微积分上册课件：7.2幂级数.ppt

1、第二节 幂级数第七章二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算一、函数项级数的概念一、 函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu称为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 .对, I0 x若常数项级数10)(nnxu敛点敛点,所有收敛点的全体称为级数的收敛域收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的一列函数（称为函数列）, 收敛,发散 ,所有0 x称为其收收 0 x称为其发散点发散点, ( )nux发散点的全体称为级数的发散域发散域 .表达式( )S x定义的函数 为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn

2、令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有lim( )( )nnSxS x 0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 称由 二、幂级数及其收敛性 00nnnxa x 显显然然，当当时时，幂幂级级数数必必定定收收敛敛，也也就就是是说说，形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210幂级数的系数系数 .的情形, 即nnxxa)(0称为 .幂幂级级数数总总有有收收敛敛点点例： 幂级数,xx当当 任任取取一一值值时时 它它是是一一个个公公比比

3、为为 的的等等比比级级数数，所所以以从而它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x( 1,1),x 且且当当时时有和函数 1,x 当当时时;幂幂级级数数收收敛敛1,x 当当时时;幂幂级级数数发发散散ox发 散发 散收 敛收敛 发散定理 1( Abel定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式证证: 设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛, 则必有),2, 1(0nMxann

4、于是存在常数 M 0, 使当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设存在一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间或仅由原点构成的单点集. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R

5、= 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点或0称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散; 在(R , R ) 称为收敛区间收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散xaaxaxannnnnnnn111limlim定理2 若若,|0收敛收敛级数级数 nnnxa0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若 0,则根据比值审敛法可知:当,1xx即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则 .0收敛收敛绝对绝对从而

6、级数从而级数 nnnxa11,|,xx 当当即即时时,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa lim| 0lim0nnnnnna xa x则则，从从而而0nnna x 故故级级数数发发散散1R 因此级数 的收敛半径为111limlimnnnnnnnnaxaxxa xa 1limnnnaa 0nnnxa2) 若, 0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发散 ,.0R对任意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明: :据此定理1limnnnaaR111limlimnnnnnnnn

7、axaxxa xa 对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为例1. .求幂级数 limn 例2. 求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! ) 1(1n例3.nnx

8、nn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 所给级数有无穷多项的系数为零，叫做缺项级数.显然此级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,用比值审敛法求收敛半径.1( ) limlim( )nnnnuxux 2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t

9、= 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令,min21RRR nnnnnnxbxa000()nnnnabx 收收敛敛0nnnc x 收收敛敛 ,R R 则在它们公共的收敛区间 有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .两个收敛幂级数相加减或相乘所得的幂级数，其收敛半径 12min,RRR 说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来

10、两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11定理4 若幂级数若幂级数 0nnna x nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数0( )()nnnS xa x 11nnnna x ),(RRx000( )d()xxnnnS xxa xdx 101nnnaxn ),(RRx则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同: 00dxnnna xx 例5. 1nnxn求幂级数的

11、和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发散,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx例例61(1)2nnn n 求求常常数数项项级级数数的的和和。解解 1,)1(nnxnn考虑幂级数考虑幂级数易易求求得得其其收收敛敛区区间间为为),1 , 1( 则则 1)1()(nnxnnxS 11)1(nnxnnx 11)(nnxx 11)(nnxx)1(2 xxx3)1(2xx 所以所以 12)1(nnnn)2/1(S 3)211(212 . 8 例7. 求级数求级数01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级

12、数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS 001dxnnxxx 011d1xxxx )1ln(1xx(011)xx 及及收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxx001dxnnxxx 1x 时时级级数数发发散散) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx故)(xS而)0(S, )1ln(1xx,10 x,1(011)xx 及及例8.221.(1)2nnn 求求常常数数项项级级数数的的和和解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(21nnnx101x

13、nnxdx 而 101xnnxdx 0d1xxx )1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求 .2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分1. 在幂级数nn

14、nnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在 ?答: 不能不能. 因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立思考与练习思考与练习 答答:不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 2. 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？那么它的收敛域是否也不变？习题 求极限求极限, )(lim221nanaan其中. 1a解解: 令nnanaaS221nkkak1作幂级数,1nnxn设其和为, )(xS易知其收敛半径为 1,则1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa