随机过程3(1.3).ppt
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- 关 键 词:
- 随机 过程 1.3
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1、7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类.随机过程可以按照不同的标准进行分类随机过程可以按照不同的标准进行分类.本讲按照随机过程所具有的一些性质本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要介绍几类重要的随机过程的随机过程: 二阶矩过程二阶矩过程 正态过程正态过程 正交增量过程正交增量过程 独立增量过程独立增量过程 Wiener过程过程 Poisson过程过程1.二阶矩过程二阶矩过程定义定义若若S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的一、二阶矩存在,的一、二阶矩存在, 则称则称. .X(t),tT.X
2、(t),tT是是二阶矩过程二阶矩过程注注 二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程的性质的性质.(下章内容下章内容)二阶矩过程的相关函数具有以下性质二阶矩过程的相关函数具有以下性质 定理定理 设设X(t),tTX(t),tT是二阶矩过程是二阶矩过程, ,则相关函数则相关函数R RX X(s,t)(s,t)有有 (1)(1)共轭对称性共轭对称性 R RX X(s,t)=R(s,t)=RX X(t,s)(t,s) (2)非负定性非负定性 对任意对任意 t1,t2,tnT,T,任意复数
3、任意复数 1 ,2, n有有0),(11lklnknlkXttR证明证明(1) RX(s,t)=EX(s)X(t)=EX(s)X(t)= RX(t,s)(2) lklnknlkXttR),(11lklnknlktt)X()(XE11_)X()(XE11_llnknlkktt)X( )X(E11_llnknlkktt)X()()X(E(11_lnknllkkttnlllnkkktt1_1)X()X(E0)(XE21nkkkt2.正态过程正态过程补充补充:n维正态随机变量分布及性质维正态随机变量分布及性质11()()21221( )(2 )( , )T12nn12xBxnX =(X ,X ,.,X
4、 )nfeBX =(X ,X ,.,X )BnNBx定义 设是 维随机变量,如果其联合概率密度函数为则称服从均值向量为 ,协方差矩阵为 的是 维正态分布.记X)( , ).12nnkkkk=1X ,X ,.,XNBYl Xl定理 设X=(则(1) =服从一维正态分布是常数2).Xm mnm( ) 的(个分量服从 维正态分布3)mNC BCTn m( )Y=XC(C),服从 维正态分布 ( C, 正态过程定义正态过程定义 设设X(t),tT是是S.P. ,若对任意的若对任意的n1 及及t1,t2,tnTT, X(t1), X(t2), , X(tn),是是n维正态随机变量维正态随机变量, 则称则
5、称S.P.X(t),tT为为正态过程正态过程或或高斯过程高斯过程注意注意(1) 若若X(t),tT是一族正态随机变量是一族正态随机变量, 但但X(t),tT不一定是正态过程不一定是正态过程. (2) 正态过程的有限维分布由其均值函数正态过程的有限维分布由其均值函数 与相关函数完全确定与相关函数完全确定.(3) 正态过程是二阶矩过程正态过程是二阶矩过程.举例举例独立的独立的r.v.,且都服从正态分布,且都服从正态分布N(0,2 2),),是常数是常数设设S.P.( )cossin,X tAtBt tR试证明试证明 该过程是正态过程,并求它的有限维分布该过程是正态过程,并求它的有限维分布,其中其中
6、A,B为相互为相互3.正交增量过程正交增量过程定义定义 设设X(t),tT是二阶矩过程,若对任意的是二阶矩过程,若对任意的 t1t2 t3 t4TT 都有都有0)(X)(X)()(X)X(E34_12tttt则称则称S.P. X(t),tT是一是一正交增量过程正交增量过程.注注: 这里这里 =EXY可视为内积可视为内积 若若T取为有限区间取为有限区间a,b,对对astb ( )( )( )( )0E X sX aX tX s 特别的,当特别的,当X(a)=0时,有时,有( )( )( )0E X sX tX s 定理定理 设设X(t),ta,ba,b是正交增量过程是正交增量过程, 且且X(a)
7、=0,则则(2) X X(t)(t)是单调不减函数是单调不减函数),(min(),(tstsRXX,bats)()(),(min(),(min(),(2tmsmtsmtsDtsCXXXXX(1),bats4 独立增量过程独立增量过程设设X(t),tTT是一是是一是S.P. 如果对如果对3n 12,ntttT 21321( )( ),( )( ),( )()nnX tX tX tX tX tX t是相互独立的随机变量,则称是相互独立的随机变量,则称X(t),tT是是独立增量过程独立增量过程以及以及有有如果对于任意如果对于任意 stT,T,X(t)-X(s)X(t)-X(s)的分布仅依赖于的分布仅
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