概率论与数理统计课件：3-1.PPT

1、一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布四、两个常用的分布 五、小结五、小结第一节第一节 二维随机变量二维随机变量图示图示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二维随机变量或二维随机变量叫作二维随机向量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 1.

2、定义定义实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置 ( X, Y ) 就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量. 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与 X 、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前区学前儿童的发育情况儿童的发育情况 , 则儿童的则儿童的身高身高 H 和体重和体重 W 就构成二就构成二维随机变量维随机变量 ( H, W ).说明说明 2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),( :,),

3、( 的联合分布函数的联合分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,. ),(域内的概率域内的概率在如图所示区在如图所示区的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxF(2) 分布函数的性质分布函数的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任

4、意意固固定定的的, 1),(02o yxF, y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy. 1),(lim),( yxFFyx.,),(),0,(),(), 0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF , 0),(lim),( yxFFyx,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有证明证明,2121yYyxXxP , 0 ,212yYy

5、xXP ,22yYxXP . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,211yYyxXP ,12yYxXP ,21yYxXP ,11yYxXP 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有所取的可能值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型为二维离散型随机变量随机变量.二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 1. 定义定义 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 . 1, 011 ijijijpp其中其中 . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的联合分布律的

6、联合分布律和和或随机变量或随机变量的分布律的分布律变量变量称此为二维离散型随机称此为二维离散型随机记记值为值为所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机

7、变量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX例例1XY12341234418112116108112116100121161000161 ( X, Y ) 所取的可能值是所取的可能值是),0,0(解解),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(0, 0 YXP,28328230203 抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一

8、支红笔一支红笔例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色支绿色圆珠笔的盒子里圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支随机抽取两支, 若若 X、Y 分别分别表示抽出的蓝笔数和红笔数表示抽出的蓝笔数和红笔数,求求 ( X, Y ) 的分布律的分布律.1, 0 YXP,14328131203 2, 0 YXP0, 1 YXP0, 2 YXP1, 1 YXP,14328031213 ,28128032203 ,28928130213 .28328030223 故所求分布律为故所求分布律为XY210283289283143143028100012例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个

9、球,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个从中任取一个, 不放回袋中不放回袋中 , 再任取一个再任取一个, 设每设每次取球时次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X, Y 分分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数的分布律与分布函数. ( X, Y ) 的可能取值为的可能取值为),2 , 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2 , 2(122故故 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为XY

10、21213103131,31, 022211211 pppp下面求分布函数下面求分布函数.2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21 , 21)2(时时当当 yx,2, 21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 ,21 , 2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2, 2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(所以所以( X ,Y ) 的分布函

11、数为的分布函数为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或, ),( xxyyijijpyxF说明说明离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji .,),(),(,),(,dd),(),(,),(),(),( 的联合概率密度的联合概率密度和和机变量机变量或称为随或称为随的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使对于任意使对于任意如果存在非负的

12、函数如果存在非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1.定义定义 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量. 1),(dd),()2( Fyxyxf.dd),(),( GyxyxfGYXP. 0),()1( yxf2.性质性质内的概率为内的概率为落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GYXxoyG),(,)3(. ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则有则有连续连续在在若若表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等

13、于全部体积等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf 3.说明说明.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz .)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函数求分布函数其它其它具有概率密度具有概率密度设二维随机变量设二维随机变量例例4解解 yxyxyxfyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其他其他yxyxyxyx ., 0.

14、0, 0),e1)(e1(),(2其他其他得得yxyxFyx,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31 1.均匀分布均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称 ( X , Y ) 在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布. ., 0,),(,1),(其他其他DyxSyxf四、两个常用的分布四、两个常用的分布 例例5

15、 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y ) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,试求试求( X , Y )的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数,其中其中D为为x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 .解解xyo1 xy ., 0,),(, 2),(其他其他得得Dyxyxf1 1,01时时或或当当 yx0),( yxf; 0dd),(),( vuvufyxFxy ., 0,),(,1),(其他其他由由DyxSyxfvuvufyxFxydd),(),( yxyuyvuvu011011d2dd2d;)22(yyx ,10 , 01时时当当 xy

16、x1 xy1 11 yxxyo,1, 01时时当当 xyxvuvufyxFxydd),(),( ;)1(d2d2101 xvuuxxyo1 xy1 1x,10 , 0时时当当 yxvuvufyxFxydd),(),( yyuyvuvu0011011d2dd2dxyo1 xy1 11 y;)2(yy ,1, 1时时当当 yxvuvufyxFyxdd),(),( . 1d2d0110 uvu . 1, 1, 1, 10, 0,)2(, 1, 01,) 1(, 10, 01,)22(, 0, 1,0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或或所以所以 ( X , Y ) 的分布函数为的分布

17、函数为2.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度 2222212121212)()(2)()1(21221e121),(yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且均均为为常常数数其其中中),( yx记记为为正正态态分分布布的的二二维维服服从从参参数数为为则则称称.,),(2121YX),(),(222121NYX二维正态分布的图形二维正态分布的图形推广推广 n 维随机变量的概念维随机变量的概念.),(,),(,),(),(, , 212211维随机变量维随机变量维随机向量或维随机向量或叫做叫做维向量维向量由它们构成的一个由它们

18、构成的一个上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设nnXXXnSeXXeXXeXXeSEnnn 定义定义 元函数元函数个实数个实数对于任意对于任意nxxxnn,21,),(221121nnnxXxXxXPxxxF .),(21联合分布函数联合分布函数的的称为随机变量称为随机变量nXXX1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数.,),(yYxXPyxF 2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数,ijjipyYxXP ;, 2 , 1, ji.),( yyxxijjipyxF3. 二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度.dd),(),(vuvufyxFyx 五、小结五、小结