)(nn)(2jnetn59ntnneFtfj)(nnnnnFnFF)(2)(2)j (,d)( 2 22jTTtnntetfFT，式中，对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，可得对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，可得可见，一般周期信号的傅里叶变换可见，一般周期信号的傅里叶变换(频谱密度函数频谱密度函数)是由无穷是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波

46、频率多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率n (n=0, 1, 2, )处处，其强度为相应傅里叶级数系数，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的的2 倍。倍。 对于周期为对于周期为T的一般周期信号的一般周期信号f (t)，其指数形式的傅立，其指数形式的傅立叶级数展开式为叶级数展开式为60。求求图图示示信信号号)(),(jFtf解：方法解：方法1例：例： ntjnneFtf)()2(nSaT)(2nFnnntnneFtfj)()()2(2)j (nnSaTFnnnnSa)()2(22j)(1TTtnndtetfTF22j1dteTtnT=3 时时的频谱图的频谱图61方法方法2)2( )(S

47、atGnTnt)()()()(ttGtfTnnSaF)( )2( )j (*T=3 时时的频谱图的频谱图nnnSa)()2(623.9 功率谱与能量谱功率谱与能量谱功率频谱功率频谱 对于功率信号，可定义一个功率密度函数对于功率信号，可定义一个功率密度函数D( )，即单，即单位频率的信号功率。位频率的信号功率。dDP)(21信号的总功率为信号的总功率为信号信号f (t)的频谱函数为的频谱函数为F(j )，则由帕塞瓦尔定理可得，则由帕塞瓦尔定理可得dTFdttfTPTTTT22/2/2)j (21lim)(1lim比较上面两式比较上面两式, 有有TFDT2)j (lim)(D( )也称为功率谱函数

48、，它是也称为功率谱函数，它是 的偶函数，函数值取决于频谱函数的模，而与相位无关。的偶函数，函数值取决于频谱函数的模，而与相位无关。63dGE)(21信号的总能量为信号的总能量为信号信号f (t)的频谱函数为的频谱函数为F(j )，则由帕塞瓦尔定理可得，则由帕塞瓦尔定理可得dFdttfE22)j (21)(因此因此, 有有2)j ()(FGG( )描述其能量的频率描述其能量的频率特性，称之为能量谱函数，能量谱只与信号的幅特性，称之为能量谱函数，能量谱只与信号的幅频函数的频函数的模模| |F(j )|有关，而与相位无关，单位为焦有关，而与相位无关，单位为焦/赫（赫（J/Hz）。）。能量频谱能量频谱

49、 能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能量。记为量。记为G( ).64例：例：的能量。求信号ttttf5sin997cos2)( )997()997(2997cos2t解：解：10)997()997(1010GGdFdttfE22)j (21)()()997(2)997(221)(10GjF)5(55sintSatt)()(10251010GG)()()(21tftftftttfttf5sin)( 997cos2)(2165本章要点：本章要点： 1、信号的分解；信号的分解； 2、周期信号频域分析周期信号频域分析： 傅立叶级数形式傅立叶级数形

50、式、性质、频谱特点；、性质、频谱特点； 3、非周期信号频域分析非周期信号频域分析： 傅立叶变换与反变换傅立叶变换与反变换 )()(21)()()()(1jFFdejFtftfFdtetfjFtjtj 常用信号的频谱函数常用信号的频谱函数 1 t jtU1)(2)(SatGjt2)sgn(jEtUEet)(j2166)j ()( )j ()(2211FtfFtf)()()()(2121jbFjaFtbftaf4 4、 傅立叶变换傅立叶变换)()(jFtf)(2)(fjtF)(1)(ajFaatf0j0)j ()(teFttf)( j )(0j0Fetft)j(j)(FdttdfjjFFdxxft