概率统计课件：2011 第3章.ppt

1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量第二节 边缘分布第三节 条件分布第四节 随机变量的独立性第五节 两个随机变量的函数的分布 有些随机现象只用一个随机变量来描述有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。述。实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就就是一个二维随机变量是一个二维随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学龄前儿童的发育情区学龄前儿童的发育情况况 , 则儿童的身高则儿童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随就构成二维随机变量机变量 ( H,

2、 W ).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布e)(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二维随机变量或二维随机变量叫作二维随机向量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 二维随机变量定义二维随机变量定义二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),( :,),( 的联合分布函数的联合分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维随机变量

3、称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,. ),(域内的概率域内的概率在如图所示区在如图所示区的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxFxy2y1y1xO2x Px1Xx2 , y1Yy2=F(x2, y2)- -F(x2, y1)- - F(x1, y2)+F(x1, y1).(2) 分布函数的性质分布函数的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,12

4、12yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的xyyO1x2x, 1),(02o yxF, y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy. 1),(lim),( yxFFyx, 0),(lim),( yxFFyx.,),(),0,(),(), 0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF ,),(),(421212211oyyxxyxyx 对于任意对于任意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有一、

5、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 第一节第一节 二维随机变量二维随机变量 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可所取的可能值是有限对或无限可列多对能值是有限对或无限可列多对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.二维离散型随机变量二维离散型随机变量 1. 定义定义 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 . 1, 011 ijijijpp其中其中 . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的的联联合合分

6、分布布律律和和或或随随机机变变量量的的分分布布律律变变量量称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机记记值值为为所所有有可可能能取取的的设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机

7、变量YXXYX解解:,的的取取值值情情况况是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的的正正整整数数取取不不大大于于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 例例1XY12341234418112116108112116100121161000161XY12341234418112116108112116100121161000161 )1 ,2(F, ),( xxyyijijpyxF离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中

8、和式是对一切满足jiyyxxji .,),(),(,),(,dd),(),(,),(),(),( 的的联联合合概概率率密密度度和和机机变变量量或或称称为为随随的的概概率率密密度度称称为为二二维维随随机机变变量量函函数数量量是是连连续续型型的的二二维维随随机机变变则则称称有有使使对对于于任任意意如如果果存存在在非非负负可可积积函函数数的的分分布布函函数数对对于于二二维维随随机机变变量量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1.定义定义 二维连续型随机变量二维连续型随机变量. 1),(dd),()2( Fyxyxf. 0),()1( yxf2.性质性质.dd),(),( Gy

9、xyxfGYXP内的概率为内的概率为落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GYXxoyG),(,)3(x y ,)( , )P xXxx yYyyf x yx y . ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则有则有连续连续在在若若.)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求求概概率率求求分分布布函函数数其其它它具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量例例2解解 yxyxyxfyxFdd),(),() 1 ( ., 0, 0, 0,dde200)2(其其他他yxyxyxyx ., 0. 0,

10、 0),e1)(e1 (),(2其其他他得得yxyxFyx,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31 推广推广 n 维随机变量的概念维随机变量的概念.),(,),(,),(),(, , 212211维随机变量维随机变量维随机向量或维随机向量或叫做叫做维向量维向量由它们构成的一个由它们构成的一个上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设nnXXXnSeXXeXXeXXeSEnnn

11、 定义定义 元元函函数数个个实实数数对对于于任任意意nxxxnn,21,),(221121nnnxXxXxXPxxxF .),(21联合分布函数联合分布函数的的称为随机变量称为随机变量nXXX二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度一、边缘分布函数一、边缘分布函数 第二节第二节 边缘分布边缘分布?,),(:的分布的分布如何确定如何确定的分布的分布已知已知YXYX问题问题XY109192949210jjyYPp 93961例例 已知联合分布律求其边缘分布律已知联合分布律求其边缘分布律.XY10919294921

12、0939619594例例 已知联合分布律求其边缘分布律已知联合分布律求其边缘分布律.;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21.),(), 2 , 1(), 2 , 1(, 2 , 1, 2 , 1,., 2 , 1,),(11的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于为为和和分分别别称称记记律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji 定定义义离散型随机变量的边

13、缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 .),(,d),()(,dd),(),()(的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于称称其其为为随随机机变变量量记记YYXxyxfyfyxyxfyFyFYyY 连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布同理可得同理可得 X 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()( yyxfxfXX 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(xyyxfx ),()(xFxFXXY109192949210iixXPp jjyYPp 939619594例例 已知联合分布律求其边缘分布律已知联合分布律求其边缘分布律.XY1010iixXPp jjyYPp 939619594已知

14、边缘分布律，能否确定联合分布律？已知边缘分布律，能否确定联合分布律？9291939391929492联合分布联合分布边缘分布边缘分布联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解1098765432112232424340111121112例例2., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN : 布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD

15、样本点样本点DF. )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()( xy 2xy Oxy)1 , 1(例例2的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf.的边缘概率密度的边缘概率密度试求二维正态随机变量试求二维正态随机变量, yx. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常数数其其中中例例3解解,d),()(yyxfxfX 由于由于2121

16、2222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是,dee121)(112202121)1(212)(221yxfxyxX ,1111222 xyt令令.,e21)(21212)(1 xxfxX二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,. 并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfxY联合分布联合分布边缘分布边缘分布第三节第三节 条件分布条件分布u考虑一群人，从中随机挑选一个人，考虑一群人，从中随机挑选一个人，记此人的体重和身高分别为记此人的体重和身高分别为X和和Y，则，则X和和Y是随机变量。是随机变

17、量。X和和Y有相应的分布。有相应的分布。u如果限制如果限制Y取值取值1.8m, ,那么在这个限制那么在这个限制下下X也有一个分布也有一个分布. .一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律二、连续型随机变量的条件概率密度二、连续型随机变量的条件概率密度第三节第三节 条件分布条件分布XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP :),(.,.2,3.,具

18、有分布律具有分布律资料知资料知据积累的据积累的数目数目表示焊点焊接得不良的表示焊点焊接得不良的以以目目数数表示螺栓紧固得不良的表示螺栓紧固得不良的以以处焊点处焊点焊接焊接其二是其二是只螺栓只螺栓其一是紧固其一是紧固由机器人完成的由机器人完成的一辆汽车有两道工序是一辆汽车有两道工序是在一汽车工厂中在一汽车工厂中YXYX例例1XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP .

19、,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在XYYX ., , 0,),(的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若的的对于固定对于固定是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量设设XyYppyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij ., 2 , 1, ji其中其中定义定义二维离散型随机变量的条件分布律二维离散型随机变量的条件分布律., 0 ,的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的YxXppxXPyYxXPxXyYPxXP

20、iiiijijiiji ., 2 , 1, ji其中其中例例2 一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止.设以设以X 表示首次击中目表示首次击中目标所进行的射击次数标所进行的射击次数, 以以Y 表示总共进行的的射击表示总共进行的的射击次数次数.试求试求 X 和和 Y 的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律.解解有有时时取取且且取取由题意知由题意知,nYmX)1()1()1(,pppppnYmXP 个个)2( n的联合分布律为的联合分布律为和和即得即得YX,22 nqpnYmXP. 1, 2 , 1;, 3

21、 , 2,1 nmnpq其中其中定义定义二维连续型随机变量的条件分布二维连续型随机变量的条件分布.)(),()( ,)(),(, 0)(,).(),(),(),(yfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYXYYYYYX 记为记为的条件概率密度的条件概率密度的条件下的条件下为在为在则称则称对于固定的对于固定的若若的边缘概率密度为的边缘概率密度为关于关于的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),( ,d)(),(d)(yxFyYxXPXyYxyfyxfxyxfYXxxYYX或或记为记为的条件分布函数的条件分布函数条件下条件下的的为在为在称称 ).(,1),(., 0,)

22、,(,1),(),(.,22yxfyxYXGyxAyxfYXAGYX件概率密度件概率密度求条求条上服从均匀分布上服从均匀分布在圆域在圆域设设其它其它具有概率密度具有概率密度维随机变量维随机变量若二若二其面积为其面积为是平面上的有界区域是平面上的有界区域设设 例例3 则称则称(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布。).(,1),(22yxfyxYXYX件件概概率率密密度度求求条条上上服服从从均均匀匀分分布布在在圆圆域域设设 ).(.)1,(,)10(,)1 , 0(yfYxYxxXXY的概率密度的概率密度求求值值上随机地取上随机地取在区间在区间数数时时当观察到当观察到上随机地取值上随机地取

23、值在区间在区间设数设数 解解具有概率密度具有概率密度由题意知由题意知 X ., 0, 10, 1)(其它其它xxfX),10( xx对于任意给定的值对于任意给定的值,的条件下的条件下在在xX 的条件概率密度为的条件概率密度为Y ., 0, 10,11)(其它其它yxxxyfXY例例4的的联联合合概概率率密密度度为为和和因因此此YX)()(),(xfxyfyxfXXY ., 0, 10,11其它其它yxx的边缘概率密度的边缘概率密度故得故得 YxyxfyfYd),()( ., 0, 10),1ln(d110其它其它yyyxx.),()(),(, .),( )(),(),(的的相相互互独独立立是是

24、和和则则称称随随机机变变量量即即有有若若对对于于所所有有函函数数的的分分布布函函数数及及边边缘缘分分布布量量分分别别是是二二维维随随机机变变及及设设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX 1.定义定义第四节第四节相互独立的随机变量相互独立的随机变量).()(),(yfxfyxfYX 相相互互独独立立和和YX2.2.说明说明 (1) 设设(X,Y)是二维连续型随机变量，具有概率是二维连续型随机变量，具有概率密密度为度为 f (x, y), 边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为f X(x), fY(y) 。,jijiyYPxXPyYxXP 相相互互独独立立和和YX(

25、2)若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为., 2 , 1,jipyYxXPijji.jiijppp 即即57 例例 1 1例例2 2中的随机变量中的随机变量X和和Y, ., 0, 0, 0,e2),()2(其它其它yxyxfyx判断判断X和和Y是否相互独立是否相互独立。 XY1261311iixXPp 3132jjyYPp 2106131132例例 判断随机变量判断随机变量X和和Y是否相互独立。是否相互独立。 XY1010iixXPp jjyYPp 93961959491929492例例 判断随机变量判断随机变量X和和Y是否相互独立。是否相互独立。 设设

26、( (X X, ,Y Y) ) N N( ( 1 1, , 2 2, , 1 12 2, , 2 22 2, , ), ), 求证求证: : X X与与Y Y 独立独立的充要条件为的充要条件为 = = 0 0。,21)(212112)(1 xXexf,21)(22222)(2 yYeyf 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf例例5 5 一负责人到达办公室的时间均匀一负责人到达办公室的时间均匀分布在分布在812时时,他的秘书到达办公室的他的秘书到达办公室的时间均匀分布在时间均匀分布在79时时,设他们两人到达设他们两人到达的时间相互独立的时间

27、相互独立, 求他们到达办公室的求他们到达办公室的时间相差不超过时间相差不超过 5 分钟的概率分钟的概率. 解解 设设X和和Y分别是负责人和他的分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间秘书到达办公室的时间.一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布u从全班同学中抽取从全班同学中抽取1人，人，记被抽取同学的身高为记被抽取同学的身高为X,体重为体重为Y关心体重指数关心体重指数Y/X2u从全班同学中抽取从全班同学中抽取1人，人，记被抽取同学的高数记被抽取同学的高数A成绩为成绩

28、为X, 高数高数B为为Y关心平均成绩关心平均成绩（X+Y）/2uZ=g(X,Y)1例的分布律为设二维随机变量),(YX的分布律试求YXZ的分布律为设二维随机变量),(YXijjipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若kP Zz,ikiiP Xx YzxjjjkkyYyzXPzZP,或者.d),()(xxzxfzfZ 1. Z=X+Y 的分布的分布设（设（X,Y）是二维连续型随机变量，具有概率）是二维连续型随机变量，具有概率密度为密度为 f (x, y), 求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。.d),()( yyyzfzfZ,d)()()( yyfyzfzfYXZ.d)()(

29、)(xxzfxfzfYXZ 当当 X, Y 独立时独立时,.d),()(xxzxfzfZ ,d)()()(xxzfxfzfYXZ 解解,e21)(22 xxfxX由于由于,e21)(22 yyfyY例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从都服从标准正态分布标准正态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxZdee21)(2)(222 xzxzdee212242 ).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独立且设设

30、一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布线性组合仍然服从正态分布.设（设（X,Y）是二维连续型随机变量，具有概率）是二维连续型随机变量，具有概率密度为密度为 f (x, y), 求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。elseyxeyxfyx00, 0),(分布函数法分布函数法的分布的分布及及),min(),max(. 3YXNYXM 1例的分布律为设二维随机变量),(YX的分布律试求YXZ的分布的分布及及),min(),max(. 3YXNYXM ),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(1 1)(minzFzFzFYX n11月月8日要交作业日要交作业nP85 7 14 16(2) 25