理力第八章.ppt

1、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2研究点和刚体的运动研究点和刚体的运动地面为参考系地面为参考系不同参考系上观察物体不同参考系上观察物体的运动会有不同的结果的运动会有不同的结果相对于地面运动相对于地面运动的物体为参考系的物体为参考系实际问题中需要实际问题中需要理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院38-1 8-1 点的合成运动概念点的合成运动概念动动 点点定定 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度avaa相对速度相对速度 相对加速度相对加速度rvra

2、点的运动点的运动固结于地面上的坐标系固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于定系的运动动系相对于定系的运动刚体运动刚体运动理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的的拖带拖带或或牵连牵连而产生

3、的速度和加速。而产生的速度和加速。相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对定系的速度和加速度分别称为牵连点对定系的速度和加速度分别称为 的的牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度 evea动点动点理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5动点：动点： AB杆上杆上A点点动系：固结于凸轮上动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上定系：固结在地面上凸轮顶杆机构凸轮顶杆机构理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6绝对运动：铅直绝对运动：

4、铅直运动运动相对运动：曲相对运动：曲线线(圆弧圆弧)运动运动牵连运动：凸轮牵连运动：凸轮直线平移直线平移理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7av绝对速度绝对速度 ：相对速度相对速度 ：rv牵连速度牵连速度 ：ev理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：aaeara理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动圆轮摇杆机构圆轮摇杆机构动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上

5、) )动系：动系：OA摆杆摆杆定系：机架定系：机架理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10动点：动点：AB杆上的杆上的A点点 动系：偏心轮动系：偏心轮绝对运动：直线绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院11摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：点绝对运动：点A的水平直线运动；的水平直线运动；相对运动：点相对运动：点A沿沿OB轴线的运动；轴线的运动；牵连运动：牵连运动： OB杆的定轴转动。杆的定轴转动。动点动点:销子销子A (CD上上); 动系动系: 固结于固结于OB。

6、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:固结于固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：牵连运动： BCD平移平移动点动点: BCD上的套筒上的套筒F点点; 动系动系:固结于固结于O2E上。上。绝对运动：直线运动；绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。牵连运动：定轴转动。再选再选理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13刨床机构刨床机构理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学

7、院14建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。1MMMM1MM当当t t+t AB AB M M也可看成也可看成M M MMM 为绝对轨迹为绝对轨迹MM 为绝对位移为绝对位移M1M 为相对轨迹为相对轨迹M1M 为相对位移为相对位移t将上式两边同除以将上式两边同除以后后，0t时的极限，得时的极限，得取取11000limlimlimtttM MM MM Mttt 8-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理一、证明一、证明理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学

8、院16说明：说明：va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院

9、17点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小方向方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二、应用举例二、应用举例例例 桥式吊车桥式吊车 已知：小已知：小车水平运行，速度为车水平运行，速度为v平平，物块物块A相对小车垂直上升相对小车垂直上升的速度为的速度为v 。求物块。求物块A的的运行速度。运行速度。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为222 vvvvvvreaA2平平vv1tg解

10、：选取动点解：选取动点: 物块物块A动系动系: 小车小车静系静系: 地面地面相对运动相对运动: 直线直线;相对速度相对速度vr =v 方向方向牵连运动牵连运动: 平移平移; 牵连速度牵连速度ve=v平平 方向方向绝对运动绝对运动: 曲线曲线;绝对速度绝对速度va 的大小的大小,方向待求。方向待求。由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19解：取解：取OA杆上杆上A点为动点，摆杆点为动点，摆杆O1B 为动系，为动系， 基座为静系。基座为静系。绝对速度绝对速度 va = r ，方向，方向 OA相对速度相对速度 vr = ? ，方向方向/

11、O1B牵连速度牵连速度 ve = ? ，方向方向 O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又（ ）例例 曲柄摆杆机构。已知：曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l。图示瞬时。图示瞬时OA OO1 求：摆杆求：摆杆O1B角速度角速度 1由速度合成定理由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20由速度合成定理由速度合成定理 va= vr+ ve ，作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。解：动点取

12、直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。静系固结于基座。 绝对速度绝对速度 va = ? 待求，待求，方向方向/AB 相对速度相对速度 vr = ? 未知，未知，方向方向 CA 牵连速度牵连速度 ve =OA=2e , 方向方向 OA)(332 332300evetgvvABea例例 圆盘凸轮机构圆盘凸轮机构已知：已知：OCe , , （匀角速度）（匀角速度）图示瞬时图示瞬时, OC CA 且且 O、A、B三点共线。三点共线。求：从动杆求：从动杆AB的速度。的速度。eR3理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21理论力学理论力学中南大

13、学土木建筑学院中南大学土木建筑学院22由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和静系；选取动点，动系和静系；三种运动的分析；三种运动的分析；三种速度的分析；三种速度的分析；根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形。作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。aervvv理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动

14、点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24 分析分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析因此两

15、物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。触点为动点。例例 已知已知: 凸轮半径凸轮半径r , 图示时已知图示时已知 杆杆OA靠靠在凸轮上。在凸轮上。 求：杆求：杆OA的角速度。的角速度。;30 ,v理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点点为动点, 动系固结于动系固结于OA杆上杆上, 静系固结于基座。静系固结于基座。绝对运动绝对运动: 直线运动直线运动, 绝对速度绝对速度:相对运动相对运动: 直线运动直线运动, 相对速度

16、相对速度:牵连运动牵连运动: 定轴转动定轴转动, 牵连速度牵连速度: , 方向vva OCOCve方向待求未知 , , 方向未知 ,rvOA如图示。如图示。根据速度合成定理根据速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形做出速度平行四边形vvvae33tgrvvrrve6333212 （） ,2sinrrOCve又理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26例例AB杆以速度杆以速度v1向上作平动，向上作平动，CD杆斜向上以速度杆斜向上以速度v2作平动，作平动，两条杆的夹角为两条杆的夹角为a a，求套在两杆上的小环，求套在两杆上的小环M的速度。的速度。MBCDAv2v1ve1vr

17、1vr2ve2va解解 取取M为动点，为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取取M为动点，为动点，CD为动坐标系，为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：由上面两式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中其中1122,eevvvv理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27122212cossin(cos )/sinrrvvvvvvaaaa将等式两边同时向将等式两边同时向y轴投影：轴投影：则动点则动点M的绝对速度为：的绝对速度为：22221222222121 2cos()

18、sin12cossinaervvvvvvvvv vaaaa=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28reavvv由于由于牵连运动为平移牵连运动为平移，故，故由速度合成定理由速度合成定理 , OeOeaavvddddddxyzvijktttr ddddddaOxyzvvijkttt对对t求导求导222222ddddddddddaOavvxyzaijkttttt8-3 8-3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理 设有一动点设有一动点M按一定规律沿着固连于动系按一定规律沿着固

19、连于动系Oxyz 的曲线的曲线AB运动运动, 而曲线而曲线AB同时又随同动系同时又随同动系Oxyz 相对静系相对静系Oxyz平移。平移。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29ddd0,0,0dddiyzttt(其中其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故它为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故它们的方向不变，是常矢量，所以们的方向不变，是常矢量，所以 ）, , kjireaaaa 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理即当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于即当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。牵连

20、加速度与相对加速度的矢量和。222222dddd,ddddOOervxyzaaaijktttt又 naaa nnnaaeerraaaaaa一般式可写为：一般式可写为：理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30解：取杆上的解：取杆上的A点为动点，点为动点， 动系与凸轮固连。动系与凸轮固连。例例 已知：凸轮半径已知：凸轮半径 求：求： =60o时时, 顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。ooavR,理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院31由速度合成定理由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示。如图示。003260sinsinvvvv

21、oer绝对速度绝对速度va = ? , 方向方向/AB ；绝对加速度；绝对加速度aa=?, 方向方向/AB，待求。待求。相对速度相对速度vr = ? , 方向方向 CA; 相对加速度相对加速度ar =? 方向方向 CA , 方向沿方向沿CA指向指向C牵连速度牵连速度ve=v0 , 方向方向 ; 牵连加速度牵连加速度 ae=a0 , 方向方向2/nrravR理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院32因牵连运动为平移，故有因牵连运动为平移，故有nreaaaaar2220042 /() /33nrrvavRvRR其中将上式投影到法线上，得将上式投影到法线上，得sincosnaera

22、aa2004(cos)/sin(cos60)/sin603naervaaaaR整理得整理得)38(33200RvaaaaAB作作加速度矢量图加速度矢量图如图示如图示n理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33 上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。适用呢？下面我们来分析一特例。8-4 8-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 设一圆盘以匀角速度

23、设一圆盘以匀角速度 绕定轴绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以以大小不变的速度大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，沿槽作圆周运动，那么那么M点相对于静系的绝对加速度应点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？是多少呢？理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34Rvavrrr2, 常数有相对运动为匀速圆周运动，相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）（方向如图）由速度合成定理可得出由速度合成定理可得出常数rreavRvvv选点选点M为动点，动系固结与圆盘上，为动点，动系固结与圆盘上，则则M点的牵连运动为匀速转动点的牵连运动为匀速转动RaRvee2 ,即即绝

24、对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心方向指向圆心点点rrraavRvRRvRRva2)(2222理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35 分析上式：分析上式： 还多出一项还多出一项2 vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 并不并不等于牵连加速度等于牵连加速度 和相对加速度的矢量和。那么他们和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么又是怎样出现的呢？它是什么呢？呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点下面我们

25、就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。的加速度合成定理。earaaa, , /22RaRvaerrrrraavRvRRvRRva2)(2222理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院36rOOjkiyzxxyzO设动参考系设动参考系Oxyz以角速度以角速度 e绕定轴转动，不失一般性，绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的取定坐标系的z轴为其转轴。设轴为其转轴。设k的端点的端点A的矢径为的矢径为rA，则，则A点点的速度既等于的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即ArA eddAAeAtrvr AOrrkedd

26、()ddOOttrkrk eddOOOtrvr eddtkk 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院37同样可得同样可得i、j的导数。的导数。eeeddddddtttijki ,j ,k22ddrxyzt ra =ijk22ddMeOxyzt ra = rijk22dd2()2()MaOerxyztxyzxyzxyz ra = rijk+ijk+ijkaaijkkxyrMrOrM(M)OjiyzxzO理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院38点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。eeeee2()

27、2 ()()()2()2rxyzxyzxyz ijkijki +jkvaerer2aaavCer2av令,称为科氏加速度，于是有aerCaa + aa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院39三种速度分析三种速度分析牵连速度牵连速度相对速度相对速度绝对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+t 瞬时在位置IIevrvreavvvreavvvevrv 可以看出，经过可以看出，经过 t 时间间隔，牵连速度和时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。相对速度的大小和方向都变化了。 设有已知杆设有已知杆OA在图示平面内以匀在图示平面内以匀 绕轴绕轴O转动，套筒转动，套筒M（可视为点（

28、可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆为动点，动系固结于杆OA上，静上，静系固结于机架。系固结于机架。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院40其中其中 - 相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 - 由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的量，与牵连转动的 的大小有关的大小有关 。 t 时间间隔内的速度变化分析时间间隔内的速度变化分析相对速度：由相对速度：由作速度矢量三角形，作速度矢量三角形，在在 矢量上截取矢量上截取 长度后，长度后

29、， 分解为分解为 和和rrrvvv, ,rvrvrvrv rv rrrvvv即rv rv牵连速度：牵连速度： 由由 作速度矢量三角形，作速度矢量三角形，在在 矢量上截取等于矢量上截取等于 长后，长后，将将 分解为分解为 和和 ，eeevvv, ,evevevev ev eeevvv即理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院41其中其中:由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。变量，与相对运动无关。 动点的牵连速度，由于相对运动而引起的动点的牵连速度，由于相对运动而引起的 大小改变量，与相对速度大小改变量，与相对速度 有关。

30、有关。ev evrv加速度分析加速度分析根据加速度定义根据加速度定义tvvvvtvvareretaata)() (limlim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)()(lim上式中各项的物理意义如下：上式中各项的物理意义如下：第一项大小：第一项大小：eetetaOMtvtv200limlimtvtvtvtvrtrtetet limlim limlim0000理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院42 方向：方向： t 0时，时， 0 , 其方向沿着直杆指向其方向沿着直杆指向A点。点。 因此，因此，第一项正是第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度瞬时动点的

31、牵连加速度 。ea第三项大小：第三项大小： 为对应于为对应于 大小改变大小改变0dlimdrrrtvvatt rv 方向：总是沿直杆。方向：总是沿直杆。 因此，因此，该项恰是该项恰是瞬时动点的相对加速度。瞬时动点的相对加速度。ra第二项大小：tOMOMtvvtvteetetlimlim lim000rrtvvtMM方向 , lim10该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：第四项大小：。方向 , lim lim00rrrtrtvvtvtv这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。这一项表明由于牵

32、连转动而引起相对速度方向改变的加速度。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院43 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。奥利加速度，简称科氏加速度。ka所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为kreaaaaa 牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。加速度，相对加速度和科氏

33、加速度三者的矢量和。一般式一般式nnnaaeerrkaaaaaaa 一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示( )erv与 不垂直ka2kerave2 , , krravv方向指向顺转动的一边理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院44解解: 动点动点: 顶杆上顶杆上A点；点； 动系动系: 凸轮凸轮 ; 静系静系: 地面。地面。 绝对运动绝对运动: 直线直线; 绝对速度绝对速度: va=? 待求待求, 方向方向/AB; 相对运动相对运动: 曲线曲线; 相对速度相对速度: vr=? 方向方向 n; 牵连运动牵连运动: 定轴转动定轴转动; 牵连速度牵连速度: ve= r ， 方

34、向方向 OA，), sin(2:rrkv va大小方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。0), / ( 180 0krav时或当rkrvav2), ( 90时当例例 已知凸轮机构以匀已知凸轮机构以匀 绕绕O轴转动，轴转动，图示瞬时图示瞬时OA= r ，A点曲率半径点曲率半径 , 已知。已知。求：该瞬时顶杆求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院45nrvarnr方方向向同同相相对对加加速速度度 ,cos/:2222ABaa/ , ?:方方向向绝绝对对加加速速度度nar方方向向 ?; , , 0 :2Oraaaneee方方

35、向向指指向向轴轴心心牵牵连连加加速速度度相相反反。指指向向与与方方向向科科氏氏加加速速度度 ,/,cos/22:2nnrvark)(tg tgrvvveaABcos/ cos/rvver根据速度合成定理根据速度合成定理reavvv做出速度平行四边形，求得做出速度平行四边形，求得理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院46由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理kneaaaaaarr根据图示加速度矢量图：根据图示加速度矢量图：向 n 轴投影：knreaaaaacoscoscos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1

36、 (232rr理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院47)/( 022vak点点M2 的科氏加速度的科氏加速度解：点解：点M1的科氏加速度的科氏加速度asin211vak垂直板面向里。 例例 矩形板矩形板ABCD以匀角速度以匀角速度 绕固定绕固定轴轴 z 转动，点转动，点M1和点和点M2分别沿板的对角线分别沿板的对角线BD和边线和边线CD运动，在图示位置时相对于运动，在图示位置时相对于板的速度分别为板的速度分别为 和和 ，计算点，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小的科氏加速度大小, 并图示方向。并图示方向。1v2vDABC1ka理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土

37、木建筑学院48解：解：rkva22rkrvav222 reavvv根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形)cos(sin),sin(cos11aarvvrvvarae1122cossin)sin(cossin)sin(rrAOvervark212cos)22sin(2方向：与方向：与 相同。相同。ev例例 曲柄摆杆机构已知：曲柄摆杆机构已知：O1Ar , , , 1; 取取O1A杆上杆上A点为动点，动系固点为动点，动系固结结O2B上，上，试计算动点试计算动点A的科氏加速度。的科氏加速度。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院49第八章点的合成运动习题课第八章点的合成运动

38、习题课一、概念及公式一、概念及公式 1、一点、二系、三运动、一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动点的绝对运动为点的相对运动 与牵连运动的合成与牵连运动的合成 2、速度合成定理、速度合成定理 3、加速度合成定理、加速度合成定理 牵连运动为平移时牵连运动为平移时 牵连运动为转动时牵连运动为转动时)2( rkkreavaaaaareavvvreaaaa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院50二、解题步骤二、解题步骤1、选择动点、动系、静系。、选择动点、动系、静系。2、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3、作速度分析

39、、作速度分析, 画出速度平行四边形画出速度平行四边形,求出有关未知量求出有关未知量 (速度速度, 角速度）。角速度）。4、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。角加速度未知量。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院51 三、解题技巧三、解题技巧1、恰当地选择动点和动系、恰当地选择动点和动系, 应满足选择原则应满足选择原则，具体地有：，具体地有：两个不相关的动点，求二者的相对速度。两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一根据题意，选择其中之一为动点，动系为

40、固结于另一 点的平移坐标系。点的平移坐标系。 运动刚体上有一动点，点作复杂运动。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。 机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的 接触点，相对于另一个刚体运动。接触点，相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸 轮接触点为动点。轮接触点为动点。理论力学理

41、论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院52 特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时 间而变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，间而变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点， 应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2、速度问题、速度问题，采用几何法求解简便采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形即作出速度平行四边形； 加速度问题加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）法往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）法 求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定求解，投影轴的

42、选取依解题简便的要求而定。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53 四、注意问题四、注意问题 1、牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。、牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。 2、牵连为转动时牵连为转动时加速度分析加速度分析不要丢掉不要丢掉 ，正确分析和计算。，正确分析和计算。 3、加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，、加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，特别要注意与特别要注意与 静力平衡方程的投影式不同。静力平衡方程的投影式不同。 4、圆周运动时，、圆周运动时， 非圆周运动时，非圆周运动时， ( 为曲率半径为曲率半径)kaRRvan22/22/ vanka理论力

43、学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院54解解： 动点：动点：OA杆上杆上 A点点; 动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动， 牵连运动：平移；牵连运动：平移；)( OAlva方向2),(naaalOAalAOO方向沿指向 ( )铅直方向 ? ?rrav ? ?eeav方向水平，方向水平，大小待求。大小待求。已知已知: OAl , = 45o 时，时， , , ; ;求：小车的速度与加速度求：小车的速度与加速度例例1 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构理论力学理论力学中

44、南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院55小车的速度小车的速度：evv 根据速度合成定理根据速度合成定理 做出速度平行四边形做出速度平行四边形, 如图示如图示reavvv)(coscos llvvae2245投至投至x轴：轴：cossinnaaeaaa45452sincosllae ，方向如图示方向如图示l )(222小车的加速度小车的加速度：eaa 根据牵连平移的加速度合成定理根据牵连平移的加速度合成定理naaeraaaa做出加速度矢量图如图示做出加速度矢量图如图示。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院56解解：动点动点:销子销子D (BC上上); 动系动系: 固结于固结

45、于OA；静系；静系: 固结于机架。固结于机架。绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动， ，沿，沿OA 线线牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，aavvaa,?,rrav2?,;? neeaODOA aODO指向OAODve?,sinsin,coscosvvvvvvaraehvhvODve2cos )cos/(cos/（）根据速度合成定理根据速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示如图示。reavvv例例2 摇杆滑道机构摇杆滑道机构avh,:已知已知 求求: OA杆的杆的 , 。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5

46、7投至投至 轴轴：cosaekaaa222cossincoscosekavaaaah2222cossin 2coseavaODhh（）根据牵连转动的加速度合成定理根据牵连转动的加速度合成定理naeerkaaaaa22322coscos(),coscos22sinnekrhvvahhvavvh理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院58解解：动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:固结于固结于BCD上上, 静系固结于机架上。静系固结于机架上。 绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动相对运动：直线运动; 牵连运动：平移牵连运动：平移; ，水平方向AOrva11

47、, BCvr /?,?ev例例3 曲柄滑块机构曲柄滑块机构。已知已知O1A= r , , 1 1 , , , ,h。图时瞬时。图时瞬时O1A/ O2E 。求求: 该瞬时该瞬时O2E杆的杆的 2 2。 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院59 根据根据 做出速度平行四边形做出速度平行四边形reavvv再选动点：再选动点：BCD上上F点点动系：固结于动系：固结于O2E上，上，静系固结于机架上静系固结于机架上绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，1sin()F avr2?,(/)FrvO E 2?,(

48、)FevO E sinsin1rvvae根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形FaFeFrvvv211sinsinsinsinF eFavvrr222,/sinFevO FO Fh 又231212sinsinsinFevrrO Fhh）（理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院60解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，动系固点为动点，动系固结于结于OA杆上。杆上。 绝对运动绝对运动: 直线运动；相对运动直线运动；相对运动: 直线直线运动；牵连运动运动；牵连运动: 定轴转动。定轴转动。aavvaa ,OAavrr/ ? ?,方向OCve方向 ?,分析分析: 由于接触点在两个物

49、体上的位置由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。均是变化的，因此不宜选接触点为动点。已知：凸轮半径为已知：凸轮半径为R，图示瞬时，图示瞬时O、C在一条铅直线上在一条铅直线上; 已知已知;求求: 该瞬时该瞬时OA杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。av、 例例4 凸轮机构凸轮机构2?neaOCO指向 ;?,eaOC方向OC理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院61sinsin/ RvRvOCve）(做出速度平行四边形做出速度平行四边形根据根据reavvv根据根据krneeaaaaaa做出加速度矢量图做出加速度矢量图sin)sin(sin222R

50、vRvROCane投至投至 轴：轴：cossincoseneaaaatgneaeaaa2222sinsinsin/sinRvRaRRvaOCae转向由上式符号决定，转向由上式符号决定，0则，则，0 则则02rkvavvvvaer , 0理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院62例例5 刨床机构刨床机构已知已知: 主动轮主动轮O转速转速 n =30 r/minOA=150mm , 图示瞬时图示瞬时, OA OO1求求: O1D 杆的杆的 1、 1 和滑块和滑块B的的 。BBav ,理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院63其中m/s 15. 03015. 0n