信号与系统课件：3.7.8傅里叶变换的基本性质.ppt

1、第3章 傅里叶变换3.7 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；了解特性的内在联系；用性质求用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。第3章 傅里叶变换（一） 对称性F( )f(t),若则FF(t)2 f()F意义意义F(t)F( )F(t)f(t)t2 .t若的形状与相同，则的频谱函数形状与相同，幅度差第3章 傅里叶变换j

2、 t2 f()F(t)edtF(t)=2 f()(350)f(t)(350)F(t)=2 f( )(351) FF所以若是偶函数，式变成j tj t1f(t)F( )ed21f(t)F( )ed2t证明因为显然 将变量 与 互换，可以得到第3章 傅里叶变换第3章 傅里叶变换（二） 线性（叠加性）iif (t)F( ) i12.n若（ ， ， ），则Fnni iiii1i1a f (t)a F( )Fian其中 为常数， 为正整数。3 52 （ ） 显然傅里叶变换是一线性运算，它满足叠加定理。所以，相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。第3章 傅里叶变换（三） 奇偶虚实性j tj ()22f

3、(t)F( )f(t)f(t)edtF( )F( )F( ) eR( )( )F( )R( )( )( )( )arctanR( )jXXX F的傅里叶变换式如下 在一般情况下，是复函数，因而可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即显然，（353）第3章 傅里叶变换j t1.f(t)F( )f(t)edtf(t)cos( t)dtjf(t)sin( t)dtR( )f(t)cos( t)dt(354)( )f(t)sin( t)dtX下面讨论两种特定情况：为实函数因为在这种情况下，显然第3章 傅里叶变换( )( ),RX为偶函数，为奇函数 即满足下列关系：*R( )R(- )X( )-X

4、(- )F(- )F ( )R( )( )F( )( )X 由于为偶函数，为奇函数，可证得是偶函数，是奇函数。 我们可以检查已求得的各种实函数得频谱都应满足这一结论，即实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数。 这一特性在信号分析中得到广泛应用。第3章 傅里叶变换f(t)当在积分区间内为实偶函数，上述结论可进一步简化，此时f(t)f(t)(3-54)( )0F( )( )f(t)( t)dtRCOS0 那么，由式求得此时2f(t)F( )可见，若是实偶函数，则必为 的实偶函数。第3章 傅里叶变换f(t)当在积分区间内为实奇函数，即f(t)f(-t)R( )0F( )( )f(t)sin

5、( t)dt0-那么，可以求得此时jX-2jf(t)F( )可见，若是实奇函数，则必为 的虚奇函数。第3章 傅里叶变换.f(t)f(t)jg(t)R( )g(t)sin( t)dt( )g(t)cos( t)dtX2若是虚函数令，则：R( )X( )R( )R()X( )X()F( )( ) 在这种情况下，为奇函数，为偶函数，即满足：而仍是偶函数，是奇函数。第3章 傅里叶变换*f(t)f(t)F()f (t)F ()f (t)F ( )此外，无论为实函数或复函数，都具有以下性质（355）FFF第3章 傅里叶变换3 10f(t)0aatatetet例 已知式中 为正整数，求该奇函数的频谱。第3章

6、 傅里叶变换0022F( )2F( )3-56atatdtedtedt-j t-j t-j t-解f(t)eee显然，积分结果为 j（）222F( )02( )02 （）（）实奇函数的频谱必然是虚奇函数。第3章 傅里叶变换(四) 尺度变换特性f(t)F( )1f( t)F()aaa若，则（a为非零的实常数）FFxf(at)f(at)e011f( t)f(x)ex=()aj tjadtadFaa证明：因为令x=at当aFF第3章 傅里叶变换xxa01f(at)f(x)ex11f(x)exF()1f(at)F()1f(t)F()jajadadaaaaa当综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式

7、为（357）对于a 这种特殊情况，式（357）变成FFF第3章 傅里叶变换3 33 为了说明尺度变换特性，在图 中画出了矩形脉冲的几种情况。图3-33 尺度变换特性举例第3章 傅里叶变换(a1)(a1)-1a由上可见，信号在时域中压缩等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效于在频域中压缩。对于的情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶。上述结论是不难理解的，因为信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，所以它包含的频率分量增加a倍，也就是说频谱展宽a倍。根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小a倍。第3章 傅里叶变换j tF(0)f(t)dt3 581f(t)F(

8、 )ed21f(0)F( )d3 5923 583 59f(t)F( )F( )2 f(t)F(0)2 f(0)所以（ ）同样，因为所以（ ）式（ ）、（ ）分别说明与所覆盖的面积等于与在零点的数值与。反变换f(t)F( )tf(t)F( )0F( )f(t)ej tdt 下面从另一角度来说明尺度变换特性。对任意形状的和假定，时，趋近于，因为第3章 傅里叶变换f(0)F(0)f(t)F( )334Bf(t)F( )如果与各自等于与曲线的最大值，如图 所示。这时，定义 和 分别为与的等效宽度，可写出以下关系式：(0)(0)(0)2(0)2B(360)fFFBf由此求得图334 等效脉冲宽度与等效

9、频带宽度(360)从可以看出：信号的等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带作代价。所以在通信系统中，通信速度和占用频带宽度是一对矛盾。第3章 傅里叶变换(五) 时移特性f(t)F( )若，则F00f(tt )eF( )j tF00f(tt )eF( )j tF000f(t)te()j tt信号在时域在沿时间轴右移（延时） 等效于在频域频谱乘以，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生附加变化。第3章 傅里叶变换00f(tt )eF( )3 61j t所以（ ）同理可得F00f(tt )eF( )j tF000000 xxf(tt )f(tt )ed

10、txttf(tt )f(x)f(x)edxef(x)edxj tjtj tj （ ）证明因令 那么FFF第3章 傅里叶变换不难证明：001f(att )F()etjaaaF001f(tt)F()etjaaaaF0t01显然尺度变换特性和时移特性是上式的两种特殊情况，即和a的情况。第3章 傅里叶变换32 335例 求图 所示三脉冲信号的频谱。0000af (t)f (t)F ( )F ( )ES2解：令表示矩形单脉冲信号，由前面例题知的频谱函数为（）图335 三脉冲信号的波形第3章 傅里叶变换0000af(t)f (t)f (tT)f (t-T)f(t)F( )F( )F ( ) 1eeES12

11、cos()23 36j Tj TT因为由时移特性知的频谱函数为（）（）其频谱如图 所示。图336 三脉冲信号的频谱第3章 傅里叶变换（六）频移特性00000f(t)ef(t)eedtf(t) edtf(t)eF()jtjtjtj tjt （ ）证明：因为所以FFf(t)F( )若，则F00f(t)eF()jtF同理0-jt0f(t)e()FF000jt00jt( )ef(t)F( )ef t其中为实常数。可见，若时间信号乘以，等效于的频谱沿频率轴右移，或者说在频域中将频谱沿频率轴右移等效于在时域在信号乘以因子。第3章 傅里叶变换00f(t)cos(t)sin(t).在通信系统中得到广泛应用，诸

12、如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移的实现原理是将信号乘以载频信号或 下面分析这种相乘作用引起的频谱搬移。 因为：0000jtjtjtjt0011cos(t)eesin(t)ee2 2j 频谱搬移技术：可以导出：0000001 ( )cos(t) ()()2 ( )sin(t) ()()2f tFFjf tFFFF000f(t)cos(t)sin(t)f(t)F( )所以，若时间信号乘以或，等效于的频谱一分为二，沿频率轴向左或向右平移。第3章 傅里叶变换034f(t)G(t)cos(t)G(t)E3 38例 已知矩形调幅信号其中为矩形脉冲，脉幅为 ，脉宽为 ，如图

13、 中虚线所示。试求其频谱函数。图338 矩形调幅信号的波形第3章 傅里叶变换00G(t)( )ESa()21f(t)( )()2f(t)F( )jtjtG t ee解：由前面的例题知矩形脉冲的频谱G因为根据频移特性，可得的频谱为000011F( )G()G()22()()EESaSa2222 (366)0可见，调幅信号的频谱等于将包络线的频谱一分为二，各向左、右移载频。第3章 傅里叶变换00012( )cos(t) ()() 解：已知直流信号的频谱是位于 0点的冲激函数，也即利用移频定理容易求得FF0f(t)cos(t)例35 已知，利用频移定理求余弦信号的频谱。00可见，周期余弦信号的傅里叶

14、变换完全集中在点，是位于点的冲激函数，频谱中不包含任何其他成分。这与直观感觉一致。)(F余弦信号频谱 第3章 傅里叶变换（七） 时域微分特性f(t)F( )若，则Fdf(t)j F( )dtFnd f(t)(j ) F( )dtnFnf(t)tnf(t)F( )()j 它说明在时域中对 取 阶导数等效为在频域中对的频谱乘以。第3章 傅里叶变换j tj t1f(t)F( )e2tdf(t)1j F( )edt2( )( )dddf tj Fdt证明：因为两边对 求导数，得所以F(368)反变换定义式nn( )()( )(369)d f tjFdt同理，可推出F第3章 傅里叶变换(t)(t)(t)

15、1U(t)( )j1 (t)j ( )1j (t)jU 例：若已知单位阶跃信号的傅里叶变换，可利用此定理求出和的变换式：FFF第3章 傅里叶变换f(t)F( )若，则F（八） 频域微分特性1( )(t) ( )dFj f tdFn1nn( )(t)( )d Fjf tdF(370)(371)第3章 傅里叶变换(九)时域积分特性f(t)F( )若，则FtF( )f( )d F(0) ( )3 72j （ ）F第3章 傅里叶变换-j-j t-j-j1 (t- )( )ej(3-73)f( )(t- )edtdef( )( )edf( )djF( )F(0) ( )3 74ju 则式成为（ ）Ftt

16、f( )d f( )d ef( ) (t- )d e(373)j tj tdtudt证明Ff( )(t)t 此处，将被积函数乘以 ，同时将积分上限 改写为 ，结果不变。交换积分次序，并引用延时阶跃信号的傅里叶变换关系式第3章 傅里叶变换3 62E(1t )t2f(t)0t2340F( ) f(t)2E(t0)2df(t)2E(0t)dt20t2 例 已知三角脉冲信号（）（）如图 所示，求其频谱。解 将取一阶与二阶导数，得到 （）第3章 傅里叶变换221222-jj222222d f(t)2E (t)(t)2 (t)3 76d t22340F( )F( )F ( )f(t)F ( )d f(t)

17、2EF ( )ee2d t2E8E2cos()-2-sin ()2424ESa及（ ）它们的形状如图 所示。以，和分别表示及其一、二阶导数的傅里叶变换，先求得如下-在以上两式F21F 0F 00F( )24ESa（ ）和（ ）都等于 。求原函数频谱用积分性，可得2222cos2cossin12sin2cos 第3章 傅里叶变换0003 73410t0ty(t)(0tt )(377)t1(tt ) 例 求下列截平斜变信号的频谱（见图 ）（）第3章 傅里叶变换00t000y(t)Y()y(t)1tf( )ty(t)f( )d001f( )(0t )t0(t )解:利用积分特性求的频谱。把看成脉幅为

18、，脉宽为 的矩形脉冲的积分，即由于（）第3章 傅里叶变换0t02f( )F( )tF( )Sa()e2F(0)10j根据矩形脉冲的频谱及时移特性，可得的频谱为注意到求得1Y( )y(t)F( )F(0) ( )j F0t02t1Sa()e( )3 78j2j （ ）0t0y(t)(t)f( )( )u 显然，当，。第3章 傅里叶变换1f(t)F( )d f(0) (t)jt F(十)频域积分特性f(t)F( )若，则F由于此特性应用较少，此处不再讨论。第3章 傅里叶变换3.8 卷积特性（卷积定理）这是在通信系统和信号处理研究领域中应用最广的傅里叶变换性质之一，在以后各章节中将认识到这一点。第3

19、章 傅里叶变换(一) 时域卷积定理1211221212f (t)f (t)f (t)F( )f (t)F ( )f (t)*f (t)F( )F ( )若给定两个时间函数，已知则FFF 它说明两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。第3章 傅里叶变换1212211212f ( )*f (t)edf ( )F ( )edF ( )f ( )edf (t)*f (t)F( )F ( )j tjjdt所以（380）F12121212f (t)*f (t)f ( )*f (t)d3 79f (t)*f (t)f ( )*f (t)d ej tdt

20、证明根据第二章中卷积的定义，已知（ ）因此F第3章 傅里叶变换(二) 频域卷积定理12121f (t) f (t)F( )*F ( )(381)2F1122f (t)F( )f (t)F ( )类似于时域卷积定理，有频域卷积定理可知，若：则FF1212F( )*F ( )F( )F ()d其中(381)12式称为频域卷积定理，它说明两时间函数频谱的卷积等效于两函数的乘积。或者说，两时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱的卷积乘以。显然时域与频域卷积定理是对称的，这由傅里叶变换的对称性所决定。第3章 傅里叶变换)()(ttUtf)(jF例例 利用频域卷积定理求的傅里叶变换解解： 因为 jt )(由对

21、称性 )(2)(2jt有 )(2jt jtU1)()(所以根据频域卷积定理)()(ttUtf第3章 傅里叶变换有 )1()()(1)()(1)()(221)(jjjjjF即 )1()()(2 jjF第3章 傅里叶变换3 8tEcos()t2f(t)0t2tf(t)G(t)cos()例 已知（）（）解：把余弦脉冲看作矩形脉冲与无穷长余弦函数的乘积。用卷积定理求余弦脉冲的频谱。t342f(t)G(t)cos()G( )G(t)E Sa()2(365)tcos()()() 如图 所示，其表达式为矩形脉冲的频谱为由式知FF第3章 傅里叶变换第3章 傅里叶变换2cos()2E2F( )(382)1 ()

22、 342上式化简后得到余弦脉冲的频谱为如图 所示。f(t)tF( )G(t)cos()1E Sa()* ()()22EESa() Sa() 2222 根据频域卷积定理，可以得到的频谱为F第3章 傅里叶变换3 92 tE(1)( t)2f(t)0( t)2例 已知利用卷积定理求三角脉冲的频谱。第3章 傅里叶变换f(t)G(t)*G( )2( )()24tEGSa因为222F( )() ()2424EESaSa所以3-432E2F( )解：可以把图所示的三角脉冲看成是两个相同的矩形脉冲的卷积，而矩形脉冲的幅度、宽度可以由卷积的定义直接看出，分别为及 。根据时域卷积定理，可以很简单地求出三角脉冲的频谱。第3章 傅里叶变换