线代课件：1.1 矩阵及其运算.ppt

1、第一节 矩阵及其运算一、矩阵的定义一、矩阵的定义二、矩阵的运算二、矩阵的运算第一章三、矩阵的分块三、矩阵的分块四、分块矩阵的运算规则四、分块矩阵的运算规则 一、矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .mn行行 列列nm 简记为简记为 .ijnmijnmaaAA .,简称为元简称为元的元素的元素个数称为个数称为这这Anm 元素都是实数的矩阵称为元素都是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵元素都是复数的矩阵称为元素都是复数的矩

2、阵称为复矩阵复矩阵例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 几种特殊矩阵几种特殊矩阵(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵. .也可记作也可记作111212122212nnnnnnnaaaaaaAaaa 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.主对角线主对角线次（副）对角线次（副）对角线特殊地，主对角线以下全为特殊地，主对角线以下全为0的方阵称为的方阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵主对角线以上全为主对角线以上全为0的方阵称为的方

3、阵称为下三角形矩阵下三角形矩阵,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为称为( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵, ,OO不全为不全为0记作记作 .,21ndiagA (2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).(4)方阵方阵称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. . 100010001nEEOO全为全为1 （5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .nm nmo o注意注意不同

4、阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵. 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 1.两个矩阵的行数相同两个矩阵的行数相同, ,列数相同时列数相同时, ,称为称为同型同型矩阵矩阵.例例 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx矩阵

5、运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵共轭矩阵共轭矩阵二、 矩阵的运算 、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111（一）矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，定义为，定义为nm ,bB,aAijij ABBA 即对应元素相加即对应元素相加.说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例例 1234569818630915312 1

6、826334059619583112.98644741113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA （二）数与矩阵相乘,AAA数数 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积记记作作或或定定义义为为此运算称为矩阵的数量乘积，简称数乘此运算称为矩阵的数量乘积，简称数乘 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘运算的运算规律、数乘运算的运算规律矩阵的加法与

7、数乘统称为矩阵的矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC （三）矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能

8、相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.2132232 12 22 12 22 13 23 .634242 例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?求求ABAB. .故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAA

9、B 3（其中（其中 为数）为数）; 4;nnnnnA EE AA 若若A是是 阶方阵，则阶方阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m注意注意 矩阵一般不满足交换律，即：矩阵一般不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故?)(:2BA思考.AOBOABO存存在在矩矩阵阵，使使得得.ABOAOBO若若，则则不不能能推推出出矩矩阵阵或或说明说明但也有例外，例如但也有例外，例如,2002 A,1111 B则有则有, A

10、B22 2 2 BA22 2 2.BAAB 称为称为纯量矩阵纯量矩阵（或（或数量矩阵数量矩阵）000000nkkkEk 形形如如的的方方阵阵 nnnnnkEAAkEkA201201( )mmmf xaa xa xa xaaaAn 设设，系系数数 ， ， ，均均为为常常数数， 为为 阶阶方方阵阵，2012( )mmf Aa Ea Aa Aa An则则 仍仍为为 阶阶方方阵阵. .( ).f AA称称为为 的的矩矩阵阵多多项项式式矩阵多项式210( )23( ).43f xxxAf A 例例3: 3: 设设，, ,求求解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求

11、设设 例例4 4 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.2 k假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk 121111020010000nnnnnnnnn nnAA An 所以对于任意的所以对于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA 11111120100nnnnnnnnnn 定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩

12、阵，记作 AA 或或AA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、转置矩阵(transpose matrix)（四）矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA 4.TTTABB A 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB TTTABAB 213012131027241.1031314170 解法解法22、对称(矩)阵与反对称(矩)阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即

13、那么那么 称为对称称为对称(矩矩)阵阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612( ,1,2, ),TjiijAAaai jnA 如如果果，即即则则方方阵阵 称称为为反反对对称称（矩矩）阵阵. .对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明说明例例6 6 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.22TTAAAA

14、A ,22BC 命题得证命题得证.3 3、共轭矩阵、共轭矩阵当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. 定义定义 ijaA ijaija ijaA AA ;2AA 3;ABAB 运算性质运算性质 ;1BABA （设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:BA, 4.TTAA 三、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵 ，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. A一个矩阵可以有多种不同的分块方法.A具体做法：将矩阵 用若干条纵线和横线分成若干小块，每一小块也可以看成一个

15、矩阵（称为 的子矩阵），以子矩阵为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.A123BBB bbaaA110101000001例例, BEOA bbaaA110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O ,4321AAAA bbaaA110101000001 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 1,AB设设矩矩阵阵与与为为同同型型矩矩阵阵 采采用用相相同同的的分分块块法法,ijijAB其其中中与与为为同同型型矩矩阵阵 则则.11111111 srsrssrrBABABABABA四、分块矩阵的运算规则 srsrsrsrBBBBBAAAAA1111

16、1111, 那末那末为数为数设设,21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中AB分分块块矩矩阵阵相相乘乘时时需需 的的列列的的划划分分与与 的的行行的的划划分分一一致致 即即是是方方阵阵且且非非零零子子块块都都其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵上上有有非非零零子子块块角角线线的的

17、分分块块矩矩阵阵只只有有在在主主对对若若阶阶矩矩阵阵为为设设.,5AnA,21 sAAAAOO ,411 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则 1,2,.iAisA 其其中中都都是是方方阵阵 那那末末称称为为分分块块对对角角矩矩阵阵 准准对对角角矩矩阵阵 11220000000060000ssABABAB .0000002211 ssBABABA例例1 设设,1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解解分块成分块成把把BA, 1011012100100001A 100110

18、01A00001121 , EEO1A 0211140110210101B 11BE21B22B则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB又又21111BBA 110121011121 110120432411 02141121221BA3331 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 于是于是,100100000001 bbaaA设设 bbaaB100000001000.,ABABA 求求例例2解解分块分块将将BA, bbaaA100100000001,0021 AA bbaaB100000001000,0021 BB其中

19、其中,011 aaA;112 bbA,101 aaB;102 bbB其中其中 21210000BBAABA,002211 BABA aaaaBA100111,2112 aa bbbbBA101122,2212 bb.2200120000210012 bbaa 21210000BBAABA 221100BABA 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA 212121000000AABBAAABA 22211100ABAABA.23001220000001232233223 bb

20、bbbbaaaaaa矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵共轭矩阵共轭矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.五、小结(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩矩阵阵 ,(2) 数乘数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法乘法,ABAB若若 与与 相相乘乘 需需 的的列列的的划划分分与与 的的行行的的划划分分相相一一致致分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11(5) 分块对角阵（准对角阵）分块对角阵（准对角阵） sAAAA21OO思考题问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么? ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB 解解