函数的对称性和周期性知识点1.doc

1、1函数对称性知识加油站一、一般的轴对称：一、一般的轴对称： 函数( )yf x的图象关于直线xa对称( )(2)f xfax()()f axf ax； 若函数( )yf x满足()()f axf bx，则( )yf x的图象关于直线2abx成轴对称二、二、一般的中心对称：一般的中心对称： 函数( )yf x的图象关于点()ab，对称2f axf axb 2( )(2)bf xfax 若函数( )yf x满足()()f axf bxc，则( )yf x的图象关于点22abc，成中心对称三、含绝对值的函数：三、含绝对值的函数：( )f xxa的图象关于直线xa对称，且函数的最小值为0；( )f x

2、xaxb的图象关于直线2abx对称，且函数的最小值为ba；( )f xxaxb的图象关于点02ab，对称，且函数的值域为abab，方法一：可以由函数图象的对称性获得( )f xxa( )f xxaxb（ab）( )f xxaxb（ab）四、函数的周期性四、函数的周期性 f x定义域为D，T R，且0T ，满足对于任意的xD，均有 f xTf x只要确定T为一个周期，那么在每个长为T的区间中，函数图象会被不停重复，此区间中的每个性质都会被不停重复下去，所以不可能存在一个周期函数只有一个零点，周期性是一种重复的表达若T为周期，那么T的任何整数倍也都是它的周期周期性的描述：自变量的差为常数T时，函数

3、值保持不变如：23xxTxTxT， ，差都为T；而1112xxTxT ，差也一定，也都为T周期性的常见表达：f xaf xb，函数( )f x的周期Tab；2半周期表示：若( )f x满足后面两式中的任意一个 mf xaf xf xamf x( )f x有周期2Ta1对于函数 f x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f xTf x，那么函数 f x就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的一个周期2如果周期函数 f x的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f x的最小正周期3 若函数( )yf x满足：()()f xaf xb，则函数( )f x是

4、周期为|Tba的函数； 若函数( )yf x满足：()()f xaf xbc，则函数( )f x是周期为2|Tba的函数 若函数( )yf x满足：()()f xaf xbc，则函数( )f x是周期为2|Tba的函数（其中abc， ，为常数，且ab）五、五、双对称性函数具有周期性双对称性函数具有周期性1. 若函数( )f x的图象关于点0a，及点0b，对称，则函数( )f x是周期为2|Tba的函数证明：( )(2)( )(2)(2)(2)2f xfaxf xfbxfaxfbxTba ， 若函数( )f x的图象关于直线xa及xb对称，则函数( )f x是周期为2|Tba的周期函数证明：( )(2)( )(2)(2)(2)2f xfaxf xfbxfaxfbxTba， 若函数( )f x图象关于直线xa对称， 且关于点0b，对称， 则函数( )f x是周期为4|Tba的周期函数证明： ( )(2)( )(2)(2)(2)44f xfaxf xfbxfaxfbxf xfbax ，2注意区别如下四个关系式反映的函数性质：()()f axf bx：( )f x有对称轴2abx；()()f axf bx ：( )f x有对称中心02ab，；()()f xaf xb：( )f x有周期ba；()()f xaf xb ：( )f x有周期2 ba