线代课件:5.1-5.2 二次型及其标准形.ppt
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- 线代课件:5.1-5.2 二次型及其标准形 代课 5.1 5.2 二次 及其 标准
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1、第一节 二次型及其标准形第五章二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法一、一、 二次型及其标准形的概念二次型及其标准形的概念三、化二次型为标准形三、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为二次型称为二次型. .121 ,nnxxx定定义义含含有有 个个变变量量的的二二次次齐齐次次多多项项式式; , 称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型. , 称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykyk
2、f 称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式)(或法式)若标准形的系数只取若标准形的系数只取1 1,-1-1或或0 0,即,即22222121pprfzzzzz 称为二次型的称为二次型的规范形规范形1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法nnxxaxxa
3、xaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax 111njjjaxx 221njjjaxx 1nnjnjjaxx 11nnijijija x x ,1nijijijjii ja x xaa 或或记记为为2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnn
4、nnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(., 为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型这样,二称矩
5、阵,也可唯一地确定一个二次型这样,二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA; 的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 设设三、化二
6、次型为标准形对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换,将二次型化为标准形可逆的线性变换,将二次型化为标准形(),ijCCc 记记若若 为为可可逆逆矩矩阵阵,记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx AxxfT 有有将其代入将其代入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 则 TTTACCB .R BR A 所所以以CACTT TC ACB B故故也也 为为 对对 称称 矩矩 阵阵 . .C且且 为为可可逆逆矩矩阵阵 , C, CA BnCACBBAAACA 定定义义 设设都都是是 阶阶矩矩阵阵 若若存存在在可可逆逆矩矩阵
7、阵使使则则称称 合合同同于于对对 进进行行运运算算称称为为对对 进进行行合合同同变变换换. .矩阵的合同是一种等价关系,具有性质:矩阵的合同是一种等价关系,具有性质:反反身身性性)1()2(对对称称性性传传递递性性)3(.AA与与 本本身身合合同同,.ABBA若若 与与 合合同同 则则 与与 合合同同,.ABBCAC若若 与与 合合同同与与 合合同同 则则 与与 合合同同TBC AC 令令,A其其中中 为为对对称称矩矩阵阵,C矩矩阵阵 可可逆逆TBC AC 又又,说明说明 2221122TTnnyC ACyk yk yk y 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二
8、次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中
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