微积分上册课件：6-4定积分的换.ppt

1、第四节 定积分的换元法和第六章分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法 三、小结三、小结定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、定积分的换元积分法 定积分换元公式证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba (

2、 ) ( ),tFt 令令则则dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf ( ) ( )tFt 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）要注意换元必换限换元必换限 , 而原函数中的变量不必代回 .（3）换元公式也可反过来使用 , 即)(tx令xxfbad)(tfd)(t)(t或配元f)(t)(dttfd)(t)(t配元不换限换元必换限502131 1

3、dxx计算例解: 令1+3x=t, 则 .31dtdx 152013xdx 当x=0时, t=1; 当x=5时, t=16. 因此, 1162113tdt 1162123t 2 例2. 计算计算).0(d022axxaa解解: 令,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例3. 计算计算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(2

4、13tt 13322; 1t且 例例4 4 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt4 2011lnsincos2 22tt 解：解：令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t041t dt 1505t 15 140t dt 4205 cossinxxdx 例例计计算算420coscosxdx 原式原式故故 原式原式另解：另解：原式原式420coscosxdx 5201co

5、s5x 1015 15 配元不换限换元必换限例例6 6 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例7., ,)(aaCxf设证证:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0

6、 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令奇函数奇函数例例8 8 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 dx 1122112xx 1-1211cosdxxxx 102144dxx证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x,

7、t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft0() (sin )t ft dt 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf0(sin )xfx dx 00(sin )(sin )2xfx dxfx dx 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx02|)arctan(cosx.42 )44(2 0)(sindxxxf112022sin1)2( ;11) 1 (dxxdxx求11211Idtt112. 011, 0dxxI即所以例1011211 ) 1 (dxxI解tx1令)(tdt11111122

8、111( )1112d ttt 剖析：剖析：上面的解法是错误的, 这是因为: 定积分换元积分公式中要求x=(t)在t上(t)连续, 但现在的变换 在t=01, 1处间断, 更谈不上 连续, 不满足使用的条件.1xt 1t 正确解法是正确解法是12111dxx 11arctan x ()44 2 1sin2tx 令令, ,20. 02sin1dxx因此2020sincos2sin1dxxxdxx4024cossinsincosdxxxdxxx222剖析: 上面的解法是错误的, 这是因为xt2sin1在0, 上非单调. 本题的正确解法是:220 (2)1sin2xdx 0,1;xt则则当当时时,1

9、,2xt 当当时时解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 22231dxxx 剖析剖析:计算中第二步是错误的：计算中第二步是错误的：23,34t 时时tan0t 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 433212 二、定积分的分部积分法 证证:定理：定理：( ), ( ) ,u xv xa b设设函函数数在在上上具具有有连连续续导导数数则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()()()()()( )()(xvxu

10、xvxuxvxuab)()(xvxuxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,babbbaaaudvuvvdu即即定积分分部积分公式例1eeex211011100 xxxedxxde 解1010dxexexx10dxxex计算例2. 计算计算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231 . d |ln| 1 eexx计算eeeexxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln( d

11、|ln| eeeexxxxxx 1 1 1 1 11dlnd ln . ) 11 ( 2e例3解解:20dcosxxn例4. 证明20dsinxxInn证证: 令20dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数,3254231nnnn n 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0 2022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得递推公式21

12、nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立 .0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin,txu dtdu 1000sinxudu 0,;tux当当时时,0;txu当当时时2. 设设( )0,2,fx 在在连连续续, 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.

13、d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)习题1. 证明 证：2( )sindxxf xuu 是以 为周期的函数.2dsin)(xxuuxf2dsinxxtt2sindxxuu 是以 为周期的周期函数.( )f x ( )f x2sin() dxxtt ut 令令解：解：2.右端试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部积分)(d)2(21xfbaxba再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21= 左端( )( )0,f af b且且( ) , ,f xa b设设在在上上有有连连续续的的二二阶阶导导数数