微积分下册课件:2-3.PPT
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- 微积分 下册 课件
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1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法2.3 2.3 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数,的偏导数, 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数的偏导数都存在,那么这个偏导数就是就是x、y的函数,它就
2、称为函数的函数,它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数,的偏导数, 记作记作xz ,xf ,xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数,记作数,记作yz ,yf ,yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yx
3、yxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx, 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ,求,求xz ,yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx
4、 yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV (R为常数) ,求证:为常数) ,求证:1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏导数偏导数xu 是一个整体记号,不能拆分是一个整体记号,不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明:有关偏导数的几点说明:、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;定义求;解解xxfxx0|0
5、|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处,处,0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续,连续,多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续,连续,4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图几何意义几何意义:
6、 :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数例例 5设设13323 xyxyyxz,求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19
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