信号处理课件:Chapter 5 Power Estimation.ppt
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1、功率谱估计功率谱-信号功率在频域的分布规律内容 5.1 确定信号的谱估计 5.2 平稳随机信号的功率谱估计 5.3 参数功率谱密度估计 5.4 基于子空间特征值分析的功率谱估计(高分辨谱估计)5.1 确定信号的谱分析连续时间信号首先通过一个低通(抗混叠)滤波器,然后采样连续时间信号首先通过一个低通(抗混叠)滤波器,然后采样得到离散时间信号,选择桢长为得到离散时间信号,选择桢长为N交叠为交叠为N0的采样数据,然后的采样数据,然后加窗,最后用加窗数据的一个合适长度的加窗,最后用加窗数据的一个合适长度的DFT作为谱估计作为谱估计(1)时域采样和抗混叠滤波2( )( )()( )jftjj mmX f
2、x t edtX ex meFTDTFT:(2) 频域采样和时域添零操作频域采样:DTFT-DFT1(2 / )0()( )( )( )jj mmNjN mkmX ex meX kx me补零操作10)/2()()(, 00),()(MmmkMjeemxkXMmNNmmxmx 通过对采样信号后面补零来得到更高密更高密度的频谱度的频谱。低密度离散频谱,在使用线性内插重建连续频谱时会产生误差。提高频谱密度可以减少这个误差。 (3) 能量泄漏,分辨率损失和加窗操作NR( )( )( )x nx n w n可用数据=完整数据矩形窗()R1()()()()()d2jjjjjNXeX eW eX e W
3、e 傅利叶变换:-(1)/2()( )jjNRW eAe矩形窗幅频特性矩形窗幅频特性分辨率损失 1(2 / )0( ) cos0.35cos0.40.25cos0.8( )( ) ( )NjN mkmx mmmmX kx mwme可以看出频率分辨率决定于数据窗的持续时间(采样点数-1)窗口函数对分辨率和泄漏的影响v频率分辨率频率分辨率:窗口函数频谱的主瓣宽度。v泄漏:旁瓣谱峰的水平(导致虚假谱峰出现) 因此要根据实际情况选择不同的窗口。矩形窗具有最窄矩形窗具有最窄的主瓣宽度。旁瓣振幅的减的主瓣宽度。旁瓣振幅的减小只能以降低分辨率为代价小只能以降低分辨率为代价。利用矩形窗口分辨两个频率,应当使两
4、个频率的绝对差值大于矩形窗频谱的主瓣宽度:|w1-w2|mainWin各种不同窗口的属性比较和实域频域特性窗口旁瓣峰值(db)近似主瓣宽度精确主瓣宽度矩形窗-134pi/(N-1)1.81pi/(N-1)汉宁窗-328pi/(N-1)5.01pi/(N-1)汉明窗-438pi/(N-1)6.27pi/(N-1)凯撒窗-A(A-8)pi/(2.285N-1)多尔夫-切比雪夫窗-A5.2 平稳随机信号的谱估计 功率谱为自相关函数的Fourier变换 Wiener-Khintchine 定理 自相关的估计值 估计值的均值与方差mfmjxxxxemrfP2)()(1)Wiener-Khintchine
5、 定理1936年222)()(*)()()(mfmjxxemxfXfXfXfPnxxmnxnxmnxnxEmr)()()()()(2222()*( )( ) ()( )()( )( )( )jfmjfmxxmmnjfnjf n mxxnnrm ex n x nm ex n ex nm eXf X fPf (2) 自相关估计1, 2 , 1 , 0, )()(|1)(1|0NmkmxkxmNmrmNkxxN | | 101 ( )( ) ()mxxkrmx k x kmNunbiasedBiasedNonnegative definiteSmaller variance- 平稳随机信号的谱估计估
6、计估计1:估计估计2:估计量的均值和方差)(|1)()(1)(1|0mrNmmkxkxENmrExxmNkxxkxxxxxxxxmkrmkrkrNmrVar)()()(1)( 2Mean:Variance:是一个渐进无偏5.2.2 非参数功率谱密度估计方法 周期图法 Bartlett法(平均多个周期图, 采用不同数据块) Welch 法 (平均多个周期图, 采用重叠的数据块) Blackman-Tukey 法 (周期图平滑)(1) 周期图法 Periodogram Sir Arthur Schuster in 1899 Mean Variance22102| )(|1)(1)(fXNemxNf
7、PNmfmjxxefmjNNmxxxxmrNmfXENfPE21)1(2)(|1)(1)(efmjmxxxxNmrfPE2)()(lim222sin2sin1)()(fNfNfPfPVarxxxx一个无偏但不一致的估计An unbiased but not a consistent estimate12(1)( )( )NjfmxxxxmNPfr me(2) Bartlett 法平均多个不同数据块的周期图估计结果KiiXXBxxfKfPP1)()(1)(Mean:dvvfNvfvNfEfEPPPXXiXXBXX2/12/12)()(sin)(sin)(1)()(An asymptoticall
8、y unbiasedVariance:222sin2sin1)(1)(fNfNfPKfPVarXXBXX1/k of the variance of the periodogram(3) Welch 法 采用有重叠的数据块Mean:dvvfNvfvNfEfEPPPXXiXXBXX2/12/12)()(sin)(sin)(1)()(An asymptotically unbiasedVariance:222sin2sin1)(1)(fNfNfKfVarPPXXBXX1/k of the variance of the periodogramWelch-Bartlett 方法(4) Blackma
9、n-Tukey 法 加窗的谱估计Mean:Variance:Uw/k of the variance of the periodogramUw相关窗口的能量fmjNNmxxBTXXemrmwfP21)1()( )()(1)1(2)()()(NNmfmjcxxBTXXemwmrfPdvvfWvPfPcXXBTXX2121)()()(2w( )( )BTXXXXUVar PfPfN相关窗谱为单位面积时,为渐进无偏估计Blackman-Tukey 法方法理论和实践的比较 对功率谱加窗平滑等价于对估计的自相关序列进行加窗。对窗口有一定要求:三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以,但不适用于汉明
10、,汉宁或凯瑟窗。5.3 参数功率谱密度估计 Autoregressive (AR) Model(自回归) Moving-Averatge (MA) Model(移动平均) Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model(自回归移动平均)估计步骤:估计步骤: (1) 信号建模信号建模 (2) 估计模型参数估计模型参数 (3) 计算功率谱计算功率谱本节内容 5.3.1 信号模型及其功率谱 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型与 他们的功率谱 5.3.3 AR 模型的功率谱估计 Yule-Walker 方程 AR 模型特性 参数估计方法 5.3.4 MA模型的
11、功率谱估计 5.3.5 ARMA模型的功率谱估计平稳随机信号平稳随机信号白噪声白噪声线性移不变系统线性移不变系统有理函数模型有理函数模型:5.3.1 信号模型及其功率谱2222jjjxxjB eSeH eA e(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型 000, 1qkkkpkkkb zB zH zaA za z 10pqkkkkx na x nkb u nk 22111xxB z BzSzH z HzA z Az输入输出关系:系统方程:功率谱密度:零零-极点模型极点模型 111111 11 real is 1 : 1 then , real is
12、If zHerHerHzHerznhrezerzrezzHzHnhjjjjjj 2122xxjjxxSzB z B zSeB e(2) Moving Average 模型 0qkMAkkHzB zb z 0qkkx nb u nk输入输出关系:系统方程:功率谱密度:全零点模型全零点模型全极点模型全极点模型 212211xxjxxjSzA z A zSeA e(3) Autoregressive 模型 011ARpkkkHzA za z 1pkkx na x n ku n输入输出关系:系统方程:功率谱密度:模型模型:模型模型:模型模型: pAR qMAqpARMA,21,paa21,qbb,1p
13、aa21,qbb模型参数模型参数 k 1100 xxpkpkxxnllRmEx n x nmEx na x nmku nma RmkEx n u nmEx n u nmEh l u nlu nmh l E u nl u nm 220 lh lmlhm 5.3.2 AR 模型参数估计模型参数估计 222212000 ,00,0 causal 0 ( 0 ): 0lim1,00,0,00,0,0 (1)0,0zpxxkxxkpkxxkhmE x n u nmhmmhmmhH zmE x n u nmmmRma Rmkmma Rmkam 初值定理 1)( , 1, 0 0,1)( 0, 00,0 ,
14、0,020020121apmmkmRaammkmRamkmRamkmRamRpkxxkpkxxkpkxxkpkxxkxx(1)Yule-Walker 方程 001011011021pxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaRpRpRpRRRpRRR 00011011pxxxxxxxxxxxxaaRpRpRpRRR20 0pkxxka Rmkm求解上面方程式,即得到求解上面方程式,即得到AR模型参数模型参数5.3.3 MA和ARMA模型的功率谱估计ARMA 模型的模型的 Yule-Walker 方程方程 2101,0, 1, pq mkxxk mkkxxpkxxkaR m kb h kmqR m
15、aR m km q MA 模型的模型的 Yule-Walker 方程方程 , 0, 1, 0,02qmqmbbmRmqkkmkxx(*1) , qmxxxxmqSzRm zmqMA 模型的功率谱估计 不需要估计模型参数不需要估计模型参数bk, 只需根据已知数据估计出只需根据已知数据估计出|m|q的自相关函数,代入上式计算即可。的自相关函数,代入上式计算即可。 (*2)( )x n()/ ()Bz Az( )e n( )A z( )v n( )B z(1) 首先计算首先计算AR模型参数。模型参数。(*1)式)式(2) 利用利用AR模型对模型对x(n)滤波得到滤波得到v(n)(3) 利用利用v(n
16、)计算计算MA模型功率谱。模型功率谱。(*2)式)式211vvxxpjkkkSSa eARMA模型的功率谱估计5.4 基于子空间特征值分析的功率谱估计目标信号目标信号: 已知在白噪声中的已知在白噪声中的M个负指数序列和的个负指数序列和的N 个个采样值采样值 11, 0,1iMMjniciiix ns nv nA ev nnN, 1,ijciiAA eiM 和 需要估计需要估计. where are uncorrelated random variables that uniformly distributed over the intervali2 , 0 nvi例例1: 白噪声中单个复指数序
17、列白噪声中单个复指数序列Signal autocorrelation matrixNoise autocorrelation matrix 111111111 12c11121 111 112, 0, 1,1;011,1011, EE jnjcccTTj NjTcHHHHvHvx nA ev nnNAAenxxx Nneenvvv NnAnnnnAnnnnPnnPnnXSVSVxevxevRxxeevveeIRRReeRI TNjjeen11111e nnPH111eeRS11111111121211NjNjNjjNjjeeeeeePSR信号矢量:信号矢量:信号的自相关矩阵:信号的自相关矩阵:
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