微积分上册总复习课件：微积分上册课件：二.导数与微分.ppt

1、二、导数与微分1、导数的概念2、导数的几何意义3、导数的求法4、函数的性态(导数的应用)1. 导数和微分的概念 导数导数 :xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 :可导可微 (一元函数)例. 若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f联想到凑导数的定义式220) 1cossin1 (limxxxfx1cossin2xx1coss

2、in2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 例例. . 研究函数研究函数 在在x =0处的处的连续性和可导性连续性和可导性.0 , 00 ,1sin)(xxxxxf解：解： f (0) = 001sinlim )(lim 00 xxxfxx又 f (x)在x=0处连续.xfxfx)0()0(lim 0但.1sinlim0不存在xx f (x)在 x = 0处不可导.xxxx01sinlim02. 导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo

3、0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf3. 导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间

4、接求导法;利用莱布尼兹公式.例例. .).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设解解:0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 通过导数定义求导通过导数定义求导, ,或利用求导公式或利用求导公式.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例. .解解:两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即(1ln )ln1,y yx ,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy隐函数求

5、导法隐函数求导法, ,对数化对数化两边对两边对x x求导得求导得.,)(sincosyxxyx 求求设设例例. .解解:lnlncoslnsinyxxx 211cossinlnsinsinxyxxyxx )sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 显函数求导显函数求导, ,有时对数化更简便有时对数化更简便两边取对数得两边取对数得两边对两边对x求导得求导得21cossinlnsinsinxyyxxxx ,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd 参

6、变量函数的求导法则参变量函数的求导法则2323,sin10yxttety 设设函函数数是是由由参参数数方方程程所所确确定定的的2002.ttdyd ydxdx求求，例例. .例例. .,45202 tdxdyt ttyttx求求设设解解:分析分析:, 的导数不存在时当tt0,0不存在不存在时时当当dtdydtdxt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200. 0 . 00 tdxdy故故或看成分段函数在分界点的导数或看成分段函数在分界点的导数-定义求导定义求导.,114)(22nyxxy求求设设 例例. .解解:13441142222 xxxxy)1111

7、(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny高阶求导法则高阶求导法则, ,间接求导法间接求导法1n4. 导数应用sintan202xxxx 证证明明：1. 研究函数的性态:单调 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;证明不等式 ;研究方程实根等.例例. . 2221cos2cos11cossintan2cos2coscoscosxxxxxxxxxx 提提示示：( )yf

8、 x 若若函函数数满满足足(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 (a , b) 内可导(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f ( a ) = f ( b ),( )0.f 使使xyoab)(xfy 则在( a , b ) 内至少存在一点罗尔( Rolle )定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续( )yf x 若若满满足足(2) 在区间 ( a , b ) 内可导则至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 柯西(Cauchy)中值定理( )( )f xx若若函函数数及及g g满满足足(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内则至少存在一点, ),(ba使( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag ( )0g x )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 泰勒中值定理泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间之间与与在在其中其中xxxxnfxRnnn