概率论与数理统计课件：2-4.PPT

1、一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第四节连续型随机变量及其概率第四节连续型随机变量及其概率密度密度.,)(,d)()(, )(简称概率密度简称概率密度密度函数密度函数的概率的概率称为称为其中其中为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数非负函数非负函数存在存在的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXttfxFxxFXx 一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义xo)(xf11d)( xxfS1SxxfSxxd)(211 1x 2x )()(

2、)3(1221xFxFxXxP ;d)(21xxfxx xxfxd)(2 证明证明.d)(21xxfxx )()(1221xFxFxXxP xxfxd)(1 性质性质;0)()1( xf;1d)()2( xxf证明证明 .d)()(1xxfF ).()(,)()4(xfxFxxf 则有则有处连续处连续在点在点若若)(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP xxfxxfad)(d)( )(1aF xxfxxfad)(d)( .d)(xxfa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即

3、. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a 是不是不可能事件，则有可能事件，则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkx

4、xxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)()1( xxf由由例例1的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 .)3

5、(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例2),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, )(lim)(xFaFax ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6

6、121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性

7、是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间baxo)(xf a bab 1 lablp l ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为 ., 0,1100900),9001100(1)(其其他他rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例3 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率 例例4 设随机变量设随机

8、变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其他其他xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则.32,3 bY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,0. 0, 0, 0,e1)(分布分布的指

9、数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 XxxxfXx 2. 指数分布指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数. 0 , 0, 0,e1)(xxxFx例例5 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时).(1)任取一只这种灯管任取一

10、只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(20001xxxFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 0e21 10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 0e21 ).,(,)0(,e21)(22)

11、(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐

12、近线轴为渐近线曲线以曲线以 x.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用

13、与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算(演示演示)方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt标准正

14、态分布的图形标准正态分布的图形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例6 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的分布函数为的分布函数为XZ xZP xXPxXP ,de21222)( xtt得得令令,ut xZP xuude2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解xdcxde21222)( ,ux 令令uudcde2122 dXcP uudcde2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例7 d uudde2122 uucde2122 )()

15、(cFdFdXcP 因因而而. cd . c . cddXcP 即即例例8 证明证明).(1)(xx xxxxde21)(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 证明证明(1) 所求概率为所求概率为89 XP)2(5 . 09089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例9?,99. 080)2(.89,90)1().5 . 0,(,)(,.o2oo至少为多少至少为多少问问低于低于的概率不的概率不至少为至少为若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度的概率的概率小于小于求求若若且且是一个随机变量是一个随机变量计计以以液体的温度液体的温度调节器整

16、定在调节器整定在容器内容器内贮存着某种液体的贮存着某种液体的将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在dCXddNXCXCd 99. 080)2( XP99. 0801 XP99. 0)80(1 F99. 05 . 0801 d ,01. 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极

17、其广泛的实际背景, 例如测量例如测量误差误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常正常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般那么这个变量一般是一个正态随机变量是一个正态随机变量.3. 正态分布是概率论

18、中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理还是在理论上论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料