大学物理课件：2刚体力学.ppt

1、一、刚体的平动和转动一、刚体的平动和转动平动平动：用质心运动讨论：用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 刚体刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体在外力作用下形状和大小保持不变的物体.各质点间的各质点间的相对位置永不发生变化相对位置永不发生变化的的质点系质点系。转动转动：对：对点点、对、对轴轴定轴转动定轴转动：各质元均作圆周：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。不动的直线（转轴）上。O转轴转轴OO刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心

2、的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体描述刚体整体的运动用整体的运动用角量角量最方便。最方便。二、描述刚体定轴转动的物理量二、描述刚体定轴转动的物理量QP XX角速度方向规定为沿轴方向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反dtd 22dtddtd dtd 比较比较：221 mvEk

3、 一一 、刚体的转动动能、刚体的转动动能22211 22kii ii iEmvmr221 JEk 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 刚体对给定轴的刚体对给定轴的转动惯量转动惯量(moment of inertia) iiirmJ)(2 对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成其中其中r是质量元是质量元dm到转轴的距离。到转轴的距离。二、转动惯量二、转动惯量dmrJ2与转动惯量有关的因素：与转动惯量

4、有关的因素：刚体的质量刚体的质量质量的分布质量的分布转轴的位置转轴的位置dldmdsdmdVdm质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：解：dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL222mRdmRdmRJ 若为薄圆筒（不计厚度）若为薄圆筒（不计厚度）, 转动惯量？转动惯量？2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转动惯的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。量。

5、轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr3. 求一质量为求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径 为轴的为轴的 转动惯量。转动惯量。解：解： 一球绕一球绕Z轴旋转，离球轴旋转，离球心心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆盘。的薄圆盘。其半径为其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRd

6、Vdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其转动惯量：其转动惯量：YXZORrdZZ2552158mRR334Rm2221()2RRJRZdZ2221()2dJRZdZYXZORrdZZ4、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm= dx dmrJ2平行轴定理平行轴定理222231411212mLmLmLLmJJCA 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其

7、转，刚体对其转动惯量为动惯量为J，则有，则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴平行轴定理定理。ABLXABL/2L/2CX12/2mLJC 3/2mLJA 右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？如何计算？(棒长为棒长为L、球半、球半径为径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOmFrMz Z2frPO转动平面转动平面1fF sinrFMz 作用在刚体上的轴的力矩作用在刚体上的轴的力矩三、转动定律三、转动定律iiiiamfF iii

8、iiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得irJ JM iiirmJ)(2 JM 转动定律转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性, J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性. JM 与与地

9、位相当地位相当amF JM JM 转动定律应用举例转动定律应用举例例例1 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角时的速度和此时滑轮的角速度。速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解： RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 例例2、一根长为

10、、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有一的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度角时的角加速度和角速度。和角速度。解解：棒下摆为加速过程，外力：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对矩为重力对O的力矩。的力矩。 Ogm1cos2MmgLLgmLmgLJM2331212 coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得 ddJdtdddJdtdJJM dJdmgL cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sin

11、LgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ Ogm1cos2MmgL3cos2gL四、四、 力矩的功力矩的功 MdrdFdsFrdFdW 式中式中 cosFF rFM 21 MdW力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPOdrd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtdWp 五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理21222

12、121 JJW 六六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律 iiiiphmgghmE刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积. 刚体的重力势能刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力是组成它的各个质元的重力势能之和势能之和.mhmmgEiip CpmghE mymhiic CChim POihh若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他其他非保守内力不做功非保守内力不做功,则刚体在重则刚体在重力场中机械能守恒力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 机械能守恒定律机械能守恒定律作作 业业刚体力

13、学刚体力学(一一)刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动角速度绕该定轴作圆周运动. 2iiirmL 刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积与角速度的乘积. ziiiiizJrmLL 2 zzJL 一、一、 刚体的角动量定理刚体的角动量定理dtdJJM dtLdJdtdM )( 122121 JJLddtMLLtt 外力矩对系统的角冲量外力矩对系统的角冲量(冲量矩冲量矩)等于角动量的增量等于角动量的增量.若若J可以改变可以改变,则则11222121 JJLddtML

14、Ltt 二二 、 角动量守恒定律及其应用角动量守恒定律及其应用0 M1122 JJJ 或或常常矢矢量量角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。1212,0 则则时时，当当JJM当物体所受的合外力矩为零时当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保物体的角动量保持不变持不变.这一结论称为这一结论称为角动量守恒定律角动量守恒定律.112221 JJdtMtt 2、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。.保保持持不不变变就就增增大大，从从而而减减小小时时，当当就就减减小小；增增大大时时，当当 JJJFF实际中的一些现象实际中

15、的一些现象芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作当滑冰、跳水、体操运动员当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使直身体、增大转动惯量、使身体平稳地。身体平稳地。 花样滑冰运动花样滑冰运动员通过改变身体姿员通过改变身体姿态即改变转动惯量态即改变转动惯量来改变转速来改变转速.例例1、如图所示、如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,求

16、子弹穿出求子弹穿出后棒的角速度后棒的角速度 。已知棒长为。已知棒长为l,质量为质量为M.解解:以以f代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力,对子弹有对子弹有:0043)(mvvvmfdt 子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为： Jdtflldtfv0vmM200314943MlJMlmvJlmv 这里 v0vmMmvlJlmv 0231MlJ 041vv Mlmv490 ol 30aM如图，已知：如图，已知：almM,子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。解解：过程分两步：过程分两步1、子弹与棒发生完全非弹性碰撞、子弹与棒发生完全非弹性碰撞 角动量守恒角动量守恒2、子弹与棒摆动，机械能守恒。、子弹与棒摆动，机械能守恒。 )31(22maMlmva222001 1()(1cos30 )(1cos30 )2 32lMlmamgaMg)3)(2)(32(6122maMlMlgmav 作作 业业刚体力学刚体力学(二二)