信号与系统课件：4.3拉氏变换的性质.ppt

1、第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.3 单边拉普拉斯变换的性质第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1212( )( )( )( )af tbf taF sbF s则 式中,a和b为任意常数。 若1122( )( );( )( )f tF sf tF s1.1.线性特性线性特性证明：12120( )( )( )( )stL af tbf taf tbf t edt1200( )( )ststaf t edtbf t edt=12( )( )aF sbF s=第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2. 尺度变换尺度变换1()( ),0sf atFaaa( )( )f

2、 tF s0()()stL f atf at edt若则式中规定式中规定a0是必要的是必要的,因为因为f(t)为有始信号为有始信号,若若a0的规定对单边拉氏变换是必要的。 因为若t00,b0,则证明：() ()( )bsL f tb u tbF s e先由延时定理得： 1() ()bsasL f atb u atbFeaa再由尺度定理得：第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例-1 设f(t)=sin0t,因而 , 若t00,试求下列信号的拉氏变换:（1）f(t-t0)=sin0(t-t0); （2）f(t-t0)u(t)=sin 0(t- t0)u(t);（3）f(t)u(t-t0

3、)=sin 0 tu(t- t0);（4）f(t-t0)u(t-t0)=sin 0(t- t0)u(t- t0)。 00220( )sinF sLts解: 四种信号如图4.1(a)、(b)、(c)、(d)所示。0tt0)(sin00tt (a)0tt0)()(sin00tutt(b)0tt0(c)0tt0(d)(sin00ttut)()(sin000ttutt 图4.1 例4-1图 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 对于（1）和（2）两种信号t0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即1200( )( )sin()F sF sLtt00 000 0sin()cos()cos()si

4、n()Ltttt00 00 0220cos()sin()tsts常数项常数项常数项常数项第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 对于信号（3）,它的拉氏变换是03000( )sin() ()sin()sttF sLt u ttt edt000()()12sjtsjtteedtj0000()()0012sjtsjteejsjsj000 00 0220cos()sin()sttstes第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 对于信号（4）,它的拉氏变换是4000( )sin() ()F sLtt u tt00000()()12jt tjt tstteeedtj0 0000 000()(

5、)0012jtsjtjtsjteeeejsjsj00002200012stststeeej sjsjs第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例-2 求图4.2所示锯齿波f(t)的拉氏变换。解: 首先写出f(t)的时域函数表达式( ) ( )()Ef tt u tu tTT0ETtf (t) 图4.2 例42图 ( )()EEt u tt u tTTT第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ( ) ( )( )()EEF sL f tL tu tL tu tTTT应用拉氏变换的时移特性,有( )() ()EEL tu tL tTT u tTTT2211()sTsTETeeTsss(

6、 )() ()()EEEL tu tL tT u tTL Tu tTTTT21 (1)sTEsT eTs第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例43 试求图4.3(a)所示单个正弦半波信号f(t)的拉氏变换。 0Etf (t)0tT2TEE2T0tTEE2Tfa(t)fb(t) 图4.3 例43图 (a)(b)(c)22( )( )( )sin() ( )sin() ()22abTTf tf tf tEt u tEtu tTT解: 把单个正弦半波信号f(t)分解成如图4.3(b)所示的单边正弦信号fa(t)和如图4.3(c)所示的延时T/2的单边正弦信号fb(t)之和,即 第4章 拉普

7、拉斯变换、连续时间系统的S域分析 应用拉氏变换的应用拉氏变换的时移特性时移特性, ,有有( ) ( )( )( )abF sL f tL f tL f t2222222()()22()()sTEETTessTT2222()(1)2()sTETesT22sin() ( ) sin() ()22TTL Et u tL Etu tTT第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。0tE2Tf (t)T2T解: 在例43中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即本题第一个周期的波形）的拉氏变换为 图4.4 例 44图 21222()( ) (

8、)(1)2()sTETF sL f tesT第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2222()1( ) ( )(1)21()sTTsETF sL f teesT因此, 可直接解出2222()(1)2(1)()sTsTEeTesT2222()12()(1)sTETseT等比级数公比小于一时的求和公式第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例- 试求图.所示信号 f(t)=e-2tu(t-2)-u(t-4)的拉氏变换。解：0tf (t)241 图4.5 例4-5图 22( )(2)(4)ttf teu teu t2(2)42(4)8(2)(4)ttee u tee u t422824

9、( ) ( )tstsF sL f te L eee L ee2(2)4(2)2ssees于是 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4、s域平移特性域平移特性( )( )f tF s( )()atf t eF sa若则证明：0( )( )s a tatL f t ef t edtF sa 此定理表明：时间函数乘以时间函数乘以e-at,相当于在相当于在s域内平移域内平移a。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例 求f(t)=e-tcos(0t)u(t)的拉氏变换。 解：因为 01220cos() ( )( )sLt u tF ss01220cos() ( )()()atsaL

10、 et u tF sasa利用拉氏变换的频移特性可见,利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直接求解简单得多！第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若5. 5. 时域微分时域微分 ( )( )L f tF s 式中式中f(0f(0- -) )及及f f(n)(n)(0(0- -) )分别表示分别表示f(t)f(t)及及f(t)f(t)的的n n阶微分阶微分f f(n)(n)(t)(t)在在t=0t=0- -时的值。时的值。 ( )( )(0 )df tLsF sfdt则12(1)( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnnd f tLs F ssfsffdt(4-14)(4-15)第4章

11、 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 证明证明:根据拉氏变换定义根据拉氏变换定义0( )( )stdf tdf tLedtdtdt 积分下限取积分下限取0-是把是把f(t)中可能存在的冲激信号也包含中可能存在的冲激信号也包含在积分中。应用在积分中。应用分部积分法分部积分法,则有则有 00( )( )()( )ststd tLef ts ef t dtdt(4-14)式得证。式得证。 ( )(0 )sF sf第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 同理可得222200002( )( )( )( )( )(0 )( )(0)( )(0 )(0 )ststststd f td f td df

12、 tLedtedtdtdtdtdtdf tdf tesedtdtdtfs sF sfs F ssff 依此类推依此类推,可得式（4-15）。若若f(t)为单边信号,则则式（4-14）中由于f(0-)=0而简化为 ( ) ( )( )d f t u tLsF sdt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例47 47 利用时域微分性质利用时域微分性质, ,重求例重求例4242（图（图4.24.2）所示锯）所示锯齿波的拉氏变换。齿波的拉氏变换。 解解: : 因为因为 ( ) ( )()Ef tt u tu tTT( )( )( )()()( )()()( )()()EEEEf tttu t

13、ttTu tTTTTTEEEu tTtTu tTTTTEEu tEtTu tTTT( )( )()()EEfttEtTtTTT0ETtf (t)=0第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ( )1 ()1 (1)sTsTsTsTsTEEL ftEseeTTETseeTEsT eT由时域微分性质由时域微分性质, ,又因又因f(f(0 0- -)=f()=f(0 0- -)=0,)=0,有有 L Lf(t)f(t)=s=s2 2F(s),F(s),故得故得21 (1)( )TsTEsT eF ss第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 6. 6. 时域积分时域积分若 ( )( )L f

14、 tF s则01( )( )tfdF ss( 1)11( )( )(0 )tfdF sfss0( 1)0(0 )( )( )ttffdfd第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 证明: 根据拉氏变换的定义000( )( )ttstLfdfdedt 应用分部积分法可得 00001( )( )( )stttsteLfdfdf t edtss当t或t=0-时,上式右边第一项为零,所以 01( )( )tfdF ss=0第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例48 48 试通过阶跃信号试通过阶跃信号u(t)u(t)的积分求斜坡信号的积分求斜坡信号tu(t)tu(t)及及t tn nu(

15、t)u(t)的拉氏变换。的拉氏变换。 解解: : 因为因为 而奇异信号之间的微积分关系有而奇异信号之间的微积分关系有重复应用时域积分重复应用时域积分, ,可得可得0211( ) ( )( )( )1 11( )( )!( )tnnF sL u tstu tudL tu ts ssnL t u ns01( )( )tfdF ss第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 7.时域卷积时域卷积若1122( )( );( )(s)L f tF sL f tF则1212( )( )( )( )L f tf tF s F t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例 已知某LTI系统的冲激响应h

16、(t)=e-tu(t),试用时域卷积定理求解输入信号f(t)=u(t)时的零状态响应yf(t)。( )( )( )( )( )( )ffytf th tYsF s H s根据时域卷积定理有 式中H(s)=Lh(t)称为系统函数系统函数。由于 11( )( )( )( )1LLf tF sh tH sss1111( )( )( )(1)1fYsF s H ss sss对上式取拉普拉斯逆变换,得 ( )( )( )(1) ( )ttfY tu te u teu t 故 解： 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 .复频域卷积1122( )( ); ( )( )L f tF s L f tF

17、 s12121( )( )( )( )2L f t f tF sF sj 若则两个信号时域乘积对应到复频域为复卷积。两个信号时域乘积对应到复频域为复卷积。复卷积的定义是1212( )( )( )()jjF sF sF u F su du 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 . 复频域微分复频域微分( )( )f tF s 若则( )( )dF sLtf tds( )( 1)( )nnnnd F sLt f tds第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例410 试求信号f(t)=t2e-t u(t)的拉氏变换。解： 令1111( )( )( )( )tf teu tF tL f

18、 tsa由复频域微分,得 2221123( )2( )()( )()atd F st eu ttf tdssa 32( ) ( )()F sL f tsa第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 10. 10. 初值定理初值定理 ( )( )lim( )tL f tF ssF s若且存在，则f(t)的初值为0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s提示：F(s)必须是真分式第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若11. 终值定理 ( )( ),lim( )tL f tF sf t存在,则f(t)的终值0( )lim( )lim( )tsff tsF s 第4章 拉普拉斯

19、变换、连续时间系统的S域分析 例例4411 11 已知复频域已知复频域 中中, ,试求时域中试求时域中f(t)f(t)的初值和终值。的初值和终值。1( )1F ss00(0 )lim( )lim11( )lim( )lim01sssssfsF sssfsF ss 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-12 求图示因果信号f(t)的单边拉氏变换。 解解 f(t)的二阶导数为 ) 3(2)2(2) 1(2)(2)2(ttttf由于(t) 1, 由时移和线性性质得 ssseeetfLsF32)2(22222)()(23222( )2(1)( ) ( )sssF seeeF sL f

20、 tss由时域积分性质 （公式的尾项为零）t022(a)13t0f (t)22(b)13t0f (t)(2)2(c)321(2)(2)(2)f (t)(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-13 求图 4-7(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。 解：解：方法一方法一 ：由于：由于 ( ) ( )( )(1)f t u tu tu t根据单边拉氏变换的定义， 得 (1)( ) ( ) ( ) ( )seF sL f tL f t u ts0001-1 tf (2)111(1)ttt1 f t u t

21、 f t图 4-7 例 4-13 图 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 方法二：方法二： f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为 (1)2 ( )(1)ftttf(1)(t)的单边拉氏变换为 setfLsF2)()()1(1Res- -1(0 )( )( ) ( )121ssfF sF sL f tsseesssRes0 积分性第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若f(t) F(s)，Res0，则有 dFttfs)()(式中， 存在， 的单边拉普拉斯变换的收敛域为Res0和Res0的公共部分。 ttft)(lim0ttf)(12. 复频域积分第4章 拉普拉斯变换、连续时间

22、系统的S域分析 证证 根据单边拉普拉斯变换的定义 0)()(dtetfsFstRes0 对上式两边从s到积分，并交换积分次序得 00)()()(dtdetfddtetfdFsttss因为t0, 所以上式方括号中的积分 在Res0时收敛。因此得 dest00)()()()(ttfLdtettfdttetfdFststs第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-14 sin( )u( ),tf ttt求f(t)的单边拉氏变换。 解解 由于 21sinu( ),1tts根据复频域积分性质，得 2sinu( )1( )11arctanarctanssttF sLdts第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ( )sf tLF S dst复频域积分定理：