工程测试与信号分析研究生课件：ch6-03.ppt

1、MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系李锡文李锡文 轩建平轩建平 课件资料下载：课件资料下载：邮箱地址：邮箱地址： “机械工程测试机械工程测试”每个字拼音的第一个字母每个字拼音的第一个字母 密码：密码：111111注意下载时不要删除原始文件注意下载时不要删除原始文件 第六章第六章 数字信号分析数字信号分析(I)DFT与与FFT46-5 现代谱分析方法现代谱分析方法-最大熵谱估计最大

2、熵谱估计6-3 FFT6-4 谱分析与谱估计谱分析与谱估计6-2 DFT6-1 模拟信号离散化模拟信号离散化目录目录56-3 FFT算法6.3.1、DFT的计算工作量 1, 1 , 0 ,)()(10NkWnxkXNnnkN101, 1 , 0 ,)(1)(NknkNNnWkXNnxqFFT背景背景2jNNWe两者的差别仅在指数的符号和因子两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.6q通常通常x(n)和和WNnk都是复数，所以计算一个都是复数，所以计算一个x(k)的值的值需要需要N次次复数乘法运算，和复数乘法运算，和N-1次次复数加法运算。复数加法运算。那么，所有的那么，所有的X(k)就要就要N2

3、次复数乘法运算，次复数乘法运算，N(N-1)次复数加法运算。当次复数加法运算。当N很大时，运算量将是惊人的很大时，运算量将是惊人的,如如N=1024，则要完成，则要完成1048576次次(一百多万次一百多万次)运算。运算。难以做到实时处理。难以做到实时处理。q计算一个计算一个X(k)的值的计算量，如的值的计算量，如X(1)，k=11210) 1() 2() 1 () 0() 1 (NNNNNWNxWxWxWxX76.3.2、改进的途径、改进的途径 2. WNnk的对称性和周期性的对称性和周期性()2()(),;NnknkNNnkn N kn k NNNNWWWWW.),1( 1),1()2/(

4、2/)(2)()(2kNNkNjNNNnkNnNNkNnkNknNNkNnNWWeWWeWWWWWN得得: :对称性对称性: :周期性周期性: :1. WN0=1； WNN/2=e-j2 /NN/2 = -1 不必运算不必运算8q利用上述特性，可以将有些项合并，并将DFT分解为短序列，从而降低运算次数，提高运算速度。1965年，库利(cooley)和图基(Tukey)首先提出FFT算法。对于N点DFT，仅需(N/2)log2N次复数乘法运算。例如N=1024=210时，需要(1024/2)log2210 =512*10= 5120 次。5120/1048576=4.88%，速度提高20倍。96

5、.3.3、库利、库利-图基算法图基算法一、算法原理一、算法原理(基基2FFT)(一) N/2点DFT1. 先将先将x(n)按按n的奇偶分为两组作的奇偶分为两组作DFT，设设N=2L ，不足时，可，不足时，可补些零。有补些零。有: n为偶数时为偶数时： n为奇数时：为奇数时：1, 1 , 0 ),() 12(1, 1 , 0 ),()2(2221NNrrxrxrrxrx10( ) ( )( )NnkNnX kDFT x nx n W因此，因此，按时间抽取按时间抽取(DIT)的的FFT算法算法 库利库利-图基算法图基算法10库利库利-图基算法图基算法所以，上式可表示为：222)/(222NNNWe

6、eWjjN由于：)()()()()(211021012222kXWkXWrxWWrxkXkNrrkkNrrkNNNN1022102110)12(10210102222)()()12()2()()()(NNNNrrkNkNrrkNrkrNrrkNNnNnnkNnkNWrxWWrxWrxWrxWnxWnxkX(n为偶数)(n为奇数)11库利库利-图基算法图基算法2. 两点结论两点结论: (1) X1(k)，X2(k)均为均为N/2点的点的DFT。 (2) X(k)=X1(k)+WNkX2(k)只能确定出只能确定出X(k)的的k=N/2-1个、即个、即前一半前一半的结果。的结果。2(0), (1),

7、 (1)Nxxx10102210101122222222) 12()()()2()()(NNNNNNNNrrkrrkrrkrrkWrxWrxkXWrxWrxkX其中其中,12库利库利-图基算法图基算法q同理，同理，X2(N/2+k)=X2(k)，即即X1(k)，X2(k)的后一的后一半，分别等于其前一半的值。半，分别等于其前一半的值。)()()()2(1101)(101122222kXWrxWrxkNXNNNNNrrkkrr由于WN/2r(k+N/2)=WN/2rk (周期性）周期性）, ,所以:(3) X(k)的后一半的确定的后一半的确定13库利库利-图基算法图基算法q可见，见，X(k)的后

8、一半，也完全由的后一半，也完全由X1(k)，X2 (k)的前一的前一半所确定。半所确定。q*N点的点的DFT可由两个可由两个N/2点的点的DFT来计算。来计算。1, 1 , 0 ),()()2()2()2(221212NkNkNkkXWkXNkXWNkXNkXN又由于WN(N/2+k)=WNN/2WNk= -WNk，所以144. 蝶形运算蝶形运算实现上式运算的流图称作蝶形运算实现上式运算的流图称作蝶形运算前一半前一半后一半后一半（N/2个蝶形个蝶形)( (前一半前一半) )( (后一半后一半) )1 1 11-1-1)()()()()()(2121kXWkXkXkXWkXkXkNkN)1,()

9、1, 1 ,0(22 N Nk kk kN NN N)()()(21kXWkXkXkN)()()2(21kXWkXkNXkN)(1kX)(2kXkNW由X1(k)、X 2(k)表示X(k)的运算是一种特殊的运算-碟形运算碟形运算155.计算工作量分析计算工作量分析(1)N/2点的点的DFT运算量：复乘次数运算量：复乘次数:(N/2)2=N2/4 复加次数复加次数:N/2(N/2-1)(2)两个两个N/2点的点的DFT运算量：复乘次数运算量：复乘次数:N2/2 复加次数复加次数: N/2(N/2-1)(3)N/2个蝶形运算的运算量：复乘次数个蝶形运算的运算量：复乘次数:N/2 复加次数复加次数:

10、2.N/2=N复乘:复加:2)12(2NNNN22222NNN总共运算量总共运算量: :按奇、偶分组后的计算量：按奇、偶分组后的计算量：p但是，但是，N点点DFT的复乘为的复乘为N2；复加为；复加为N(N-1)；与分解后相比；与分解后相比可知，计算工作点差不多减少可知，计算工作点差不多减少 一半。一半。16q例如：例如：N=8 时的时的DFT,可以分解为两个可以分解为两个N/2 = 4点的点的DFT。具体方法如下。具体方法如下： (1) n为偶数时，即为偶数时，即x(0)，x(1)，x(2)，x(3)； 分别记作分别记作：33114400( )( )(2 ),0,1,2,3rkrkrrX kx

11、 r Wx r Wk);6()3(),4()2(),2()1(),0()0(1111xxxxxxxx进行进行N/2=4点的点的DFT，得，得X1(k)17 (2) n为奇数时为奇数时，分别记作，分别记作:2222(0 )(1),(1)(3),(2 )(5),(3)(7 );xxxxxxxx33224400( )( )(21),0,1,2,3rkrkrrXkxr WxrWk1212( )( )( )(4)( )( ),0,1,2,3kNkNX kX kW X kX kX kW X kk进行进行N/2=4点的点的DFT，得，得X2(k)18x1(0)= x(0) x1(1)=x(2)x1(2)=x

12、(4) x1(3)=x(6) x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7) X X1(0)(0)X X1(1)(1)X X1(2)(2)X X1(3)(3)X X2(0)(0)X X2(1)(1)X X2(2)(2)X X2(3)(3)-1-1-1-1X(0)X(0)X(1)X(1)X(2)X(2)X(3)X(3)X(4)X(4)X(5)X(5)X(6)X(6)X(7)X(7)(3)对对X1(k)和和X2(k)进行蝶形运算，前半部为进行蝶形运算，前半部为X(0) X(3)，后半部分为后半部分为X(4) X(7)，整个过程如下图所示整个过程如下图所示:N

13、/2点DFTN/2点DFT0NW1NW2NW3NW19(二二) N/4点点DFTq由于由于N=2L，所以所以N/2仍为偶数，可以进一步把每个仍为偶数，可以进一步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分分解为两个点的序列再按其奇偶部分分解为两个N/4的子序的子序列。例如，列。例如，n为偶数时的为偶数时的 N/2点分解为点分解为:134144(2 )( ), 0,1,1(21)( ), 0,1,1NNxlx lxlx l进行N/4N/4点的DFTDFT，得到klNllkNllkNllkNlWlxWlxkXWlxWlxkXNNNN) 12(2/1014/104422/1014/1033) 12()()()

14、2()()(4444( (偶中偶) )(偶中奇)20)()()(4312kXWkXkXkN1, 1 , 04Nk从而可得到前N/4点的X1(k)()()4(4312kXWkXkNXkN后N/4点的X1(k)为：1, 1 , 04Nk21(奇中偶奇中偶)104/64/1026104/5104/254444)()12()()()2()(NNNNllkNlkNlllkNllkNWlxWlxkXWlxWlxkX(奇中奇奇中奇)q同样对同样对n为奇数时，为奇数时，N/2点分为两个点分为两个N/4点的序列进行点的序列进行DFT，则有：，则有：k25N/26k25N/26X (k)X (k)WX (k) ;

15、k0,1,14NX (k)X (k)WX (k) ;k0,1,144NN进行碟形运算，得：、由)()(65kXkX22q例如，例如，N=8时的时的DFT可分解为四个可分解为四个N/4的的DFT，具体，具体步骤如下：步骤如下：)4()2() 1 ()0()0()0()()()(131313xxxxxxnxrxlx(1) 将原序列x(n)的“偶中偶”部分：构成N/4点DFT，从而得到X3(0)， X3(1)。23)6()3()1()2()1()0()()()(141414xxxxxxnxrxlx(2) 将原序列x(n)的“偶中奇”部分:构成N/4点DFT，从而得到X4(0), X4(1)。(3)

16、将原序列x(n)的“奇中偶”部分:)5()2()1()1()0()0()()()(252525xxxxxxnxrxlx构成N/4点DFT，从而得到X5(0), X5(1)。24(4) 将原序列x(n)的“奇中奇”部分:)7()3()1()3()1()0()()()(262626xxxxxxnxrxlx构成N/4点DFT，从而得到X6(0), X6(1)。（5）由 X3(0), X3(1), X4(0), X4(1)进行碟形运算, 得到X1(0), X1(1), X1(2), X1(3)。（6）由 X5(0), X5(1), X6(0), X6(1)进行碟形运算, 得到X2(0), X2(1),

17、 X2(2), X2(3)。25-1-1-1-2-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)（7）由X1(0), X1(1), X1(2)，X1(3)，X2(0)， X2(1)，X2(2)，X2(3)进行碟形运算进行碟形运算，得到X(0), X(1), X(2), X(3) X(4), X(5), X(6), X(7) 。x3(0)=x1(0)=x(0)x3(1)=x1(2)=x(4)x4(0)=x1(1)=x(2)x4(1)=x1(3)=x(6)x5(0)=x2(0)=x(1) x5(1)=x2(2)=x(5) x6(0)=x2(1)=x(3)x6(1)=x2(3

18、)=x(7)N/4DFTN/4DFTN/4DFTN/4DFT0NW1NW2NW3NW1(0)X1(0)X1(0)X1(0)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X0NW2NW0NW2NW3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X26q这样这样, ,又一次分解又一次分解, ,得到四个得到四个N/4点点DFT，两级两级蝶蝶形运算，其运算量有大约减少一半即为形运算，其运算量有大约减少一半即为N点点DFT的的1/4。q对于对于N=8时时DFT，N/4点即为两点点即为两点DFT，因此因此0,1k ,)()(0,1k ,)()(0,1k ,)()(0,1k ,)()

19、(4/1066104/55104/44104/33lkNlllkNllkNllkNWlxkXWlxkXWlxkXWlxkX27亦即亦即, , )4()0() 1 ()0() 1 ()4()0() 1 ()0()0(031233030233xWxxWxXxWxxWxXNN)6()2() 1 ()0() 1 ()6()2() 1 ()0()0(041244040244xWxxWxXxWxxWxXNN) 5() 1 () 1 ()0() 1 () 5() 1 () 1 ()0()0(051255050255xWxxWxXxWxxWxXNN)7() 3() 1 ()0() 1 ()7() 3() 1

20、()0()0(061266060266xWxxWxXxWxxWxXNN28-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)xxx因此因此,8 8点点DFTDFT的的FFTFFT的运算流图如下的运算流图如下0NW0NW0NW0NWx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)3NW2NW1NW0NW0NW2NW0NW2NWx3(0)x3(1)x4(0)x4(1)x5(0)x5(1)x6(0)x6(1)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)29q此此FFT算法，是在时间上对输

21、入序列的次序算法，是在时间上对输入序列的次序是属于偶数还是属于奇数来进行分解的，是属于偶数还是属于奇数来进行分解的，所以称作按所以称作按时间时间抽取的算法抽取的算法(DIT)。二、运算量二、运算量 由上述分析可知，由上述分析可知，N=8需三级蝶形运算需三级蝶形运算N=2 =8，由此可知，由此可知，N=2L 共需共需L级蝶形运算级蝶形运算,而且每级都而且每级都由由N/2个蝶形运算组成，每个蝶形运算有一次个蝶形运算组成，每个蝶形运算有一次复乘，两次复加。复乘，两次复加。3 330q因此，因此，N点的点的FFT的运算量为：的运算量为： 复乘复乘: mF=(N/2)L=(N/2)log2N 复加复加:

22、 aF=N L=Nlog2Nq由于计算机的乘法运算比加法运算所需由于计算机的乘法运算比加法运算所需的时间多得多，故以乘法运算作为比较的时间多得多，故以乘法运算作为比较基准。基准。31三、三、DIT的的FFT算法的特点算法的特点-1-1-1-1-1-1-1-1.1.1.原位运算原位运算 输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器。输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器。x(0)=X0(0)x(4)=X0(1) x(2)=X0(2) x(6)=X0(3)x(1)=X0(4)x(5)=X0(5)x(3)=X0(6)x(7)=X0(7)0NW0NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW

23、1NW2NW3NWX2(0)X2(1) X2(2) X2(3)X2(4)X2(5)X2(6)X2(7)X3(0)=X(0)X3(1)=X(1) X3(2)=X(2)X3(3)=X(3)X3(4)=X(4)X3(5)=X(5)X3(6)=X(6)X3(7)=X(7)X1(0)X1(1) X1(2) X1(3)X1(4)X1(5)X1(6)X1(7)32rNmmmrNmmmWjXkXjXWjXkXkX)()()()()()(1111),3()6(),2()2(),1 ()4(),0()0(0000XxXxXxXx).7()7(),6() 3(),5()5(),4() 1 (0000XxXxXxXx

24、q由运算流图可知，一共有由运算流图可知，一共有N个输入个输入/出行，一共有出行，一共有log2N=L列列(级级)蝶形运算蝶形运算(基本迭代运算基本迭代运算)。 q设用设用m(m=1,2, ,L)表示第表示第m列；用列；用k,j表示蝶形输入数据所在表示蝶形输入数据所在的的(上上/下下)行数行数(0,1,2, ,N-1)；这时任何一个蝶形运算可用下；这时任何一个蝶形运算可用下面通用式表示，即：面通用式表示，即：33所以，当所以，当m=1时，则有（前两个蝶形）则有（前两个蝶形）00010001)1()0()1()1()0()0(NNWXXXWXXX00010001)3()2()3()3()2()2(

25、NNWXXXWXXX34当当m=2时时，则有，则有(前两个蝶形前两个蝶形)2112211201120112)3()1()3()3()1()1()2()0()2()2()0()0(NNNNWXXXWXXXWXXXWXXX1223122302230223)5()1()5()5()1()1()4()0()4()4()0()0(NNNNWXXXWXXXWXXXWXXX当当m=3时时，则有，则有(前两个蝶形前两个蝶形) 35q可见，在某列进行蝶形运算的任意两个节点可见，在某列进行蝶形运算的任意两个节点(行行)k和和j的节点变量的节点变量Xm-1(k)，Xm-1(j)就完全可以确定蝶形就完全可以确定蝶形运

26、算的结果运算的结果Xm(k)，Xm(j)，与其它行，与其它行(节点节点)无关。无关。 这样，蝶形运算的两个输出值仍可放回蝶形运算这样，蝶形运算的两个输出值仍可放回蝶形运算的两个输入所在的存储器中，即实现所谓原位运的两个输入所在的存储器中，即实现所谓原位运算。每一组算。每一组(列列)有有N/2个蝶形运算，所以只需个蝶形运算，所以只需N个存个存储单元，可以节储单元，可以节 省存储单元。省存储单元。362. 倒位序规律倒位序规律 由图可知，输出由图可知，输出X(k)按正常顺序排列在存储单元，按正常顺序排列在存储单元，而输入是按顺序：而输入是按顺序：;7 (),3 (),5 (),1 (;6 (),2

27、(),4(),0 (）xxxxxxxx这种顺序称作倒位序，即二进制数倒位。这种顺序称作倒位序，即二进制数倒位。37n0=0，(偶)n1=0n1 =1n1 =0n1 =101010101 ),(012nnnx(n2)x(000) 0 乾x(100) 4 兑x(010) 2 离x(110) 6 震x(001) 1 巽x(101) 5 坎x(011) 3 艮x(111) 7 坤这是由奇偶分组造成的，以N=8为例说明如下：n0=1，(偶)383.3.倒位序实现倒位序实现 输入序列先按自然顺序存入存储单元，然后经输入序列先按自然顺序存入存储单元，然后经变址运算来实现变址运算来实现倒位序排列倒位序排列 设

28、输入设输入序列的序号为序列的序号为n，二进制为，二进制为(n2 n1 n0 )2，倒位序倒位序顺序用顺序用 表示，其表示，其倒位序倒位序二进制为二进制为(n0 n1 n2 )2 ，例如，例如，N=8时如下表：时如下表： n390 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 1 0 2 3 0 1 1 1 1 0 6 4 1 0 0 0 0 1 1 5 1 0 1 1 0 1 5 6 1 1 0 0 1 1 3 7 1 1 1 1 1 1 7 自然顺序自然顺序n 二进制二进制n2 n1 n0 倒位序二进制倒位序二进制n0 n1 n2 倒位顺序倒位顺序 n40A

29、(1) A(2) A(3) A(4) A(5) A(6) A(7) A(8)x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)变址处理方法变址处理方法存储单元存储单元自然顺序自然顺序变址变址倒位序倒位序4. 蝶形运算两节点的距离：蝶形运算两节点的距离：2m-1其中，其中，m表示第表示第m列，且列，且m =1, ,L例如例如N=8=23，第一级，第一级(列列)距离为距离为21-1=1， 第二级第二级(列列)距离为距离为22-1=2， 第三级第三级(列列)距离为距离为23-1=4。415. W

30、Nr 的确定的确定(仅给出方法仅给出方法) 考虑蝶形运算两节点的距离为考虑蝶形运算两节点的距离为2m-1，蝶形运算可表为：蝶形运算可表为： Xm(k)=Xm-1(k)+Xm-1(k+2m-1)WNr Xm(k+2m-1)=Xm-1(k)-Xm-1(k+2m-1)WNr 由于由于N为已知，所以将为已知，所以将r的值确定即可。的值确定即可。 为此，令为此，令k=(n2 n1 n0)2，再将，再将k= (n2 n1 n0)2 左移左移(L-m)位，位，右边位置补零，就可得到右边位置补零，就可得到(r)2的值，即的值，即(r)2 =(k)22L-m 。 42 例如：例如：N=8=23 (1) k=2，

31、m=3的的r值，因值，因k=2=(010)2 左移左移L-m=3-3=0 ，故故 r=(010)2=2； (2) k=3，m=3的的r值；因值；因k= 3=(011)2左移左移0位，位，r =3； (3) k=5，m=2的的r值；因值；因k=5=(101)2 左移左移L-m=1位，位，r=(010)2 =2。436.存储单元存储单元 存输入序列存输入序列 (n)，n=0, 1, N-1，计计N个单元个单元； 存放系数存放系数WNr，r=0, 1, , (N/2)-1，需需N/2个存个存储单元；储单元； 共计共计(N+N/2)个存储单元个存储单元。x446.3.4 IFFT算法算法一一. 稍微变

32、动稍微变动FFT程序和参数可实现程序和参数可实现IFFTnkNNkNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX1010)(1)()()()()(q比较两式可知比较两式可知,只要只要DFT的每个系数的每个系数WNnk 换成换成WN-nk，最后再，最后再乘以常数乘以常数1/N就可以得到就可以得到IDFT的快速算法的快速算法-IFFT。q另外，可以将常数另外，可以将常数1/N分配到每级运算中，分配到每级运算中，1/N =1/2L=(1/2)L，也就是每级也就是每级蝶形运算均乘以蝶形运算均乘以1/2。 45利用利用FFT程序实现程序实现IFFT二二. 不改不改(FFT)的程序直接实现的程序直

33、接实现IFFT 1*0101( )( )1( )NnkNkNnkNkxnX k WNXk WN101()()1()NnkNkx nXk WND F TXkN,nknkNNWWA BA B因为因为所以所以因此因此q步骤为：先将步骤为：先将X(k)取共轭取共轭，即将即将X(k)的虚部乘的虚部乘-1，直接利用直接利用FFT程序计算程序计算DFT；然后再取一次共轭；最后再乘然后再取一次共轭；最后再乘1/N，即得即得 x(n)。所以。所以FFT，IFFT可用一个子程序可用一个子程序。46 6.3.5 线性卷积的线性卷积的FFT算法算法一、线性卷积的长度一、线性卷积的长度 设一离散线性移不变系统的冲激响应

34、为设一离散线性移不变系统的冲激响应为h(n)，其输入信号，其输入信号为为x(n)，其输出为，其输出为y(n)，并且，并且x(n)的长度为的长度为L点，点，h(n)的长的长度为度为M点，则：点，则： )(nh10)()()()()(Lmmnhmxnhnxny)(ny)(ny)(nx( )h n以实例说明：以实例说明：0 1 0 1 2 2 3 31 12 23 3)(mx)(mh01211470 1 0 1 1 12 23 32 3300)()() 0(mmhmxy301)1 ()() 1 (mmhmxy( )x m()hm(1)hm480 0 1 1 2 2 3 3。0 1 0 1 1 12

35、23 32 3。303)2()() 2(mmhmxy306)3()() 3(mmhmxy(2)hm(3)hm( )x m490 0 1 1 2 2 3 3 4 40 1 0 1 1 12 23 32 30 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5。305)4()() 4(mmhmxy303)5 ()() 5 (mmhmxy( )x m(4)hm(5)hm500 0 1 1 2 2 3 3 4 5 64 5 61 13 33 35 56 6。可见，y(n)的长度为L+M-1( )y n51二、用FFT算y(n)的步骤q1、将、将x(n)，y(n)补零点，至少为补零点，至少为N=M+L-1点；点；q2、求、求H(k)=FFTh(n)；q3、求、求X(k)=FFTx(n)；q4、求、求Y(k)=X(k)H(k)；q5、求、求y(n)=IFFTY(k)；FFTFFTIFFTxx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)流程图流程图52三、几点说明三、几点说明1、当当 M=L 时时，用圆周卷积计算线性卷积用圆周卷积计算线性卷积的速度快的速度快，点数越多点数越多，速度越快速度越快，N64时时，速度增加明显速度增加明显。2、LM 时时，速度增加不太明显速度增加不太明显，为了增为了增加速度加速度，采用采用 (1)重叠相加法重叠相加法 (2)重叠保重叠保留法留法(从略从略)。