微积分上册课件：7.4傅立叶级数.ppt

1、第四节 傅里叶级数第七章一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数01(cossin)2nnnaanxbnx 为角频率,(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数. 为初相 ) 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,s

2、in,xxxxnxnx, . (1)(1)三三角角函函数数系系中中任任意意两两个个不不同同函函数数的的乘乘积积在在上上的的积积分分等等于于零零, 0cos nxdx, 0sin nxdx三角级数三角级数 由函数系由函数系 组成，此函数系称为三角函数系组成，此函数系称为三角函数系.关于三角函数系有下列重要的特性：关于三角函数系有下列重要的特性：, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中01(cossin)2nnnaanxbnx 上的积分不等于上的积分不等于 0 ,2d11xxxn dsin2x

3、xn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有 （2 2）在三角函数系中两个相同的函数的乘积在）在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 , 三三角角函函数数系系的的这这种种性性质质称称为为三三角角函函数数系系在在上上的的正正交交性性. .而且，根据三角函数的周期性，它们在任一长为一个周期的而且，根据三角函数的周期性，它们在任一长为一个周期的区间上也成立区间上也成立. .二、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开若能展开, 是什么是什么?,nnab2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaa

4、xf若有若有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 将一个已知函数展开为三角级数将一个已知函数展开为三角级数01(cossin)2nnnaanxbnx 022a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(01coscossincoskkkakxnxdxbkxnxdx dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx nxdxan2cosna nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1

5、( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincosnxdxkxbnxdxkxakkk1nb ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件问题问题: :称为函数称为函数 的傅里叶系数的傅里叶系数( )f x称为函数称为函数 的傅里叶级数的傅里叶级数( )f x具有傅里叶系数的三角级数具有傅里叶系数的三角级数2.2.狄利克雷狄利克雷

6、(Dirichlet(Dirichlet) )收敛定理收敛定理设设)(xf是以是以 2为周期的周期函数为周期的周期函数. .如果它满足条件如果它满足条件: :在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, ,并且并且至多只有有限个极值点至多只有有限个极值点, ,则则)(xf的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛, ,并且并且例1. (0,1,2,)xkk 当当处处不不连连续续，其其它它点点都都连连续续， fx从从而而由由收收敛敛定定理理可可得得的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛，(0,1,2,)xkk 且且当当时时级级数数收收敛敛于于设 f (x) 是周期为 2 的

7、周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解: 显然所给函数满足收敛 定理的条件将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11(0)(0)2ff1102 xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n(0,1,2,)( ),xkkf x 当当时时级级数数收收敛敛于于其其傅傅里里叶叶系系数数为为：xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnxxnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx01cosnxn 01cosnxn nncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当

8、,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx(21)(0,1,2,)xkk 当当处处不不连连续续，其其它它点点都都连连续续， fx从从而而由由收收敛敛定定理理可可得得的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛，(21)(0,1,2,)xkk 且且当当时时级级数数收收敛敛于于解: 显然所给函数满足收敛定理的条件(0)(0)2ffxoy例2.),xxxxf0,00,)(2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. ()022 xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1

9、xx0212x 2021sincosxnxnxnn 2cos1nn(21)(0,1,2,)( ),xkkf x 当当时时级级数数收收敛敛于于其其傅傅里里叶叶系系数数为为：),2,1(k12 knkn2, 0,2) 12(2k), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(0dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 25251),2,1,0,) 12(,(kkxx, )(xxf周期延拓)(xF傅里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数若函数 f (x)只在区间 ,上有定义，且满足收敛定理

10、的条件，则函数 f (x)也可展开成傅里叶级数：( ), ,)f xx (2),21, 21f xkxkk 例3. 将函数xxxxxf0, 0,)(oyx则F(x)在每一点都连续.xxFad)(10 xxfd)(10d2xx2022x xnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx202sincosxnxnxnn 解: 将 f (x)延拓成以2为展成傅里叶级数周期的函数 F(x) , 如图：x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos51

11、2)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n说明:42,421312设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222224 (1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来，一个函数的傅里叶级数既含有正弦项，又一般说来，一个函数的傅里叶

12、级数既含有正弦项，又含有余弦项含有余弦项.但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项弦项或者只含有常数项和余弦项.三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 (2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级展开成傅里叶级数时数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函数奇函数 0sin)(2nxdxxf),

13、3 , 2 , 1( n同理可证同理可证(2)定义定义 nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.例4. 设的表达式为 f (x)x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo),2,1,0(0nan因此(21)(0,1,2,)xkk 当当处处不不连连续续，其其它它点点都都连连续续， fx从从而而由由收收敛敛定定理理可可得得的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛，(21)(0,1,2,)xkk 且且当当时时级级数数收收敛敛于于解: 显然所给函数满足收敛定理的条件(0)

14、(0)2ff()02根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkx0dsin)(2xnxxfbn),3,2,1(n0dsin2xnxx202cossinxnxnxnn nncos21) 1(2nn例5. 将周期函数tEtusin)(展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2

15、ttut 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数)(xF, 0(),(xxf,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf(),(, 0)fxx 1xyo例6.

16、 将函数将函数1,k )0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx202cossincosxnxnxnxnnn nnncoscos1212 kn),2, 1(k,1222k2nk nb12,1222knk),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x经过奇延拓和周期延拓后的函数在端点 x = 0, 处间断，此时级数的和为0 ，它与原来函数f (x)的值不同.1xyo从而函数f (x)的正弦级数为1,2nkk再求余弦级数再求余弦

17、级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knk),2, 1(k作偶周期延拓 ,0 ,2nk 121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yox内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1)

18、,2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于00(0)(0)2f xf x2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt

19、nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 处收敛于3.0)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:(0)(0)2ff 21(1)2 22 (40)(40)2ff (00)(00)2ff112 设周期函数在一个周期内的表达式为 ,xyo1122 4. 写出函数)(xf0, 1x x0, 1上在,傅里叶级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xf习题 1.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”的傅里 2. 设设)(xf是以 2 为周期的函数 ,其傅里叶系数为,na则)()(为常数hhxf的傅里叶系数. , nnba提示提示:xdxnfancos)(1hxthtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1nanh cosnbnhsinhxt令ttntfnhdcos)(cos1nhbnhannsincosnhanhbnnsincoshh利用周期函数性质,nb