信号与系统课件：2.2微分方程式的建立和求解.ppt

1、主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件

2、特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程

3、式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零

4、零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程: ,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。 齐次解齐次解：由微分方程由微分方程齐次方程齐次方程特征方程特征方程求出特征求出特征根根写出齐次解形式写出齐次解形式nktkhkAtr1e)(经典法)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 0)(d)(dd)(d

5、d)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn微分方程：微分方程：齐次方程：齐次方程：10110nnnnC aC aCaC特征方程：特征方程：特征根：特征根：12,na aa齐次解：齐次解：特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。注意重根情况处理方法。若注意重根情况处理方法。若 是是k 重根，和它有关重根，和它有关的为的为k 项项1a11121211()()ka ta tkkk ikKiiAtA tAtAeAte几种典型激励函数相应的特解激

6、励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sincos21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sinecose11211121 kA全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t = 0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,

7、 )0(nntrtrtrr 初始条件的确定是此课程要解决的问题。初始条件的确定是此课程要解决的问题。1( )( )ina tipir tAer t例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 0),()(8)(6)( ttftytyty08624, 221解解: (1)求齐次方程求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解的齐次解yh(t)特征方程为特征方程为特征根为特征根为齐次解齐次解yh(t)ttheKeKty4221)(初始条件初始条件y(0)=1, y(0)=2, 输入信号输入信号f(t)= e-tu(t)，求系统的，求系统的完全响应完全响应y(t)。2) 求非齐次方程求非齐次方程y“(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解的特解yp(t) 根据输入信号根据输入信号f(t)=e-t u(t)的形式，设方程的特解为的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t将特解代入原微分方程，即可求得常数将特解代入原微分方程，即可求得常数 C=1/33) 求方程的全解：求方程的全解：所以所以代回原式得代回原式得