数值分析课件：4.1引言与问题特例.ppt

1、第四章 数值积分与数值微分第第 四四 章章 数数 值值 积积 分分 和和 数数 值值 微微 分分学习目标学习目标理解求积公式及代数精度概念，掌握确理解求积公式及代数精度概念，掌握确定求积公式的代数精度的方法，掌握定求积公式的代数精度的方法，掌握 Newton-Cotes Newton-Cotes 求积公式、求积公式、RombergRomberg算法算法及及GaussGauss求积公式的构造技术、特点及求积公式的构造技术、特点及余项形式。掌握复化梯形求积公式、复余项形式。掌握复化梯形求积公式、复化化SimpsonSimpson求积公式的构造技术及余项求积公式的构造技术及余项形式。了解上述求积公式

2、的适用类型并形式。了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积分。了解会熟练使用这些公式做数值积分。了解数值微分法及数值微分法及 Richardson Richardson 加速技术，加速技术，了解了解Newton-CotesNewton-Cotes求积公式、求积公式、Gauss Gauss 求求积公式的稳定性问题。积公式的稳定性问题。（Numerical Integration）第四章 数值积分与数值微分4.1 引言与问题特例引言与问题特例示例示例 引言引言第四章 数值积分与数值微分 积分与微分的计算，是具有广泛应用的古典问积分与微分的计算，是具有广泛应用的古典问题然而，在微积分教

3、材中，只对简单的或特殊的题然而，在微积分教材中，只对简单的或特殊的情况，提供了函数的积分或微分的解析表达式比情况，提供了函数的积分或微分的解析表达式比如，对于在区间如，对于在区间 上函数上函数f (x)的积分，只要能找的积分，只要能找到被积函数到被积函数f (x)的原函数的原函数F (x) ，在理论上可以使用，在理论上可以使用Newton-Leibniz公式公式( )( )( )baf x dxF bF a计算但对很多实际问题，这种方法已无能为力，常计算但对很多实际问题，这种方法已无能为力，常常遇到的主要问题有：常遇到的主要问题有： , a b第四章 数值积分与数值微分(1)找不到被积函数找不

4、到被积函数f (x)的原函数的原函数F (x) ，如，如21sin( ),( ),( ),lnxxf xf xf xexx2221( )1 cos,( )1sinf xxf xkx(2)被积函数没有有限的解析表达式，而是由测被积函数没有有限的解析表达式，而是由测量数据或数值计算给出的数据表示量数据或数值计算给出的数据表示第四章 数值积分与数值微分 例例4.1 一块铝合金的横断面为正弦波，要求原材料铝合一块铝合金的横断面为正弦波，要求原材料铝合金板的长度。也就是金板的长度。也就是f (x)=sinx 从从x=0到到x=b的曲线弧长的曲线弧长L，可用积分表示为可用积分表示为 dxxdxxLbbf0

5、202cos11这是一个椭圆积分计算问题。这是一个椭圆积分计算问题。第四章 数值积分与数值微分例例4.2 正态分布是统计学中的重要分布正态分布是统计学中的重要分布, 正态分布函数的简单正态分布函数的简单形式是形式是 . 该函数在科学和工程中有很多应用该函数在科学和工程中有很多应用. 对对 , 该函数曲线与轴之间的面积可用积分表示为该函数曲线与轴之间的面积可用积分表示为 因此，积分的数值计算问题是值得研究的重要问题因此，积分的数值计算问题是值得研究的重要问题. 对函数的对函数的微分也一样，以表格形式给出的函数，要求出其导数时，也微分也一样，以表格形式给出的函数，要求出其导数时，也是要依靠数值微分

6、的方法是要依靠数值微分的方法 2( )xf xe , xa b2.bxaAedx第四章 数值积分与数值微分例例4.3 已知一组实测数值已知一组实测数值 其数学模型是一个二阶常微分方程其数学模型是一个二阶常微分方程 需要确定模型中的待定参数需要确定模型中的待定参数a和和b如果能由实测数值得到如果能由实测数值得到 和和 的数值，代入模型中就可用最小二乘法确定的数值，代入模型中就可用最小二乘法确定a和和b.这这是一个计算数值微分值的问题是一个计算数值微分值的问题( ),0,1,2, ,iiyy xin()0 xyayxb y( )iy x( )iy x第四章 数值积分与数值微分所谓关于的数值积分公式

7、，就所谓关于的数值积分公式，就是一类公式，它是用被积函数是一类公式，它是用被积函数f (x)在在a,b区间上的区间上的一些节点一些节点xk 处的函数值处的函数值f (xk )的线性组合的线性组合( )( )I f baf x dx来近似作为待求定积分的值，即来近似作为待求定积分的值，即右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中xk称称为积分节点为积分节点, Ak为求积系数为求积系数, 也称之为伴随节点也称之为伴随节点xk的权的权0()NkkkAfx( )( )I f baf x dx0()NkkkAfx ( )I f baf x dx 本章讨论常用

8、的数值求积公式及它们的误差估本章讨论常用的数值求积公式及它们的误差估计和代数精度，而对数值微分只作简单介绍。计和代数精度，而对数值微分只作简单介绍。第四章 数值积分与数值微分4.2 Newton-Cotes求积公式求积公式总结总结4.2.3 Newton-Cotes公式的误差分析公式的误差分析4.2.2 Newton-Cotes求积公式求积公式4.2.1 插值型求积法插值型求积法数值求积法与代数精度数值求积法与代数精度第四章 数值积分与数值微分我们的目的就是根据一定原则我们的目的就是根据一定原则,选择求积节点选择求积节点xk和和系数系数Ak，使得求积一般公式，使得求积一般公式(4.1.1)具有

9、较高的精确度具有较高的精确度, 同同时又计算简单。时又计算简单。权权Ak仅仅与节点仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。的具体形式。使积分公式具有通用性使积分公式具有通用性右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中xk称称为积分节点为积分节点, Ak为求积系数为求积系数, 也称之为伴随节点也称之为伴随节点xk的权的权0()NkkkAfx ( )I f baf x dx(4.2.1)一、求积公式的代数精度一、求积公式的代数精度第四章 数值积分与数值微分记记0 ()(4.2.2)nnkkkIfA

10、 f x0( ) ( )(),(4.2.3)nbnkkakR fI fIff x dxA f x称称( (4.2.2) )为数值求积公式为数值求积公式,(,(4.2.3) )为求积公式余项为求积公式余项( (误差误差).). 构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(i)(i) 确定求积系数确定求积系数Ak和求积节点和求积节点xk ；(ii)(ii)求积公式的误差估计和收敛性求积公式的误差估计和收敛性 为了构造形如式为了构造形如式( (4.2.1) )的求积公式的求积公式, ,需要提供一种需要提供一种判定判定求积方法精度高低准则求积方法精度高低准则.

11、 .用什么标准来判定两个节点数相同的用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的求积公式的“好好”与与“差差”呢？通常用呢？通常用“代数精确度代数精确度”的高的高低作为求积公式低作为求积公式“好好”与与“差差”的一个标准在后面的讨论的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义义第四章 数值积分与数值微分 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式

12、能对公式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念由于闭区间度的概念由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为成为准确等式准确等式，是衡量该公，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。 定义定义4.1 如果某个求积公式对于次数如果某个求积公式对于次数m的多项式均能准确地的多项式均能准确地成立，但对于成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有次多

13、项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次次代数精度代数精度 注：注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多的多因此有等价定义。因此有等价定义。项式列出来验证，因此只要验证对项式列出来验证，因此只要验证对1 1，x, , ,xm 精确成立精确成立即可。即可。第四章 数值积分与数值微分 等价定义等价定义4.1 若若(4.2.1)对于对于1，x,xm都精确成立，对都精确成立，对xm+1不精不精确成立，则称确成立，则称(4.2.1)的代数精度为的代数精度为m。 , nP a b 因为函数组因为函数组( (1，x, xm) )是的是的一组基函数一组基函

14、数, ,所以两个定义是等价的所以两个定义是等价的, ,但在具体应但在具体应用时，定义用时，定义4.14.1比定义比定义4.14.1要方便的多要方便的多第四章 数值积分与数值微分由定义由定义4.14.1可知，若求积公式可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为的代数精度为m，则求积系数则求积系数Ak应满足线性方程组：应满足线性方程组： 2211;1();21().1kkmmmkAbaA xbaA xbam0()()NbkkakIffx dxAfx（4.2.4）第四章 数值积分与数值微分这是关于这是关于Ak的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵012220101111nnmmmnxxxx

15、xxxxx是范得蒙矩阵是范得蒙矩阵, , 当当 互异时非奇异互异时非奇异, , 故故 有唯一解。有唯一解。 ), 1 ,0(nkxkkA如果事先选定求积节点，如，以区间如果事先选定求积节点，如，以区间a,b的等距节点依次为节的等距节点依次为节点，这时取点，这时取m=n，求解上述线性方程组，求解上述线性方程组(4.2.4), 即可确定系数即可确定系数从而使求积公式至少有从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中次代数精度。具体示例在下面一节中介绍。介绍。kA第四章 数值积分与数值微分例例4.4 考察其代数精度。考察其代数精度。 f(x)abf(a)f(b)梯形公梯形公式式解解：逐

16、次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 代数精度代数精度 = 1)()(2)(bfafabdxxfba 分析：分析：由等价定义由等价定义, 求代数精度，只对最简单的函数求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。来验证。第四章 数值积分与数值微分.)1()0(4)1(31)(11的的代代数数精精度度确确定定求求积积公公式式fffdxxf 1)1(1111 kdxxIkkk解：解：0) 1041(31 ;32

17、) 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),2()(22Ifffkxxf 时时当当 ;0) 101(31) 1 () 0(4) 1(31),3()(33Ifffkxxf 时时当当 。时时当当445232) 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),4()(Ifffkxxf ),0(1)( kxf时时当当 ) 1 ()0(4) 1(31fff 2) 1141 (31 ) 1 () 0(4) 1(31fff ),1()( kxxf时时当当 为为偶偶数数为为奇奇数数kkk,12, 0;0I ;1I 所以该求积公式的所以该求积公式的代数精度代数精度m=3。例例4.5第四章 数值积分与数值

18、微分例例4.6 试构造形如试构造形如 f(x)dx A0 f(0)+ A1 f(h)+ A2 f(2h) 的数的数值求积公式值求积公式,使其代数精度尽可能高使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶并指出其代数精度的阶数数.3h0解解: 令公式对令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立均准确成立,则有则有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求积公式的形式为故求积公式的形式为解之得解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h49h43h0第四章 数值积分与数值微分而当

19、而当f(x)=x3时时, 公式的左边公式的左边=81h4 /4, 右边右边=18h4, 公式的左公式的左边边 右边右边,说明此公式对说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立不能准确成立.因此因此,公式只具有公式只具有2次代数精度次代数精度.由公式的构造知由公式的构造知,公式公式至少至少具有具有2次代数精度次代数精度;第四章 数值积分与数值微分二、数值求积公式的收敛性与稳定性二、数值求积公式的收敛性与稳定性 定义定义4.2 在求积公式在求积公式 中，若中，若 其中其中 ，则称求积公式是收敛的，则称求积公式是收敛的 由于计算由于计算 f (xk)可能有误差可能有误差,实际得到实际得到 定义定义4.

20、3 对任给对任给 e e 0,若若 (k=0,1, ,n), 就有就有 , 则称求积公式是稳定的则称求积公式是稳定的. bankkkxfAxxf0)(d)(e e |)(|00nkkknkkkfAxfA)(max11 iinixxhkkfxf)(0 ，只要，只要 .)(,kkkkfxff 即即 bankkkhnxxfxfAd)()(lim00第四章 数值积分与数值微分 定理定理4.1 表明，只要求积系数表明，只要求积系数Ak0 (k0,1,n)，就能保，就能保证计算的稳定性证计算的稳定性 定理定理4.1 若求积公式若求积公式(4.2.1)中系数中系数Ak0 (k0，1，n)，则此求积公式是稳定

21、的则此求积公式是稳定的证明证明: 000, ,0, ,() , |()()().kknnnkkkkkkknf xfbaRA f xf xAbaeee 对若取对都有则有所以求积公式所以求积公式(4.2.1)是稳定的是稳定的第四章 数值积分与数值微分问题：问题：如如何何选选择择及及当当给给定定节节点点), 1 , 0)(10nixfbxxxain 尽尽量量高高？，使使求求积积公公式式代代数数精精度度求求积积系系数数nAA,0解解决决方方法法：4.2.1 插值型求积法插值型求积法插值基函数插值基函数00( , ( )( )( ) ( )( ),nnliiniiiilill ixxx f xL xf

22、x l xl xxx已知，求得，其中ni, 1 , 0 插值多项式插值多项式1、方法、方法0( )( )( ) ( )nbbbniiaaaif x dxL x dxf x l x dx则第四章 数值积分与数值微分0( )( )nbiiaif xl x dx niiixfA0)()(积积分分的的性性质质( )bial x dx与与f 无关无关, ,记为记为Ai( ),0,1,biiaAl x dxin(4.2.6)其中求积系数其中求积系数(4.2.5)0( )( )( ) ( )nbbbniiaaaif x dxL x dxf x l x dx则 定义定义4.4 对给定互异求积节点对给定互异求积

23、节点 ,若求积系数若求积系数 bxxxan 10(01)iA in， ， ，是由是由(4.2.6)给出的，则称该求积公式是给出的，则称该求积公式是插值型插值型的。的。此时数值求积公式此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）称为（内插）插值型求积公式。插值型求积公式。由由 节点节点 决定，决定，与与 f(x) 无关无关第四章 数值积分与数值微分第四章 数值积分与数值微分2、求积余项、求积余项 若若 , (4.1.5)是插值型求积公式是插值型求积公式, 0(1)110 ( )() ( )( )( )()1()( )(1)!1 !nbbbnkknnaaaknnbbnxkxnaakR fIIf x

24、dxA f xf xL x dxR x dxfxxdxfx dxnn,) 1(baCfn 其中其中 与变量与变量x有关有关,记作记作 x 。(1)1()( )(1)!nbxnafR fx dxn，。其其中中)()()(101nnxxxxxxx (4.1.7)特别地特别地, 如果求积公式是插值型的如果求积公式是插值型的, 按余项式按余项式, 对于次数对于次数 n的多项的多项式式 f (x)，其余项，其余项R f 等于等于0，因而这时求积公式至少具有，因而这时求积公式至少具有n次代数次代数精度精度则有余项公式则有余项公式第四章 数值积分与数值微分定理定理4.2 形如形如 的求积公式的求积公式至少至

25、少有有 n 次代数精度次代数精度 该该公式为公式为插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)(nkjjjkjkxxxxxl0)(), 1 , 0(nk证明证明 充分性充分性 若求积公式至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度, ,则对则对n n次多次多项式项式精确成立精确成立, ,即即njjkjbakxlAxxl0)(d )(jkjkxlkjjk01)(而而取取 时时)()(xlxfknjjkjbakbaxlAxxldxxf0)(d)()(所以有所以有 , ,即求积公式为插值型求积公式即求积公式为插值型求积公式 dxxlAbakk)(第四章 数值积分与

26、数值微分证证: :必要性必要性 设设n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式为插值型求积公式, ,求积系数为求积系数为 又又 当当f(x)为不高于为不高于n次的多项式时次的多项式时, ,f(x)=Ln(x) , 其余项其余项R(f )=0。因而这时。因而这时求积公式求积公式至少至少具有具有n次代数精度。次代数精度。nkkkbaxfAdxxf0)()(dxxlAbakk)( )( )( )nf xL xR x注意：注意：n+1个节点的内插型求积公式个节点的内插型求积公式至少至少具有具有n次代数次代数精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。精度，这里：代数精度数与节点数的关系要

27、注意。第四章 数值积分与数值微分推论推论1 1 求积系数满足求积系数满足: :( (可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性) )0( )( )()1nbbnkkaakf x dxL x dxA f xnn证： 当节点为个时，插值求积公式有 次代数精度,abAnjj0( ),nf xx对于上式严格相等,( )1f x 所以取时，上式也严格相等，0 ( )1nbbkaakf x dxdxAba因此有010 nknkAbaAAAba即第四章 数值积分与数值微分例例4.44.4 给定求积公式如下：给定求积公式如下： 4322141231)(10fffdxxf试证此求积公式是插值型

28、的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 证证: :设设 , ,则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 43,21,41210 xxx4321843412141/4321)(0 xxxxxl43411643214121/4341)(1xxxxxl2141821434143/2141)(2xxxxxl第四章 数值积分与数值微分dxxxdxxxdxxl102101008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(31361616361161632

29、13116）（）（dxxxdxxxdxxl102101028143821418)(32238812143318第四章 数值积分与数值微分由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求积公式为插值型求积公式为第四章 数值积分与数值微分) 1 () 0(2) 1(21)(11fffdxxf练习练习4.14.1 求证求证不是插值型的求积公式。不是插值型的求积公式。证明证明: : 设设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这

30、三点为插值节点的则以这三点为插值节点的LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为1200102202110121022021112011()()(1)1( )(1)()()1( 11)2()()(1)(1)( )(1)()()1( 1)()()(1)1( )(1)()()(11)21112( )()2223xxxxx xlxx xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx xlxx xxxxxlx dxxx dx 1121111122111102324( )(1)233111211( )()0222323lx dxxdxlx dxxx dx第四章 数值积分与数值微分012012

31、( )0,1, 214133311A =,A =1,A = 22bkkaAlx dxkAAA插 值 型 求 积 系 数 为，与 原 求 积 公 式 系 数 不 一 致（ 原 求 积 公 式 系 数若 与 原 求 积 系 数 一 致 ， 则 是 插 值 型 的 ）原 求 积 公 式 不 是 插 值 型 的 。证 毕 。第四章 数值积分与数值微分构造构造插值求积公式插值求积公式有如下特点：有如下特点：(1) 复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分(2) 求积系数求积系数Ak只与积分区间及节点只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数有关，而与被积函数f(x)

32、无关，可无关，可以不管以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值(3) n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度(4) 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性abAnkk0第四章 数值积分与数值微分 (1) 在积分区间在积分区间a,b上选取节点上选取节点xk (2) 求出求出f(xk)及利用及利用 或或解关于解关于Ak的线性方程组求出的线性方程组求出Ak，这样，这样 就得到了就得到了(3) 利用利用f(x)=xn,验算代数精度验算代数精度 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤bakk

33、dxxlA)()()(0kbankkxfAdxxf第四章 数值积分与数值微分例例4.5 对对 构造一个至少有构造一个至少有3次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式30)(dxxf确定求积系数确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式利用求积系数公式302330083) 6116(61) 30)(20)(10 () 3)(2)(1(dxxxxdxxxxA)3()2(3)1 (3)0(83)(83,89,89)31)(21)(01 ()3)(2)(0(3032301ffffdxxfAAdxxxxA因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精度，只

34、需将次代数精度，只需将f(x)=x4代代入来验证其代数精度。将入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有代入两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度解解: 3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点, 在在0,3上取上取0,1,2,3四个节点构造求积公式四个节点构造求积公式) 3()2() 1 ()0()(321300fAfAfAfAdxxf第四章 数值积分与数值微分解：解： 因要求所构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为因要求所构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为11100000111110003()114( )341322()441()114( )413

35、122()44xAlx dxdxx dxxAlx dxdxxdx)43()41(21)(10ffdxxf 故求积公式为故求积公式为例例4.6 给定求积节点给定求积节点 试推出计算积分试推出计算积分 的插值型求积公式，并写出它的余项。的插值型求积公式，并写出它的余项。dxxf 10)(01 =1 4 , 3 4 xx dxxxffR 10)43)(41)(21 其中其中属于属于(0,1)并依赖于并依赖于x。若若 在在0,1上存在，则该求积公式的余项为上存在，则该求积公式的余项为)( xf第四章 数值积分与数值微分 在插值求积公式在插值求积公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中

36、中, ,当所取节点是当所取节点是等距等距时称为牛顿时称为牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式. .其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 )()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里 是插值基函数。是插值基函数。)(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(4.1.2 牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式1、求积系数的形式：、求积系数的形式：(1)1()( )(1)!nbxnafR fx dxn，第四章 数值积分与数值微分 节点节点等距分布等距分布：ninabhhiaxi,., 1, 0, 把把a, b n 等分，用插值等

37、分，用插值Ln(x)近似近似 f(x)积分，有积分，有dthnkkkkkkkntktktttn 0)()1)(1()1()()1)(1()1(dtitknkhnnkiikn 00) )()!( !) 1(个个kkkkk)1()1( 个个knnkkk )()1(dtitknknabnnkiikn 00) )()!( !)1(1)(dtitknknnnkiikn 00) )()!( !)1(1 bankkkkkkknkkdxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)()()()()()(11101110thaxihaxi 0( )nbbikkaaikii kxxAlx dxdxxx)(nkC)()

38、(nkCab Cotes系数系数第四章 数值积分与数值微分因此因此,Newton-Cotes公式为公式为 nkknkbaxfCabdxxf0)()()()(3.1.8)(3.1.9)., 1 , 0,) )()!( !)1(100)(nkdtitknknCnnkiiknnk 其其中中称为柯特斯系数称为柯特斯系数.柯特斯系数不但与被积函数无关，而且与积柯特斯系数不但与被积函数无关，而且与积分区间也无关分区间也无关 Newton-Cotes公式是一类数值积分公式，它是封闭物公式（区公式是一类数值积分公式，它是封闭物公式（区间端点也是积分节点），它是由拉格朗日插值公式推导来间端点也是积分节点），它是

39、由拉格朗日插值公式推导来的的第四章 数值积分与数值微分引理：引理：n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是公式的代数精度至少是n.证明：证明：如果如果f (x)是一个次数不超过是一个次数不超过n次的多项式，则次的多项式，则f (n+1)(x) 0,其拉格朗日插值公式的插值余项为：其拉格朗日插值公式的插值余项为： 即，即，Newton-Cotes公式的值精确地等于定积分的值，故公式的值精确地等于定积分的值，故n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是公式的代数精度至少是n.(1)11( )( )( )( )( )0(1)!nnnnRxf xP xfxn 故故f (x)=Pn(x

40、), 这是对一切这是对一切x均相等，精确成立所以，均相等，精确成立所以，( )0( )( )()()nbbnnkkaakf x dxP x dxbaCf x第四章 数值积分与数值微分结论：结论：当当n 为奇数时，为奇数时，n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n；当当n 为偶数时，为偶数时，n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n+1(稍后再证明稍后再证明)2、Cotes系数特点：系数特点：( )0(1):1 nnkkC归一性，公公式式 nknkbaCNCabdx0)(1)(1。因因此此，10)( nknkC ab即有即有由引理知，求积公式至少有

41、由引理知，求积公式至少有n n次代数精度次代数精度, ,对于对于1,1,积分公式总积分公式总是精确成立是精确成立, ,第四章 数值积分与数值微分)(nkC dtitknknCnnkniiknkn 00)() )()!( !)1(1事事实实上上，)() )()!( !)1(100zdiznknknnnkniik zntdzdtdzinzknknnnkniikn 00)()!( !)1(1(-1)(-1)n+k=(-1)=(-1)n- -k( )( )(2): C nnkn kC对称性dtitknknCnnkiiknnk 00)() )()!( !) 1(1第四章 数值积分与数值微分(1)(1)0

42、1112nCC当时，11(1)(1)010011(1),)22CtdtCtdt 1113.1.8( )()( )( )(3.1.10)22baf x dxIbaf af b因此由（) 即为梯形公式.由于是多项式积分，由于是多项式积分，Cotes 系数计算不会遇到实质性困难。系数计算不会遇到实质性困难。., 1 , 0,) )()!( !)1(100)(nkdtitknknCnnkiiknnk x1bx0ax3、常用的、常用的Newton-Cotes公式：公式：abxy)(xf第四章 数值积分与数值微分2(2)002(2)102(2)20112(1)(2)4614(2)2611(1)46nCtt

43、dtCt tdtCt tdt 当时，这就是抛物线公式，又称这就是抛物线公式，又称辛浦生辛浦生 Simpson 公式公式 。几何意义。几何意义就是用抛物线下的面积近似曲线就是用抛物线下的面积近似曲线f(x)下的面积。下的面积。x2bx0ax122b a a bxa 2( ) ( )4 ()( )(3.11)62babaabf x dxIf aff b., 1 , 0,) )()!( !)1(100)(nkdtitknknCnnkiiknnk 第四章 数值积分与数值微分 )()32(3)32(3)(83bfbafbafafh时时，当当3 n )()3)( 2(3)3(3)(8)()(bfabafa

44、bafafabdxxfbaxba3aba 3)( 2aba 当当n=3时时，NewtonCotes公式称为公式称为Simpson 法则法则(公式公式)83(3.1.12)第四章 数值积分与数值微分40)4(240)4(3)4(140)4(4)4(09012)4)(3)(1(1619032)4)(3)(2(! 41907)3)(2)(1(! 4414dtttttCdtttttCCdtttttCCn时，当401234( )7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()90baf x dxIbaf xf xf xf xf x由（3.1.8)有：这就是这就是柯特斯公式柯特斯公式（Cotes ) 当当

45、n 较大时，例如较大时，例如 n=8 时，系数时，系数 中出现负数，而且有正中出现负数，而且有正有负会使舍入误差增大，数值稳定性较差，因此实际计算并不用有负会使舍入误差增大，数值稳定性较差，因此实际计算并不用 n较大的较大的 公式，而是将区间公式，而是将区间a,b 分割成若干个小区间，对每个或分割成若干个小区间，对每个或几个小区间应用几个小区间应用n 较小的公式去计算。较小的公式去计算。Cotes系数表系数表附后附后.)(nkC(3.1.13)第四章 数值积分与数值微分( )111221412666133138888716216749045154590192525252519528896144

46、1449628841993499416840352801052802584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283nknC10496454010496928588898950283502835028350283502835028350)1(0C)1(1C)2(0C)2(1C)2(2C)3(2C)3(0C)3(1C)3(3C)4(2C)4(0C)4(1C)4(3C)4(4C当当n = 8时，从表中可以看出出现时，从表中可以看出出现了负系数，从而影

47、响稳定性了负系数，从而影响稳定性( (Ak0)0)和收敛性，因此实用的只和收敛性，因此实用的只是低阶公式。是低阶公式。Cotes 系数仅取决于系数仅取决于 n 和和 i，可查表得到，可查表得到(给出了给出了n从从18的柯的柯特斯系数特斯系数)。 Cotes 系数与系数与 f (x) 及区间及区间a, b均无关。均无关。第四章 数值积分与数值微分例例3.7 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字) ) 15 . 0dxx(1) 用梯形公式计算用梯形公式计算 42677

48、67. 0 170711. 025. 0)1 () 5 . 0(25 . 01d15 . 0ffxx(2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx43093403. 0 103866. 0411707. 0121( ) ( )( ).2babaf x dxf af b( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b第四章 数值积分与数值微分(3) (3) 用柯特斯公式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为 ,14.9497525.2982210.3922329.9332670.43096407180积分的准确值为积分的准确值为 43096441. 032d15 . 02

49、315 . 0 xxx可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 10.51 0.5d70.5320.625120.75320.8757190 x x 4337 ( )32 () 12 ()32 ()7 ( )90424baabababfdxhf affff b第四章 数值积分与数值微分3.1.3 Newton-Cotes公式的误差分析公式的误差分析1.偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿阶的牛顿-柯特斯公式至柯特斯公式至少具有少具有n 次的插值精度（定理次的插值精度（定理3.2）。从上面几个特殊的）。

50、从上面几个特殊的公式可以猜想公式可以猜想, n为偶数时为偶数时, 代数精度还可进一步提高，代数精度还可进一步提高，先看先看Simpson公式，它是二阶公式，它是二阶Newton-Cotes公式公式, 因此因此至少具有二次代精度。进一步用至少具有二次代精度。进一步用 x3 进行检验。进行检验。 按按Simpson公式计算得公式计算得：3334()62baabSab另一方面，直接求积分得：另一方面，直接求积分得：4443abdxxIba 易验证易验证S=I, 即即Simpson 公式对次数不超过三次的多项式公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立。均能准确成立。第四章 数值积分与数值微分5)2(4