微积分上册课件：6-2 定积分的性.ppt

1、第二节 定积分的性质第六章 在下面的性质中，假定定积分都存在在下面的性质中，假定定积分都存在.01( )lim()nbiiaif x dxfx 12max,nxxx 说明说明证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1（线性性质）（线性性质）证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(

2、lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2 ( )( )bbaakf x dxkf x dxk 为为常常数数该性质从几何上看是比较明显的，如当acb时， 表示的是面积I与II的和，而面积I与II的值分别是badxxf)(与cadxxf)( )bcf x dx y=f (x)oaxycbIII badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.假设假设bca 性质性质3 3（区间可加性）（区间可加性）补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永

3、远取 c 为分点 ,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()( )( )cbacf x dxf x dx则则则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni 0,ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx 01lim()niiifx ( )baf x dx 性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，0 01lim()nii

4、ifx ( )baf x dx 性质性质5 5的推论：单调性的推论：单调性证证),()(xgxf , 0)()( xfxg ( )( )0bag xf x dx ( )( )0bbaag x dxf x dx于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）则则0)( dxxfba. . )(ba 性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbab

5、aba 即即dxxfba )(dxxfba )(.性质性质5 5的推论：的推论：（2）则则0)( dxxfba. . )(ba 性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6（估值定理）（估值定理）如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续

6、，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的

7、曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。 积分中值定理对积分中值定理对.ab 也也成成立立例1证证 , 0d)( . 0)( , ),()( baxxfxfbaCxf若且设 . , , 0)( baxxf证明： , 0)( 0 xf , , , 0)( baxxf设/0 ( )0 U(). f xxx . 0d)( , )U(, 0 xxfx则取 , 0d)( , 0d)( 故又baxxfxxf. 0d)(d)(d)(d)(babaxxfxxfxxfxxf . , , 0)( baxxf该矛盾说明： , 0使则至少bax

8、 , )U( , ),()( 0使由xbaCxf0d)(baxxf0)(xf/有什么结论？换成(局局部部保保号号性性）例2证证 , )()( , ),()( ),( xgxfbaCxgxf且设 . 1 ),()()( 的讨论即可证得由对例令xgxfxF . d)( d)( . , )()(babaxxgxxfbaxxgxf证明：/例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4

9、224 dxxx.22sin2124 dxxx解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结解：解： 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1, 0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1 , 0上都不可积。上都不可积。例例思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？