微积分下册常微分方程课件:5.全微分方程.PPT
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- 关 键 词:
- 微积分 下册 微分方程 课件
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1、一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法;),(Cyxu 1.1.定义定义: :0),(),( dyyxQdxyxP则则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx221( , )(),2u x yxy称为全微分方程称为全微分方程或恰当方程或恰当方程是全微分方程是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程全微分方程的通解即为全微分方程的通解即为221()2xyC其通解为其通解为2.2.解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP yyxxdyyxQxdyxPyxu00),
2、(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.是全微分方程是全微分方程( , )uP x yx( , )( , )( )u x yP x y dxC y再由再由( , )uQ x yy( )C y(不定积分法(不定积分法)(曲线积分法(曲线积分法)(凑微分法(凑微分法).0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例1 1.
3、0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd 例例2二、积分因子法二、积分因子法定义定义: : 0),( yx 连续可微函数,使方程连续可微函数,使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?1.1.公式法公式法
4、: :,)()(xQyP xQxQyPyP ,两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx ;.有关时有关时只与只与当当yb ln1()dPQdxQyx( )f x.)()( dxxfex , 0 x ,dydy ln1()dQPdyPxy( )g y.)()( dyygey 2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln
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