信号与系统课件：第2章 连续系统的时域分析.ppt

1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-1 1 1页页页电子教案第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的

2、性质 一、卷积代数一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性 五、相关函数五、相关函数2.52.5* * P P算子分析法算子分析法 一、微分算子及系统描述一、微分算子及系统描述 二、零输入响应求解二、零输入响应求解 三、三、LTI连续系统的初始条件连续系统的初始条件 四、零状态响应的求解四、零状态响应的求解 五、由五、由H(P)H(P)求求h(t)h(t)点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-2 2 2页页页电子教案

3、LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间时间t，故称为，故称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、一、微分方程的经典解微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(

4、t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)微分方程的经典解：微分方程的经典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-3 3 3页页页电子教案2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应 齐次解齐次解 是齐次微分方程是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分

5、方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。（齐次解的函数形式见（齐次解的函数形式见P41P41表表2-12-1）特解特解 的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P41P41表表2-22-2齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)f(t)的的函数形式无关，称为系统的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-4 4 4页页页电子教案例例

6、描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)；求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= 1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-5 5 5页页页电子教案解解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齐次解齐次解为为 yh(t) = C1e 2t

7、+ C2e 3t由表由表2-2可知，当可知，当f(t) = 2e t时，其时，其特解特解可设为可设为 yp(t) = Qe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Qe t + 5( Qe t) + 6Qe t = 2e t 解得解得 Q=1于是于是特解特解为为 yp(t) = e t全解全解为：为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得最后得全解全

8、解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-6 6 6页页页电子教案（2）齐次解齐次解同上。当激励同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根时，其指数与特征根之一相重。由表知：其之一相重。由表知：其特解特解为为 yp(t) = (Q0 + Q1t)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 Q1e-2t = e2t 所以所以 Q1= 1 但但Q0不能求得。不能求得。全解为：全解为： y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + Q0e

9、2t = (C1+Q0)e2t +C2e3t + te2t代入初始条件代入初始条件，得，得 y(0) = (C1+Q0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+Q0) 3C2+1=0 解得解得 C1 + Q0 = 2 ,C2= 1 全解全解为：为：y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0讨论：讨论：因因上式第一项的系数上式第一项的系数C1+Q0= 2，不能区分，不能区分C1和和 Q0。 2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-7 7 7页页页电子教案2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连

10、续系统的响应二、用系数匹配法求二、用系数匹配法求0+0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0 +)包含了输入信号的作用，不便于描述系统包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。的历史信息。 在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或或起始值起始值。 通常，对于具

11、体的系统，初始状态一般容易求得。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。下列举例说明。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-8 8 8页页页电子教案例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微

12、分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 用用系数匹配法系数匹配法分析分析：上式对于：上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t 0 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-121212页页页电子教案2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应（2）零状态响应零状态响应yf(t) 满足满足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含

13、有(t)，从而，从而yf(t)跃变，即跃变，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0连续，连续，即即yf(0+) = yf(0-) = 0，积分得，积分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 + yf(0-)=2 对对t0时，有时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为D1e-t + D2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yf(t)=D1e-t + D2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 y

14、f(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-131313页页页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据

15、根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-141414页页页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应因方程右端有因方程右端有(t)，故，故利用系数平衡法利用系数平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100

16、)( dtth考虑考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-15

17、1515页页页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含为不含(t) 的某函数的某函数 h(

18、t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，有信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-161616页页页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2

19、(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) = 3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-171717页页页电子教案2.2 2

20、.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)= T (t) ，0ttgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 与与(t) 为微

21、积分关系，故为微积分关系，故信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-181818页页页电子教案例例3 3 如图所示的如图所示的LTILTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。系统，求其阶跃响应及冲激响应。解：解：（1 1）列写系统的微分方程）列写系统的微分方程( )( )( )( )3 ( )2 ( )( )x tx tx tx tx tx tf t 设图中右端积分器的输出为，则其输入为，左端积分器的输入为。左端加法器的输出-( ) 3 ( )2 ( )( )1x tx tx tf t即+（）2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统西安

22、电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-191919页页页电子教案( )( )2 ( )( )3 ( )2 ( )( )2 ( )2y tx tx ty ty ty tf tf t右端加法器的输出-所以，系统的微分方程为-（ ）（2 2）求阶跃响应）求阶跃响应1( )2( )( )2( )tttt 111 设式（）所描述的系统的阶跃响应为g，则式（ ）所描述的系统的阶跃响应为 ggg( )( )3( )2( )( )(3)(0 )(0 ) 0ttttt111111g满足方程ggg= gg=2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统

23、教研中心第第第2-2-2-202020页页页电子教案122121,2,0.5( ) (0.5) ( )tttC eC et 1其特征根其特解为，于是得 g=( )( )( )( )(0 )(0 ) 0tttt111 式（3）等号右端只有，故除了g外，g和g均连续，即有gg=1212(0 )0.50(0 )20CCCC11代入上式，有gg=-=1210.5CC 可解得：，2( ) (0.50.5) ( )ttteet1于是g=2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-212121页页页电子教案222( ) (0.5

24、0.5) ( )() ( ) () ( )ttttttteeteeteet1其一阶导数 g=2( )( )2( )( 321) ( )ttttteet 11于是 ggg（3 3）求冲激响应）求冲激响应1( )2( )( )2( )tttt 111 设式（）所描述的系统的冲激响应为h，则式（ ）所描述的系统的冲激响应为 hhh( )( )3( )2( )( )(4)(0 )(0 ) 0ttttt111111h满足方程hhh= hh=2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-222222页页页电子教案122341,2

25、,0( ) () ( )(5)tttC eC et 1其特征根其特解为 ，于是得 h=( )( )0(0 )(0 )( )( )( )( )( )00 ),(0 )(0 )3(0 )(0 )1tttttth th tt1111111-1111 由系数平衡法，(4)式中h应包含冲激函数，从而h在处将跃变，即hh。但h不含冲激函数，否则h将含项。由于含有阶跃函数，故在处连续。对(4)式等号两端积分(从0 到得hhhh( )0(0 )(0 )(0 )(0 ) 1(0 )(0 )0h tt111111考虑到在处连续。将h，h代入上式得hh=hh2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与

26、系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-232323页页页电子教案(0 )(0 )0(0 )(0 ) 111111即hhhh+3434(0 )0(0 )21CCCC 11代入(5)式，有hh=3411CC 可解得：，2( ) () ( )ttteet1于是h=2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-242424页页页电子教案2( )( 321) ( )ttteet 刚才已经求得： g222( ) () ( )(2) ( ) (2) ( )ttttttteeteeteet 1其一阶导数

27、h=2( )( )2( )(34) ( )ttttteet 11于是 hhhd ( )( )dg th tt验证结论（解法验证结论（解法II）：）：2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-252525页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1

28、A)(1tptptf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-262626页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为、宽度为，用，用p(t + +)表示为表示为： f ( - - ) p(t +

29、 + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-272727页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷积积分卷积积

30、分信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-282828页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 )(*)(d)()()

31、(thtfthftyf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-292929页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例1：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-303030页页页电子教案2.3 2.3

32、 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。演示演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-313131页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分th( )f (t - )2013

33、21例2 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图解法求卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 0t 1时时4121d21)(1ttyttf 2t 3时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换

34、元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 1t 2 时时432141d21)(221tttytf0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-323232页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例3：f1(t)、 f2(t)如图所示，已如图所示，已知知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =

35、？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-333333页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许

36、多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数一、卷积代数1 1 满足乘法的三律：满足乘法的三律：（1） 交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2） 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)（3） 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统

37、教研中心第第第2-2-2-343434页页页电子教案2. 2. 复合系统的冲激响应复合系统的冲激响应2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-353535页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n

38、)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-363636页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式证：上

39、式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-373737页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=1ede

40、d)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2

41、-383838页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用时移

42、特性，有利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-393939页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例：f1(t), f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t

43、1)* (t+1) 2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) 2 (t 2) (t 2)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-404040页页页电子教案常见的卷积公式常见的卷积公式1212( 1)( 1)( 1)1221( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )() ( )(atatat

44、a ta ta ta tKf tKf tf ttf tf ttf ttf tf ttf ttfttftttttetetteteteteetaaaa波形的净面积值)1( )( )(1) ( )( )( )( )()()atatTmmtetetaf ttf ttmTf tmT2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-414141页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质五、相关函数五、相关函数 为比较某信号与另一延时为比较某信号与另一延时的信号之间的相似度，的信号之间的相似度，需要引入需要引入相关函数相关函数

45、的概念。相关函数是鉴别信号的有力的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。识别等领域。相关函数相关函数也称为相关积分，它与卷积的运也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似。算方法类似。 实函数实函数f1(t)和和f2(t)，如为能量有限信号，它们之间的，如为能量有限信号，它们之间的互相关函数定义为：互相关函数定义为：121212211212( )( )()()( )( )()( )( )()Rf t f tdtf tf t dtRf tf t dtf t f tdt信号与系统信号与系统西安电子科技大

46、学电路与系统教研中心第第第2-2-2-424242页页页电子教案 可见，互相关函数是两信号之间时间差可见，互相关函数是两信号之间时间差的函数。需要的函数。需要注意，一般注意，一般R12() R21()。不难证明，它们之间的关系是。不难证明，它们之间的关系是12212112( )()( )()RRRR 如果如果f1(t)和和f2(t)是同一信号，即是同一信号，即f1(t)f2(t) f (t) ，这时，这时无需区分无需区分R12与与R21，用，用R()表示，称为表示，称为自相关函数自相关函数。即。即 ：( )( ) ()() ( )Rf t f tdtf tf t dt 容易看出，对自相关函数有

47、：容易看出，对自相关函数有：( )()RR 可见，实函数可见，实函数f(t)的自相关函数是时移的自相关函数是时移 的偶函数。的偶函数。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-434343页页页电子教案函数函数f1(t)和和f2(t)卷积的表达式为：卷积的表达式为：1212( )*( )( )()f tf tff td 为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关函数定义式中的变量函数定义式中的变量t t和和进行互换，可将实进行互换，可将实函数函数f1(t)和和f2(t)的互相关函

48、数写为：的互相关函数写为：1212( )( )()Rtfft d 比较以上两式可见，卷积积分和相关函数的运算比较以上两式可见，卷积积分和相关函数的运算方法有许多相似之处。两种运算的不同之处仅在于，方法有许多相似之处。两种运算的不同之处仅在于，卷积运算开始时需要将卷积运算开始时需要将f2()进行反折为进行反折为f2(- )，而相关，而相关运算则不需反折，仍为运算则不需反折，仍为f2()。其他的移位、相乘和积分的运算。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同。方法相同。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-444444页页页

49、电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-454545页页页电子教案根据卷积的定义根据卷积的定义121212( )*()( ) ()( )()f tftfftdfft d可见可见1212( )( )*()Rtf tft 由上式可知，若由上式可知，若f1(t)和和f2(t)均为均为实偶函数，实偶函数，则则卷卷积与相关完全相同。积与相关完全相同。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-464646页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷

50、积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-474747页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质（1