信号与系统课件：第5章 连续系统的s域分析.ppt

1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-1 1 1页页页电子教案第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域二、收敛域三、三、(单边单边)拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 5.3 拉普拉斯变换逆变换拉普拉斯变换逆变换5.4 5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解二、系统函数二、系统函数三、系统的三、系统的s域框图域框图四、电路的四、电路的s域模型域模型五、拉普拉斯变换

2、与傅里叶变换五、拉普拉斯变换与傅里叶变换点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-2 2 2页页页电子教案第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状

3、态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。域来解决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分域分析析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教

4、研中心第第第4-4-4-3 3 3页页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子困难。为此，可用一衰减因子e- t( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) ，适当选取，适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t) e- t当当t时信时信号幅度趋近于号幅度趋近于0 ，从而使，从而使f(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为f(t) e- t= de)(21tjb

5、jFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s = + j ,d =ds/j，有，有信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-4 4 4页页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstbFb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只

6、有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双边的双边拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换存在。 使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域。的收敛域。 下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。双边拉普拉斯变换对信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-5 5 5页页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttsst

7、tbsstsF，无界，不定Re,1ss可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-6 6 6页页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解: eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定无界)(1.Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信

8、号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-9 9 9页页页电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换结论：结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言，、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，和收敛域一起， 可以唯一地确定可以唯一地确定f(t)。 即：即：3、不同的信号可以有相同的、不同的信号可以有相同的F(

9、S)，但它们的收敛域不同；，但它们的收敛域不同； 不同信号不同信号如果如果有相同的收敛域，则它们的有相同的收敛域，则它们的F(S)必然不同！必然不同！（1）部分）部分s平面收敛；平面收敛；（2）整个）整个s平面均收敛；平面均收敛；（3）整个）整个s平面均不收敛。平面均不收敛。2、收敛域：、收敛域：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-101010页页页电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义：对于给定的：对于给定的f(t)，把凡是满足下式的，把凡是满足下式的s组成的点集，组成的点集， 称作称作f(t)的绝对收敛域：的绝对收敛域：收敛域的确定方法收敛域的

10、确定方法（因为：（因为：s=+jw+jw）：）：求解适合于如下条件的所有求解适合于如下条件的所有值或范围值或范围:lim( )0tf t et ( )tft ed t 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-111111页页页电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换j0j0a-a(a) 因果信号 (b) 双边信号 (c) 反因果信号)()()(1teeetfatat0,0,)(2tetetfatat)()()(3teeetfatatasasSF11)(0a注意：以上3个信号，具有相同的F(S), 但收敛域不同：aaaas0-aj信号与系统信号与系统西安电子科技大

11、学电路与系统教研中心第第第4-4-4-121212页页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为简记为F(s)= f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-131313页

12、页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、 (t) 1， -2、 (t)或或1 1/s ， 03、指数函数、指数函数e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020st 1/s2信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-141414页页页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4、周期信号、周期信号fT(t) 020(1)0( )( )ed( )ed( )ed.

13、( )edstTTTTststTTTnTstTnTnF sfttfttfttftt0001e( )ed( )ed1 eTTnsTststTTsTnttnTfttftt 令信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-151515页页页电子教案“周期信号周期信号” 的的F(s):若若 f tF s则则 1TsTF sfte特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-161616页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.2 5.2

14、 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质0 0、引言、引言利用利用常用信号的拉普拉斯变换对常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换和拉普拉斯变换的的性质性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。常用信号的拉普拉斯变换对常用信号的拉普拉斯变换对 f(t) F(s) (t) 1 (t) 1/s1!)(nnsntt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-171717页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质常用信号的拉普拉斯变换对（续）常用信号的拉普拉斯变换对（续） f(t) F(s)asteat1)(1)(!)(na

15、tnasntet22)()cos(sstt22)()sin(stt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-181818页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质一、线性性质一、线性性质例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换二、尺度变换01()( )Re sf atFsaaa则0( )( )Re 0f tF ssa若且有实数111222( )( )Re ,( )( )Re f tF ssf tF ss若122112212( )( )( )( )Re max(,)af ta f ta F sa F ss 则信号与系

16、统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-191919页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换2e( )(1 ee )sssF sss求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。解：解：)e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss( )4 2 (2 )Y sFs( )4 (0.5 )y tft信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-202020页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性

17、三、时移（延时）特性 与尺度变换相结合与尺度变换相结合001e0,0tsasFataa例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)00() ()f attatt00( )( )Re 0f tF sst若且有实常数0000() ()( )Re stf tttteF ss则信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-212121页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知已知f1(t) F1(

18、s),求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-222222页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质四、复频移（四、复频移（s s域平移）特性域平移）特性 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数2( )1sF ss

19、求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss例例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解解: cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222ssssssF0( )( )Re aaaf tF sssj若且有复常数0( )()Re as taaf t eF sss则信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-232323页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分

20、特性（微分定理） 1( )1()0( )( )(0 )nnnnmmmfts F ssf 例例1: (n)(t) ? 例例2:?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt0( )( )Re f tF ss若( )( )(0 )f tsF sf则2( )( )(0 )(0 )fts F ssff若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则( )( )( )nnfts F s信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-242424页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理） )(1d)(0sFsx

21、xfnnt)0()(d)()()1(11)1(fssFsxxftft)(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt0( )( )Re f tF ss若，则例例1:2( )tt？信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-252525页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)解：解：)0()(d)( 0ftfxxfttxxftf0d)( )(2211( )(1 e)essF ss2212( )11( )(1 e)essF sF ssss( )( )f

22、 tf t对求导得，如图( )0 )0f tf由于是因果信号，故（( )( )(2)(2)f tttt结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知( )( )( )nnftF s( )( )nnF sf ts则：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-262626页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121例例1：t (t) ?例例2：已知：已知21( )?(1 e)sF ss00)2

23、()2(*)(nnntntt211 e( )1 e1 esTsTs TF s已知？例例3：111222( )( ) Re ,( )( ) Re f tF ssf tF ss若因果信号1212( )*( )( )( )f tf tF s F s则信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-272727页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质八、八、s s域微分和积分域微分和积分 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(sdFttf)()(0( )( )Re f tF ss若，则例例1：22( )?tt et21( )2tet

24、s22223d12( )()d2(2)tt etsss解：解：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-282828页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2：?)(sinttt11)(sin2stt2sin11( )darctanarctanarctan12ssttsts例例3：21 e?tt211e12sst211112()d 1lnln11212tssessstssss信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-292929页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定

25、理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f()，而，而不必求出原函数不必求出原函数f(t)。初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，若为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则为假分式化为真分式），则 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则 )(lim)(0ssFfs信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4

26、-4-303030页页页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF0)(lim)(0ssFfs信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-313131页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分

27、，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法: （1）查表法）查表法 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 11101110.( ).mmmmnnnb sbsbsbF ssasa sa若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(sAsBsPsF信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-323232页页页电子教案5.3 5

28、.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。 下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。 部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 11101110.( )( )( ).mmmmnnnb sbsbsbB sF sA ssasa sa式中式中A

29、(s)称为系统的称为系统的特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特特征方程征方程，它的根称为，它的根称为特征根特征根，也称为系统的，也称为系统的固有频率固有频率（或自然频率）。（或自然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点极点。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-333333页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点（单根）为单极点（单根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii特例：特例：F(s)包含共轭复根

30、时包含共轭复根时(p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje|)()j(j1j1K2 = K1*信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-343434页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换je|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF例例1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆变换。312( )13kkkF smnsss解：部分分式分解法（）100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其 中11( )

31、2|cos() ( )tf tKett 1,21,( )2cos()sin() ( )tkAjBf teAtBtt若写为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-353535页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 1002010( )313(3)Fssss)(e310e203100)(3ttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-363636页页页电子教案5.3 5.3

32、拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例2:2:32597( ),(1)(2)sssF sss已 知求 其 逆 变 换( )F s解：长除法23277223795232223232ssssssssssssss信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-373737页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12( )212kkF ssss分 式 分 解 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 21( )212F ssss2( )( )2 ( )(2ee) ( )ttf tttt-信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中

33、心第第第4-4-4-383838页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例3 3223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆变换23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 1,2, (1,2 )pj 2112312(12)(2)5sjsjksjs 其中信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-393939页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k2237(12)(12)5ssksjsj121275555( )12125(2)jjF

34、 ssjsjs 1,212,55AB )(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-404040页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例4： 求象函数求象函数F(s)的原函数的原函数f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解：解：A(s)=0有有6个单根，它们分别是个单根，它们分别是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2

35、= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) ,K4=K3*=(1/2)e-j( /2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= 43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-414141页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1处有处有r重根，重根， )(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsA

36、sBsFrrr1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK1!)(nnsnttL)(e!1)(11111ttnpsLtpnn1111()( )rspKspF s1121()( )rspdKspF sds信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-424242页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换举例举例: :32( ),(1)sF ss s已知求其逆变换。131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sF ssF ss令11111( )23spskFsss 其 中11 2121()(2

37、) 12spsdkFsd ssss 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-434343页页页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换121 312411()21422spsdkFsd sss 2030()22(1)ssksFsss 32( )(1)(1)()Fsssss)()2e2e2e23()(2ttttfttt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-444444页页页电子教案5.4 5.4 复频域分析复频域分析 一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般

38、形式为 nimjjiiitfbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-) ,y(0-),，y(n-1) (0-)。取拉普拉斯变换取拉普拉斯变换)0()()()(101)(pippiiiyssYsty( )( )0( )( )jjf ttfts F s若在时接入，则5.5.4 4 复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-454545页页页电子教案niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sYsYsFsAsBsAsMsYfx例例1 描述某描述某LT

39、I系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)已知初始状态已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励，激励f(t)=5cost (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)。解：解： 取拉氏变换得取拉氏变换得)(65265)0(5)0( )0()(22sFssssyysysY15)(2sssF5.5.4 4 复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-464646页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析15)3)(2(2)3)(2(4)()()(2ssssssssYsYsYfxjsejsesss

40、sjj442121332431222323( )2432cos() ( )4tttty teeeett二、系统函数二、系统函数 系统函数系统函数H(s)定义为定义为 def( )( )( )( )( )fYsB sH sF sA s它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。状态无关。 h(t) H(s) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-474747页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析例例 已知当输入已知当输入f(t)=e-t (t)时，某时，某LTI系统的零状态响应系统的零状态响应

41、 yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解：解：65823224) 3)(2()4(2)()()(2sssssssssFsYsHf23( )(42) ( )tth teet( )5 ( )6 ( )2( )8 ( )y ty ty tf tf t微分方程为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-484848页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析三、系统的三、系统的s域框图域框图1/s1/sF(s)F(s)/s积分器的系统框图：积分器的系统框图：1s1

42、s4132F(s)Y(s)求求H(s)。S2X(s)SX(s)X(s)例：已知系统框图如图所示：例：已知系统框图如图所示：H H( (S S) )F(s)Y(s)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-494949页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析四、电路的四、电路的s域模型域模型 对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻、电阻 u(t)= R i(t)2、电感、电感 ttiLtuLd)(d)(sisUsLsILL)0()(1)(i(t)u(t)RI(s)U(s)RLu(t)iL(t)U(s)= R I(s)( )( )(0 )LLU

43、ssLIsLi信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-505050页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析3、电容、电容 ttuCtiCd)(d)(susIsCsUCC)0()(1)(I(s)UC(s)CuC(0 -)或sC1suC)0(sC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)4、电源的、电源的S域模型域模型us(t)， is(t)Us(s)， Is(s)( )( )(0 )CCI ssCUsCu信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-515151页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析例：例： 如图所示电

44、路，已知如图所示电路，已知uS(t) =(t) V，iS(t) =(t)，起，起始状态始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压，求电压u(t)。 5、 S域的域的KCL，KVL0)(0)(kkLkkSIti节点：节点：0)(0)( kkLkkSUtu回路：回路：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-525252页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 0de)()(ttfsFstRes 0 ttfFtde)()(jj要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号

45、。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： (1) 0-2； 则则 F(j )=1/( j +2)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-535353页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析（2） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， )(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(j )不存在。不存在。 例：例：f(t)=e-2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2； 其傅里叶变换不存在。其傅里叶变换不存在。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-545454页页页电子教案5.5.4 4 复频域分析复频域分析