系统建模 chapt4-系统辨识常用输入信号.ppt
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1、第四章第四章 系统辨识系统辨识常用输入信号常用输入信号Copyright by 东华大学信息学院24.1 随机过程的基本概念及其数学描述随机过程的基本概念及其数学描述 4.1.1 基本概念基本概念 随机过程:大量样本随机过程:大量样本 所构成的总体,其具有统计意所构成的总体,其具有统计意义上的规律性义上的规律性. 在每个孤立瞬间,在每个孤立瞬间, 的取值是的取值是随机的,一维概率密度随机的,一维概率密度 描述不同时刻描述不同时刻 取值之间的关取值之间的关系:二维概率密度系:二维概率密度 概率:概率: 三维,四维三维,四维 数字特征数字特征12( ),( ),x tx t ( )x t1( ,
2、)p x t( )x t21212( ,; , )px x t t2121212( ,; , )px x t t dx dxCopyright by 东华大学信息学院3 4.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 均值和相关函数均值和相关函数 与与 有关的数字特征量有关的数字特征量 与与 有关的数字特征量有关的数字特征量1( , )p x t1( )( )( , )xtE x txp x t dx21212( ,; , )px x t t1212122121212( , )( ) ( )( ,; , )xR t tE x t x tx x px x t t dx dx 自相关函数:自相关
3、函数:协方差函数:协方差函数: 12112211222121212( , )( ,; , )xxxxxC t tEx ttx ttx ttx ttpx x t t dx dx 2221( )( )( )( )( )( , )xxxtEx ttx ttp x t dx均值:均值:方差:方差:Copyright by 东华大学信息学院4 4.1.3 平稳随机过程,各态遍历性平稳随机过程,各态遍历性 平稳随机过程平稳随机过程 如果一个随机过程的统计性质不随时间改变,则称它如果一个随机过程的统计性质不随时间改变,则称它为平稳随机过程为平稳随机过程. 通常考虑的统计性质:通常考虑的统计性质: 对于平稳随
4、机过程:对于平稳随机过程:( )xt12( , )xR t t12( )( )xxxtt3412( , )( , )( )xxxR t tR t tRCopyright by 东华大学信息学院5 4.1.3 平稳随机过程,各态遍历性平稳随机过程,各态遍历性 各态遍历性各态遍历性 上述统计性质为上述统计性质为“集合平均值集合平均值” 具有具有“时间平均值时间平均值”的统计性质:的统计性质: 各态遍历的平稳随机过程:各态遍历的平稳随机过程:1lim( )2TiTTxx t dtT1( ) ()lim( ) ()2TiiTTx t x tx t x tdtTxx( ) ()( )xx t x tRC
5、opyright by 东华大学信息学院6 各态遍历的平稳随机过程各态遍历的平稳随机过程 两个互相关的随机过程两个互相关的随机过程 互相关函数互相关函数 互协方差函数互协方差函数 若若则称两信号互不相关则称两信号互不相关.111lim( )( )2NTxiTTkx t dtx kTN11( )lim( ) ()21( )( )( ) ()TxiiTTN lxxkRx t x tdtTRR lx k x klNl( )( ) ()xyRE x t y t( )( ), ()( )()( )xyxyxyxyCCov x ty tEx ty tR ( )0,xyC Copyright by 东华大学
6、信息学院74.2 最优输入信号最优输入信号 合理选择辨识的输入信号合理选择辨识的输入信号是是获得好的辨识结果的获得好的辨识结果的关键之一关键之一. 为了使系统是可辨识的,输入信号必须满足一定为了使系统是可辨识的,输入信号必须满足一定的条件,其最低要求是在辨识时间内系统的动态的条件,其最低要求是在辨识时间内系统的动态必须被输入信号持续激励。也就是说,在试验期必须被输入信号持续激励。也就是说,在试验期间输入信号必须充分激励系统的所有模态间输入信号必须充分激励系统的所有模态. 更进一步,输入信号的选择应能使给定问题的辨更进一步,输入信号的选择应能使给定问题的辨识模型精度最高,这就引出了最优输入信号的
7、设识模型精度最高,这就引出了最优输入信号的设计问题。计问题。 大多数最优输入信号设计准则中都采用与大多数最优输入信号设计准则中都采用与Fisher信息矩阵相关的指标函数信息矩阵相关的指标函数 J = (M-1), 即选择输入即选择输入信号使得信号使得J最小最小.Copyright by 东华大学信息学院8 常用的常用的最优输入信号具有脉冲式自相关函数最优输入信号具有脉冲式自相关函数: 当当 N 很大时,很大时,白噪声或白噪声或 M 序列序列可近似满足这一要求可近似满足这一要求; 当当 N 不大时,并非对所得的不大时,并非对所得的 N 都能找到这种输入信号都能找到这种输入信号. 在具体在具体工程
8、应工程应用用中,选择输入信号时还应该考虑中,选择输入信号时还应该考虑以下因素:以下因素: 输入信号的功率或幅度不宜过大,以免使系统工作在输入信号的功率或幅度不宜过大,以免使系统工作在非线性区,但也不应过小,以致信噪比太小,直接影非线性区,但也不应过小,以致信噪比太小,直接影响辨识精度;响辨识精度; 输入信号对系统的输入信号对系统的“静静扰动扰动”要小,即应使正负扰动要小,即应使正负扰动机会几乎均等;机会几乎均等; 工程上要便于实现,成本低工程上要便于实现,成本低. 常用的输入信号:白噪声,常用的输入信号:白噪声,M序列等序列等jijijkuikuNNk01)()(11Copyright by
9、东华大学信息学院94.3白噪声及其产生方法白噪声及其产生方法 4.3.1 白噪声的概念白噪声的概念 白噪声过程是由一系列不相关的随机变量组成的一种白噪声过程是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程理想化随机过程. 白噪声过程没有白噪声过程没有“记忆性记忆性”. 数学描述:如果随机过程数学描述:如果随机过程 w(t) 满足满足则称则称该随机过程为白噪声过程该随机过程为白噪声过程.)()()()(2twtwERw0)(twEwCopyright by 东华大学信息学院10 白噪声过程白噪声过程 的平均功率谱的平均功率谱密度(自相关函数的傅立叶密度(自相关函数的傅立叶变换):变换): 上式
10、上式表明功率在表明功率在全频段内均匀分布全频段内均匀分布。基于这一特点,。基于这一特点,借用光学里的借用光学里的“白色光白色光”,由于白光是由各,由于白光是由各种频率种频率(颜色)的单色光混合而成,因而此信号的颜色)的单色光混合而成,因而此信号的这种这种具有平具有平坦功率谱的性质被称作是坦功率谱的性质被称作是“白色的白色的”,所以称这种噪,所以称这种噪声为声为“白噪声白噪声”. 不具有该性质的为有色噪声。不具有该性质的为有色噪声。 总结:总结:白噪声过程是一种最简单的随机过程,是均值白噪声过程是一种最简单的随机过程,是均值为为0,脉冲式自相关函数,功率谱密度为非,脉冲式自相关函数,功率谱密度为
11、非0常数的平常数的平稳随机过程。稳随机过程。2)(wS2( )( )wR Copyright by 东华大学信息学院11 近似白噪声过程:近似白噪声过程: 时域:时域: 远小于过程的时间函数远小于过程的时间函数 频域:频域: 远大于过程的截止频率远大于过程的截止频率 讨论白噪声时,还要涉及到白噪声的概率分布,服讨论白噪声时,还要涉及到白噪声的概率分布,服从正态分布的白噪声称为高斯白噪声从正态分布的白噪声称为高斯白噪声.0002, 0,)(WS0002sin)(WR0低通白噪声过程低通白噪声过程Copyright by 东华大学信息学院12 白噪声白噪声序列序列 从实验的角度讲,连续的白噪声不容
12、易产生,而离散从实验的角度讲,连续的白噪声不容易产生,而离散的白噪声较容易产生的白噪声较容易产生. 白噪声序列就是白噪声过程的一种离散形式白噪声序列就是白噪声过程的一种离散形式. 数学描述:数学描述:如果随机序列如果随机序列 两两不相关,自相关函两两不相关,自相关函数为:数为: 对应的谱密度为:对应的谱密度为:)(kw., 2, 1, 0,)(2kkRkw0, 00, 1kkk2)()(kkjwwekRSCopyright by 东华大学信息学院13 表示定理表示定理 若测量数据所含的噪声为白噪声,只需用较简单的辨若测量数据所含的噪声为白噪声,只需用较简单的辨识方法,就可得到较好的辨识结果,如
13、相关分析法和识方法,就可得到较好的辨识结果,如相关分析法和最小二乘法;最小二乘法; 工程实际中的数据所含的噪声通常是有色噪声,即噪工程实际中的数据所含的噪声通常是有色噪声,即噪声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声是相关的声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声是相关的. 表示定理阐述的问题就是将有色噪声通过白噪声描述表示定理阐述的问题就是将有色噪声通过白噪声描述. 表示定理:表示定理:可以证明:如果可以证明:如果 的谱密度的谱密度 是是 的有理函数的有理函数,那么一定存在一个成型滤波器,它的脉冲传递函数,那么一定存在一个成型滤波器,它的脉冲传递函数为为且分子、分母且分子、分母的根都在的根都在
14、z 平面的单位圆内平面的单位圆内.)( ke)(eScosddccnnnnzdzdzczczCzDzH111111111)()()(Copyright by 东华大学信息学院14 应用举例:应用举例: 设平稳有色噪声序列设平稳有色噪声序列 的自相关函数为的自相关函数为则相应的功率谱密度函数为:则相应的功率谱密度函数为:要求证明,要求证明,有色噪声序列有色噪声序列 可以看作是由方差为可以看作是由方差为1的的白噪声白噪声 驱动如下成形滤波器的输出:驱动如下成形滤波器的输出:证明:由滤波器得证明:由滤波器得假设假设 e(0)=0,并利用反复迭代,并利用反复迭代 )( ke1;, 2, 1, 0,1)
15、(22alaalRle1;,cos21)(222aaaSe)( ke ( )w k1,1)(11aazzH( )(1)( )e kae kw k( )( )(1)e kw kae k22( )( )( )( )( )0wwwwEw ttR tttCopyright by 东华大学信息学院15)1 () 1()()(1wakawkwkek则则 e(k)的自相关函数为(的自相关函数为(l =0)1121222222( )( ) ()( )(1)(1)()(1)( )(1)11eklk llklllkklR lE e k e klw kaw kawEw klaw kla w kawaaaaaaa 2
16、2222111)(aaaaalRlkle21a k足够大足够大由于相关函数是偶函数,则上式可写成:由于相关函数是偶函数,则上式可写成:1;, 2, 1, 0,1)(22alaalRle证毕证毕.Copyright by 东华大学信息学院164.3.2 白噪声序列的产生方法 如何在计算机上比较经济地产生理想的各种不同分布的白如何在计算机上比较经济地产生理想的各种不同分布的白噪声序列是辨识仿真研究中的一个重要问题噪声序列是辨识仿真研究中的一个重要问题. 目前,已有目前,已有大量成熟的计算方法和应用程序可供查询和调用。大量成熟的计算方法和应用程序可供查询和调用。 白噪声序列白噪声序列 随机数随机数
17、理论上,只要有了一种具有连续分布的随机数,通过函数理论上,只要有了一种具有连续分布的随机数,通过函数变换,就可产生其他任意分布的随机数变换,就可产生其他任意分布的随机数. (0, 1)均匀分布的随机数是最简单、最基本的一种均匀分布的随机数是最简单、最基本的一种. 正态分布的随机数是我们最关心的一种正态分布的随机数是我们最关心的一种.因为根据概率论因为根据概率论中的大数定律,当样本数据足够大时,许多其他分布的随中的大数定律,当样本数据足够大时,许多其他分布的随机序列常可近似看作正态分布随机序列机序列常可近似看作正态分布随机序列.Copyright by 东华大学信息学院17(0,1)均匀分布随机
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